搜索： 编号：a002388
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A002388号
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| Pi^2的十进制展开式。
（原名M4596 N1961）
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+0
63
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9, 8, 6, 9, 6, 0, 4, 4, 0, 1, 0, 8, 9, 3, 5, 8, 6, 1, 8, 8, 3, 4, 4, 9, 0, 9, 9, 9, 8, 7, 6, 1, 5, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 3, 6, 9, 9, 4, 0, 7, 2, 4, 0, 7, 9, 0, 6, 2, 6, 4, 1, 3, 3, 4, 9, 3, 7, 6, 2, 2, 0, 0, 4, 4, 8, 2, 2, 4, 1, 9, 2, 0, 5, 2, 4, 3, 0, 0, 1, 7, 7, 3, 4, 0, 3, 7, 1, 8, 5, 5, 2, 2, 3, 1, 8, 2, 4, 0, 2
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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也等于正弦或余弦曲线在一个完整周期内的旋转体积，Integral_{x=0..2*Pi}sin（x）^2dx-罗伯特·威尔逊v2005年12月15日
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参考文献
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W.E.Mansell，自然对数和普通对数表。皇家学会数学表，第8卷，剑桥大学出版社，1964年，第18页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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配方奶粉
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Pi^2=11/2+16*Sum_{k>=2}（1+k-k^3）/（1-k^2）^3-亚历山大·波沃洛茨基2009年5月4日
Pi^2=3*（和{n>=1}（（2*n+1）^2/和{k=1..n}k^3）/4-1）-亚历山大·波沃洛茨基2011年1月14日
Pi^2=（3/2）*（和{n>=1}（（7*n^2+2*n-2）/（2*n^2-1）/*EulerGamma）-亚历山大·波沃洛茨基2011年8月13日
Pi^2=20*Integral_{x=0..log（phi）}x*coth（x）dx，其中phi=（1/2）*（1+sqrt（5））是黄金比率。
Pi^2=10*Sum_{k>=0}二项式（2*k，k）*（1/（2*k+1）^2）*（-1/16）^k。Pi/3的类似级数展开式成立（参见A019670型)和（7*/216）*Pi^3（参见A091925号).
整数序列A（n）：=2^n*（2*n+1）^2/n！和B（n）：=A（n）*（和{k=0..n}二项式（2*k，k）*1/（2*k+1）^2*（-1/16）^k）都满足二阶递推方程u（n）=（24*n^3+44*n^2+2*n+1）*u（n-1）+8*（n-1。从这个观察结果中，我们可以得到连续分式展开式Pi^2/10=1-1/（72+8*3^5/（373+8*2*5^5/…（1051+…+8*（n-1）*（2*n-1）^5/）（（24*n^3+44*n^2+2*n+1）+…））。囊性纤维变性。A093954号.（结束）
圆周率^2=A304656型*A093602型=（gamma（0，1/6）-gamma（0，5/6））*（gamma（0，2/6）-gamma（0，4/6）），其中gamma（n，x）是广义Stieltjes常数。这个公式也可以用多膜函数表示-彼得·卢什尼2018年5月16日
等于8+总和_｛k>=1｝1/（k^2-1/4）^2=-8+总和_｛k>=0｝1/（k^2-1/4）^2-阿米拉姆·埃尔达尔，2020年8月21日
发件人彼得·巴拉，2021年12月10日：（开始）
Pi^2=（2^6）*Sum_{n>=1}n^2/（4*n^2-1）^2=）^2）。
更一般地说，对于k>=0，我们有Pi^2=（2*k+1）*2^（4*k+6）*（2*k）^4/（4*k）！*和{n>=1}n^2/（（4*n^2-1）^2**（4*n^2-（2*k+1）^2）^2。
对于k>=0，我们得到了Pi^2=（-1）^k*2^（6*k+8）*（2*k+1）^3/（6*k+1）*（（2*k）^6*（3*k）！）/（k！^3*（6*k）！）*和{n>=1}n^2/（（4*n^2-1）^3**（4*n^2-（2*k+1）^2）^3）。（完）
发件人彼得·巴拉20232年10月27日：（开始）
Pi^2=10-和{n>=1}1/（n*（n+1））^3。
Pi^2=6217/630+（648/35）*Sum_{n>=1}1/（n*（n+1）*（n+2）*（n+3））^3。
一般结果（使用WZ方法验证-见Wilf）为：对于n>=0，
Pi^2=A（n）+（-1）^（n+1）*B（n）*Sum_{k>=1}1/（k*（k+1）**（k+2*n+1））^3，其中A（n）=10-和{i=1..n}（-1）^（i+1）*（56*i^2+24*i+3）*（2*i）^3*（3*i）/（2i^2*（2i+1）*（6i+1）*我^3） 且B（n）=（2*n+1）^6*（3*n）！/（2*n+1）*（6*n+1）*不^3 ).
让n->oo得到快速收敛的交替级数
Pi^2=10-和{i>=1}（-1）^（i+1）*（56*i^2+24*i+3）*（2*i）^3*（3*i）/（2i^2*（2i+1）*（6i+1）*我^3). 级数的第i个和渐近于（14/3）*1/（i^2*27^i），因此取级数的70项，Pi^2的值精确到100位以上。
级数表示Pi^2=3*Sum_{k>=1}（2*k）/k^3可以加速以得到更快收敛的级数
Pi^2=99/10-（8/5）*Sum_{k>=1}（2*k+2）/（k*（k+1）*（k+2
Pi^2=54715/5544+（41472/385）*Sum_{k>=1}（2*k+4）/（k*（k+1）*（k+2）*（k+3）*。
一般结果是：对于n>=1，Pi^2=C（n）+（-1）^n*D（n）*Sum_{k>=1}（2*k+2*n）/（k*（k+1）**（k+2*n））^3，其中C（n）=A（n）-10*（-1）^n*（3*n）*（2*n）^3/（（2*n+1）*n^3*（6*n+1）！）并且D（n）＝（2*n）^6*（3*n）！/（2*n*（6*n-1）*不^3 ). （完）
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例子
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9.869604401089358618834490999876151135313699407240790626413349376220044...
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MAPLE公司
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数学
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真数字[Pi^2，10，111][[1](*罗伯特·威尔逊v2005年12月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=Pi^2；对于（n=120000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b002388.txt”，n，“”，d）\\哈里·史密斯2009年5月31日
（岩浆）R:=RealField（100）；Pi（R）^2//G.C.格鲁贝尔，2018年3月8日
（Python）#计算时使用一些保护数字。
#BBP公式（9/8）P（2，64，6，（16，-24，-8，-6，1，0））。
从十进制导入decimal as dec，getcontext
定义BBPpi2（n:int）->dec:
getcontext（）.prec=n
s=下降（0）；f=下降（1）；g=下降（64）
对于范围内的k（int（n*0.5536546824812272）+1）：
6xk=下降（6*k）
s+=f*（十进制（16）/（六进制+1）**2-十进制（24）/（六进制+2）**2
-十进制（8）/（六进制+3）**2-十进制（6）/（六进制+4）**2
+12月（1）/（六k+5）**2）
f/=克
返回（s*dec（9））/dec（8）
打印（BBPpi2（200））#彼得·卢什尼2023年11月3日
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