洛扎尼奇三角形

洛扎尼奇三角形（也称为洛桑奇三角)是一个数字三角形，类似于帕斯卡三角形（参见。A007318号)其中四项中的三项是紧邻其上的两个数字之和，四项中有一项例外是（按

n个= 0, 1, 2, ...

每行中的条目由

k个= 0, 1, 2, ...

)如果

n个

是均匀的，并且

k个

我们减去二项式系数

(  (n个 / 2)  −  1(k个 −  1) / 2  )

.Pascal三角形和Losanitsch三角形之间的差异给出了如下所示的三角形A034852号（或A034877号如果省略边界零）。

它是以塞尔维亚化学家Sima Lozanić（德语化为Losanitsch）的名字命名的，他在研究石蜡行显示的对称性时对它进行了研究，但后来发现它在图论和组合学中有应用。

的条目

n个

偶数和

k个

奇数（四分之一）是对应条目的一半帕斯卡三角形（参见。A091043号,A091044号)它们被突出显示红色在下面的三角形中。

洛扎尼奇三角形

																												A005418号 行总和： ∑ n个 我  = 0  T型  (n个,我)  =  2 n个 −  3 + ( − 1) n个 +1 2 C类 (2 ( ⌊  n个 / 2⌋ + 1), ⌊  n个 / 2⌋  −  1)
n个= 0																1												1
1															1		1											2
2														1		1		1										三
三													1		2		2		1									6
4												1		2		4		2		1								10
5											1		三		6		6		三		1							20
6										1		三		9		10		9		三		1						36
7									1		4		12		19		19		12		4		1					72
8								1		4		16		28		38		28		16		4		1				136
9							1		5		20		44		66		66		44		20		5		1			272
10						1		5		25		60		110		126		110		60		25		5		1		528
11					1		6		30		85		170		236		236		170		85		30		6		1	1056
12				1		6		36		110		A005994号:烷烃（或石蜡）值 我 (7,米) =T型  (米+ 4, 4) .																2080
13			1		7		42		A005993号:烷烃（或石蜡）值 我 (6,米) =T型  (米+ 3, 3) .																			4160
14		1		7		A002620型：正四分之一平方，正广场和长方形的数字 T型  (n个, 2) = ⌊  n个 / 2⌋   ⌈ n个 / 2⌉ .																						8256
15	1		A008619号：每个正整数两次 T型  (米+ 1, 1) = 1 4 [3 + ( − 1) 米+ 2 米] .*																									16512
16	A000012号：全部1的序列 T型  (n个, 0) = 1 .																											32896

_______________

*具有生成功能

G公司{T型 (米 +1, 1)}(x个) = 1 (1  − x个) (1  − x个 2)

.

递归方程

${\显示样式T（0,0）=1，\，}$

什么时候？

n个

是均匀的，并且

k个

为奇数，递推公式为：

$显示样式T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k）-{二进制{{分形{n}{2}}-1}{分形}{k-1}{2{}}，\（{（n+1）\mod 2}）（{k\mod 2]）=1，\，}$

否则，默认递归关系与Pascal三角形相同，即三角形单元格是上面两个单元格的总和：

$显示样式T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k），\n>0，\（{（n+1）\mod 2}）（{k\mod 2]）=0，\，}$

哪里

(  n个k个  )

是

n个

选择

k个

(二项式系数).

这两条规则可以合并为“单一”规则：

${\显示样式T（0,0）=1，\，}$

${显示样式T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k）-{\tfrac{1}{4}}（1+（-1）^{n}）（1-（-1）^{k}）{\binom{{frac{n}{2}}-1}{\frac{k-1}{2{}}}，\n>0.\，}$

显式公式

$显示样式T（n，k）={1\over 2}{\bigg[}{\binom{n}{k}}+{\binom{n\mod 2}{k\mod 2}}{\bilom{lfloor n/2\rfloor}{\lfloor k/2\rffloor}}{\ bigg]}，\，}$

