实用程序图

公用事业问题假设有三栋房屋和三家公用事业公司，例如煤气、电力和水，并询问是否可以在没有任何煤气/水/电线/管道都会经过其他管道。这是等效的方程式“Can a平面图形被建造从三个节点（“房屋”）到其他三个节点中的每个节点（“公用设施”）？"这个问题最初是由H.E。1917年杜德尼（加德纳1984年，第92页）。

答案是没有平面图形存在，并且可以使用乔丹曲线定理，虽然包含此结果的更一般的结果是库拉托夫斯基约化定理。效用图是显示所述关系的图也被称为Thomsen图（例如，Coxeter 1950）…的说法图论，被称为完成二部图 （也相当于循环图 ).

它在Wolfram语言作为图形数据[“实用程序图形”].

效用图具有图交叉数1，最小交叉嵌入如上图所示。

通过注意效用图由一个图形周期 三个边缘,,和必须添加。现在，对于每个边，我们可以选择是在内部还是外部绘制边图表周期对于其中的两条边，我们必须做出相同的选择。但有两条线不能在同一侧绘制而不相交，因此图形不是平面的。

它可以使用LCF符号作为。效用图是完整的图表具有图形频谱 .

上图显示了邻接,发病率、和图距离矩阵对于实用程序图表。

免除效用图的边给出四面体图.

效用图具有图属 所以它可以画在没有交叉点的环面上，如上所示（M.Malak，pers.comm.，2006年2月15日）。