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带有8个红色珠子和n-8个黑色珠子的n珠子手镯(周转项链)数量。 (原名M3801)
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1, 1, 5, 10, 29, 57, 126, 232, 440, 750, 1282, 2052, 3260, 4950, 7440, 10824, 15581, 21879, 30415, 41470, 56021, 74503, 98254, 127920, 165288, 211276, 268228, 337416, 421856, 523260, 645456, 790704, 963793, 1167645, 1408185
评论
还有由8个珠子组成的非等效项链,每个珠子由n种颜色中的一种涂成。
该序列解决了在k=8的情况下关于凸k-gons的所谓Reis问题(参见我们在A032279号). (结束)
设(c(n):n>=1)是一个非负整数序列,c(x)=Sum_{n>=1}c(n)*x^n是它的g.f。设a_k=(a_k(n):n>=1)为序列的DIK[k]变换的输出序列(c(n):n>=1。可以证明,当k为偶数时,A_k(x)=((1/k)*Sum_{d|k}φ(d)*C(x^d)^(k/d)+(1/2)*C。
对于这个序列,k=8,c(n)=1,所有n>=1,c(x)=x/(1-x)。因此,对于所有n>=1,a(n)=a_8(n)。由于对于1<=n<=k-1,a_k(n)=0,因此该序列的偏移量为n=k=8。应用c(x)=x/(1-x)且k=8时(c(n):n>=1)的DIK[8]的g.f.公式,我们得到赫伯特·科西姆巴的公式如下。
这里,a(n)被定义为两种颜色的n珠子手镯的数量,其中有8个红色珠子和n-8个黑色珠子。但它也是n的八分之二面体组成数。(此声明相当于弗拉基米尔·舍维列夫上面的说法是,a(n)是“由8个珠子组成的非等效项链的数量,每个珠子由n种颜色中的一种涂成。”“项链”的意思是“周转项链”。见他2004年在《印度纯粹与应用数学杂志》上发表的论文第2节第2段。)
n的两个循环组成(k=8部分)属于与n的二面体组成相对应的相同等价类,当且仅当其中一个可以通过旋转或颠倒顺序从另一个获得时。(结束)
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
N.Zagaglia Salvi,《自行车和项链的有序分区和着色》,公牛。仪表组合应用。,27 (1999), 37-40.
链接
Hansraj Gupta,不一致循环k-gon的计数印度J.Pure和Appl。数学。,10(1979年),第8期,964-999。
W.D.Hoskins和Anne Penfold街,给定数量线束上的斜纹,J.Austral。数学。Soc.序列号。A 33(1982),第1期,第1-15页。
W.D.Hoskins和A.P.街,给定数量线束上的斜纹,J.Austral。数学。Soc.(系列A),33(1982),1-15。(带注释的扫描副本)
理查德·赖斯(Richard H.Reis),古普塔论文中C(T)的一个公式印度J.Pure和Appl。数学。,10(1979),第8期,第1000-1001页。
弗拉基米尔·舍维列夫,项链和凸起的k型边印度J.Pure和Appl。数学。,35(2004),第5期,629-638。
弗拉基米尔·舍维列夫,项链和凸起的k型边印度J.Pure和Appl。数学。,35(2004),第5期,629-638。
配方奶粉
S.J.Cyvin等人(1997年)给出了一个g.f.(见他们论文第870页的等式(18))。除了额外的x^8外,他们的g.f.与V.Jovovic给出的相同。)-Petros Hadjicostas公司,2018年7月14日
通用公式:(x^8/16)*(1/(1-x)^8+4/(1-x^8)+5/(1-x2)^4+2/8/(1+x)^4/(1+x^2)^2/(1+x^4)-弗拉德塔·乔沃维奇2002年7月17日
a(n)=((n+4)/32)*s(n,0,8)+((n-4)/32;a(n)=(48*C(n-1,7)+(n-1)*(n-3)*(n-5)*(7-7))/768,如果n奇数>=8,其中s(n,k,d)=1,如果n==k(mod d),否则为0-弗拉基米尔·舍维列夫2011年4月23日
序列(a(n):n>=8)是鲍尔的“DIK[8]”(手镯,模糊,未标记,8部分)变换的输出序列,1,1。。。
(结束)
例子
每一个有两种颜色的n珠子手镯,其中8个珠子是红色的,n-8个是黑色的,可以通过以下方式转换成由8个部分组成的n的二面体。从一个R珠子开始,朝一个方向(顺时针方向)移动,直到到达下一个R珠。继续此过程,直到回到原来的R胎圈。
设b_i为R珠子i到R珠子i+1(或R珠子1)之前的最后一个b珠子的珠子数。这里,b_i=1,如果R珠i和R珠i+1(或R珠8和R珠1)之间没有b珠。然后是b_1+b_2+…+b_8=n,我们得到了n的二面体组成。(当然,b_2+b_3+…+b_8+b_1和b_8+b_7+…+b_1属于二面体组成b_1+…+b_8的同一等价类。)
例如,a(10)=5,我们有以下带有8个R珠子和2个B珠子的手镯。在手镯旁边,我们列出了n的相应二面体组成,k=8部分(必须在圆上查看):
RRRRRRRR BB<->1+1+1+1+1+1+3
RRRRRRR BRB<->1+1+1+1+1+2
RRRRRR BRRB<->1+1+1+1+2
RRRRR BRRRB<->1+1+1+2+1+2
RRRRBRRRRB<->1+1+2+1+1+2
(结束)
数学
k=8;表[(应用[Plus,Map[EulerPhi[#]二项式[n/#,k/#]&,Divisors[GCD[n,k]]]/n+二项式[Cf[OddQ[n],n-1,n-If[OrdQ[k],2,0]]/2,If[OddQ[k',k-1,k]/2])/2,{n,k,50}](*罗伯特·拉塞尔2004年9月27日*)
k=8;系数列表[级数[x^k*(1/k加@@(EulerPhi[#](1-x^#)^(-(k/#))和/@除数[k])+(1+x)/(1-x*2)^楼层[(k+2)/2,{x,0,50}],x](*赫伯特·科西姆巴2016年11月4日*)
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