哪里

(  00  ) =(  10  ) =(  11  ) = 1,(  01  ) = 0,

所以现在，当

n个

不均匀且

k个

不是奇数，这相当于在默认情况下添加额外的项，然后在

n个

是均匀的，并且

k个

与递归方程中的模式相对应的是奇数（因此取消它）。

洛扎尼奇三角行

按行读取的三角形给出了有限序列的无限序列：

{{1}, {1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 2, 2, 1}, {1, 2, 4, 2, 1}, {1, 3, 6, 6, 3, 1}, {1, 3, 9, 10, 9, 3, 1}, {1, 4, 12, 19, 19, 12, 4, 1}, {1, 4, 16, 28, 38, 28, 16, 4, 1}, {1, 5, 20, 44, 66, 66, 44, 20, 5, 1}, ...}

其串联给出A034851号:

{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 1, 3, 6, 6, 3, 1, 1, 3, 9, 10, 9, 3, 1, 1, 4, 12, 19, 19, 12, 4, 1, 1, 4, 16, 28, 38, 28, 16, 4, 1, 1, 5, 20, 44, 66, 66, 44, 20, 5, 1, ...}

Lozanić三角行和

这个

n个

第个可以使用以下公式计算行总和：

${\显示样式\sum_{i=0}^{n} T型（n，i）=2^{n-1}+2^{floor{\frac{n+1}{2}}\rfloor-1}={1\over2}{\bigg[}2^{n}+2^}\lfloor{\frac{n+1}{2{}\rfooor}{\bigg]}，}{n} T型（n，i）=2^{n-1}+2^{floor{\frac{n+1}{2}}\rfloor-1}={1\over2}{\bigg[}2^{n}+2^}\lfloor{\frac{n+1}{2{}\rfooor}{\bigg]}，}$

给A005418号:

{1, 2, 3, 6, 10, 20, 36, 72, 136, 272, 528, 1056, 2080, 4160, 8256, 16512, 32896, 65792, 131328, 262656, 524800, 1049600, ...}

具有递推方程：

${\显示样式\sum_{i=0}^{n} T型（n，i）=2^{n} T型（n-1，i）}，\，}{n} T型（n，i）=2^{n} T型（n-1，i）}，\，}$ ${\显示样式\脚本样式n\，}$奇数，

${\显示样式\sum_{i=0}^{n} T型（n，i）={\和{i=0}^{n} T型（n-1，i）}+2^{n-2}，\，}{n} T型（n，i）={\和{i=0}^{n} T型（n-1，i）}+2^{n-2}，\，}$ ${\显示样式\脚本样式n\，}$甚至。

洛扎尼奇三角形行交替和

这个

n个

第个行交替和可以使用以下公式计算：

${\displaystyle\sum_{i=0}^{n}（-1）^{n{T（n，i）=（{（n+1）\mod 2}）{\big\lceil}2^{\lfloor{\frac{n}{2}}-1\rfloor}{\ big\rceil}={\big（}{\trac{1+（-1）{\frac{n}{2}}-1\floor}{\big\rceil}，\，}$

给出（不在OEIS中，也不A077957号不重复前1，0对）：

{1, 0, 1, 0, 2, 0, 4, 0, 8, 0, 16, 0, 32, 0, 64, 0, 128, 0, 256, 0, 512, 0, 1024, ...}

洛扎尼奇三角柱

中央立柱产生A032123号:

｛1，1，4，10，38，126，472，1716，6470，24310，92504，352716，1352540，5200300，20060016，…｝

谁的

米

第个条目（索引自${\显示样式\脚本样式m\，=\，0\，}$)给予${\显示样式\脚本样式T（2m，\，m）\，}$通过以下公式得出：

$显示样式T（2m，m）={\binom{2m-1}{m-1}}+{\binom{m-1{{\tfrac{m}{2}}-1}}，\，}$ ${\显示样式\脚本样式m\，}$甚至，

${\显示样式T（2m，m）={\binom{2m-1}{m-1}}，\，}$ ${\显示样式\脚本样式m\，}$奇怪。

两个相同的相邻中心柱都会产生A005654号:

{1, 2, 6, 19, 66, 236, 868, 3235, 12190, 46252, 176484, 676270, 2600612, 10030008, ...}

谁的

米

第个条目（索引自$｛\displaystyle\scriptstyle m\，=\，1\，｝$)给予${\显示样式\脚本样式T（2m-1，\，m-1）=T（2m-1\，m+1）\，}$通过以下公式得出：

$显示样式T（2m-1，m-1）=T（2m-1,m+1）={\frac{1}{2}}{\bigg[}{\binom{2m-1}{m}}+{\binom{m-1}{\floor{\tfrac{m}{2{}\floor}}{{\big]}\，}$

中间列条目与相邻中间列之一交错排列，产生A034872号:

{1, 1, 1, 2, 4, 6, 10, 19, 38, 66, 126, 236, 472, 868, 1716, 3235, 6470, 12190, 24310, ...}

洛扎尼奇三角形对角线

Lozanić三角形的对角线给出：

*${\显示样式\脚本样式k\，}$=0或${\显示样式\脚本样式n\，}$-0：	所有1的序列	A000012号:   {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=1或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 1:	每个正整数两次	A008619号:   {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, ...}
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=2或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 2:	四分之一平方	A002620型:   {1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, 100, 110, 121, ...}
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=3或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 3:	这个烷烃（或石蜡）值 ${\显示样式l（6，n）\，}$	A005993号:   {1, 2, 6, 10, 19, 28, 44, 60, 85, 110, 146, 182, 231, 280, 344, 408, 489, 570, 670, ...}
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=4或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 4:	这个烷烃（或石蜡）值 ${\显示样式l（7，n）\，}$	A005994号:   {1，3，9，19，38，66，110，170，255，365，511，693，924，1204，1548，1956，2445，…}
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=5或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 5:	这个烷烃（或石蜡）值 ${\显示样式l（8，n）\，}$	A005995美元:   {1, 3, 12, 28, 66, 126, 236, 396, 651, 1001, 1512, 2184, 3108, 4284, 5832, 7752, ...}
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=6或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 6:	这个烷烃（或石蜡）值 ${\显示样式l（9，n）\，}$	A018210号:   {1, 4, 16, 44, 110, 236, 472, 868, 1519, 2520, 4032, 6216, 9324, 13608, 19440, ...}
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=7或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 7:	这个烷烃（或石蜡）值 ${\显示样式l（10，n）\，}$	A018211号:   {1, 4, 20, 60, 170, 396, 868, 1716, 3235, 5720, 9752, 15912, 25236, 38760, ...}
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=8或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 8:	这个烷烃（或石蜡）值 ${\显示样式l（11，n）\，}$	A018212号:   {1, 5, 25, 85, 255, 651, 1519, 3235, 6470, 12190, 21942, 37854, 63090, 101850, ...}
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=9或${\显示样式\脚本样式n\，}$-第9页：	这个烷烃（或石蜡）值 ${\显示样式l（12，n）\，}$	A018213号:   ｛1、5、30、110、365、1001、2520、5720、12190、24310、46252、83980、147070、248710…｝
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=10或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 10:	这个烷烃（或石蜡）值 ${\显示样式l（13，n）\，}$	A018214号:   {1, 6, 36, 146, 511, 1512, 4032, 9752, 21942, 46252, 92504, 176484, 323554, 572264, ...}
* ...

Lozanić三角对角线（公式）

这个${\显示样式\脚本样式m\，}$^第个条目（索引自${\显示样式\脚本样式m\，=\，0\，}$)的${\显示样式\脚本样式k\，}$^第个对角线（索引自${\显示样式\脚本样式k\，=\，0\，}$)Lozanić三角形的计算公式如下：

*${\显示样式\脚本样式k\，}$=0或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 0:	$｛\displaystyle T（m+0,0）=1\，｝$
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=1或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 1:	${\显示样式T（m+1，1）={\tfrac{1}{4}}[3+（-1）^{m}+2m]\，}$
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=2或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 2:	$｛\displaystyle T（m+2,2）=｛\trac｛1｝｛8｝｝[7+（-1）^｛m｝+8m+2m^｛2｝]\，｝$
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=3或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 3:	${\显示样式T（m+3.3）={\tfrac{1}{24}}[（2+m）（9+3（-1）^{m}+8m+2m^{2}）]\，}$
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=4或${\显示样式\脚本样式n\，}$-第4页：	${显示样式T（m+4,4）={\tfrac{1}{96}}[81+15（-1）^{m}+2（65+3（-1）_{m}）m+76m^{2}+20m^{3}+2m^{4}]\，}$
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=5或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 5:	$显示样式T（m+5,5）={tfrac{1}{480}}[（8+6m+m^{2}）（15（3+（-1）^{m}）+46m+18m^{2{3}）]\，}$
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=6或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 6:	${显示样式T（m\+\6,6）={\tfrac{1}{2880}[45（53+11（-1）^{m}）+（4533+315（-1）$
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=7或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 7:	${显示样式T（m\+\7,7）={\tfrac{1}{20160}}[（48+44m+12m^{2}+m^{3}）（105（3+（-1）^{m}）+352m+172m^{2{2}+32m^{4}）]\，}$
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=8或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 8:	${\显示样式T（m+8,8）=…\，}$（生成函数的级数表示变得更加笨拙）
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=9或${\显示样式\脚本样式n\，}$-第9页：	${\显示样式T（m+9,9）=…\，}$
*${\显示样式\脚本样式k\，}$=10或${\显示样式\脚本样式n\，}$- 10:	${\显示样式T（m+10,10）=…\，}$
* ...

Lozanić的三角形对角线（递推方程）

1的条目^标准(${\显示样式\脚本样式k\，=\，1\，}$)对角线是0的两项中的一项的部分和^第个(${\显示样式\脚本样式k\，=\，0\，}$)对角线：

${显示样式T（n，1）=\sum_{i=0}^{n-1}{\tfrac{（1-（-1）^{i}）}{2}}\T（i，0）=\sam_{i=0.}^{n-1}{\tbrac{$

2的条目^第(${\显示样式\脚本样式k\，=\，2\，}$)对角线是1的连续条目的乘积^标准(${\显示样式\脚本样式k\，=\，1\，}$)对角线：

${\显示样式T（n，2）=T（n、1）\T（n-1，1）\，}$

偶数的条目(${\显示样式\脚本样式k\，=\，2j\，}$)对角线是前面对角线的部分和：

$显示样式T（n，2j）=sum_{m=2j-1}^{n-1}吨（m，2j-1），\j\geq 1.\，}{n-1}吨（m，2j-1），\j\geq 1.\，}$

Lozanić三角对角线（生成函数）

的生成函数(${\显示样式\脚本样式2j+1，}$)^第个对角线为：

$显示样式G_{T（n+（2j+1），2j+1}（x）={{sum_{i=0}^{infty}{\binom{j+1}{2i}}x^{2i{}}\在{（1-x）^{j+1{（1-x ^{2}）^{j+1}}\上$

对于(${\显示样式\脚本样式2j+2\，}$)^第个对角线除以${\显示样式\脚本样式1-x\，}$:

$显示样式G_{T（n+（2j+2），2j+2）}（x）={G_{T（n，2j+1）}$

示例：

1^标准对角线{1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, ...}和2^第对角线{1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, ...}具有生成功能：

${显示样式G_{T（n+1，1）}（x）={{1}\在{（1-x）（1-x^{2}）}}，\，}上$ ${\显示样式\\G_{T（n+2.2）}（x）={{1}\在{（1-x）^{2}（1-x^{2{）}}.\，}上$

第三个^第三方对角线{1, 2, 6, 10, 19, 28, 44, 60, ...}和4个^第个对角线{1, 3, 9, 19, 38, 66, 110, 170, ...}具有生成功能：

${\显示样式G_{T（n+3,3）}（x）={{（1+x^{2}）}\在{（1-x）^{2{（1-x^{2]）^{2}}，\，}上$ ${\显示样式\\G_{T（n+4,4）}（x）={{（1+x^{2}）}\在{（1-x）^{3}（1-x^{2]）^{2{}.\，}上$

第5个^第个对角线{1, 3, 12, 28, 66, 126, 236, ...}和6^第个对角线{1、4、16、44、110、236、472。。。}具有生成功能：

$显示样式G_{T（n+5,5）}（x）={{（1+3x^{2}）}\在{（1-x）^{3}（1-x^{2]）^{3}}，\，}上$ ${\显示样式\\G_{T（n+6,6）}（x）={{（1+3x^{2}）}\在{（1-x）^{4}（1-x^{2]）^{3}}.\，}上$

第7个^第个对角线{1, 4, 20, 60, 170, 396, 868, ...}和8^第个对角线{1、5、25、85、255、651、1519、3235。。。}具有生成功能：

${\显示样式G_{T（n+7,7）}（x）={{（1+6x^{2}+x^{4}）}\在{（1-x）^{4{（2-x^{2}）^{4]}，\，}上$ ${\显示样式\\G_{T（n+8,8）}（x）={{（1+6x^{2}+x^{4}）}\在{（1-x）^{5}（1-x^{2]）^{4{}.\，}上$

Lozanić三角形半斜对角线和斐波那契数

条目${\显示样式\脚本样式T（n，k）\，}$从左起的半斜对角线的和为常数${\显示样式\脚本样式\，=\，n+k\，}$.

在半坡对角线上添加条目，从偶数上的1开始${\显示样式\脚本样式n\，}$行，给出：

A005207号

{1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 322, 826, 2135, 5545, 14445, 37701, 98514, 257608, 673933, ...}

由公式得出：

${\displaystyle\sum_{n+k=s}^{}T（n，k）={1\over 2}\sum_}n+k=s}^}{\bigg[}{\binom{n}{k}}+{\binom{n\mod 2}{k\mod 2}}{\ binom{\lfloor n/2\rfloor}{\lffloor k/2\rffloor}}{\bigg]}={1\\over 2{sum_n+k=s}^{}{\bigg[}{\binom{n}{k}}+{\binom{\lfloor n/2\rfloor}{\lffloor k/2\rfoor}}{\bigg]}={\frac{（F{2n-1}+F{n+1}）}{2}}，s\geq 0，\s\even.，}$

将条目添加到半斜线对角线上，从奇数上的1开始${\显示样式\脚本样式n\，}$行，给出：

A051450美元

{1, 2, 5, 12, 30, 76, 195, 504, 1309, 3410, 8900, 23256, 60813, 159094, 416325, 1089648, ...}

由公式得出：

$｛\displaystyle\sum_｛n+k=s｝^｛｝T（n，k）=｛1\over 2｝\sum_｛n+k=s｝^｝｛｝｛\bigg[｝｛\binom｛n｝｛k｝｝+｛\binom｛n\mod 2｝｛k\mod 2｝｝｛\binom｛\lfloor n/2\rfloor｝｝｛\bigg]｝=｛1\over 2｝\sum_｛n+k=s｝^｝｛\bigg[｝k｝｝+（｛n\mod 2｝）｛\binom｛\lfloor n/2\rfloor｝｛\lfloor k/2\rfloor｝｝｛\bigg]｝=｛\frac｛（F_｛2n｝+F_｛n｝）｝｛2｝｝，s \ geq 0，\ s \ odd，\，}}$

哪里${\显示样式F_{i}\，}$是${\显示样式\脚本样式i\，}$^第个 斐波那契数.

另请参见

• 经典序列（Losanitsch三角）
• 1953年Losanitsch三角形的乘法编码(A034851号.)

工具书类

• S.M.Losanitsch，Die Isomerie-Arten bei den Homologen der Claffin-Reihe异构体,化学。Ber.公司。 30(1897), 1917-1926.