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a（n）=上限（（1+前面项的总和）/2），从a（0）=1开始。
（原名M0572）
+10
24
1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 14, 21, 31, 47, 70, 105, 158, 237, 355, 533, 799, 1199, 1798, 2697, 4046, 6069, 9103, 13655, 20482, 30723, 46085, 69127, 103691, 155536, 233304, 349956, 524934, 787401, 1181102, 1771653, 2657479, 3986219, 5979328, 8968992, 13453488, 20180232, 30270348, 45405522, 68108283, 102162425, 153243637, 229865456, 344798184
评论
原始定义：a（0）=1，状态（0）=2；对于n>=1，如果a（n-1）是偶数，则a（n）=3*a（n-1）/2和状态（n）=状态（n-1；如果a（n-1）是奇数且状态（n-1。[参见M.Alekseyev的公式以获得更简单的等效值。-Ed.]
源自约瑟夫斯问题的一个版本：序列给出了n的集合，如果你从n个人开始，每三个人退出一次，那么最后剩下的要么是第一个人，要么是第二个人。A081614号和A081615号给出子序列，其中剩下的是第一个人（分别是第二个人）。
当a（n）为奇数时，状态发生变化：因此，它指示a（0）与a（n）之和是否为奇数（1表示否，2表示是）。
和a（0）到a（n）永远不能被3整除（对于n>=0）；当和a（0）到a（n-1）是奇数时，精确地说是1模3，从而指示上一步的状态-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2008年5月14日
具有交替分支和非分支节点的种植二叉树的n级节点数-约瑟夫·舒拉克2012年8月26日
取Sum_{k=1..n}a（k）对象，并将它们划分为3个部分。始终可以从初始n项中使用加数生成这些部分，这是具有此特性的增长最快的序列。例如，以1+1+2+3+4+6+9=26个对象为例，如果我们对它们进行分区[10,9,7]，我们可以将这些大小生成为10=9+1，9=6+3，7=4+2+1。相应的序列划分为2部分是2的幂，A000079号通常，为了处理划分为k个部分的问题，将定义中的除以2替换为除以k-1-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2015年11月7日
a（n）是以3/2为基数写入时具有n+1位数的偶数整数的数目。例如，有两个偶数整数以3/2为基数使用三位数字：6和8：它们分别写为210和212-塔尼亚·霍瓦诺娃和PRIMES STEP高级小组，2018年6月3日
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
B.Chen、R.Chen、J.Guo、S.Lee等人。，基3/2及其序列，arXiv:1808.04304[math.NT]，2018年。
L.Halbeisen和N.Hungerbuehler，约瑟夫问题，J.Théor。Nombres Bordeaux 9（2）（1997），303-318。
A.M.Odlyzko和H.S.Wilf，函数迭代与约瑟夫问题格拉斯哥数学。J.33（1991），235-240。
配方奶粉
a（0）=1；a（n）=上限（（1+Sum_{k=0..n-1}a（k））/2）-唐·雷布尔2003年4月23日
a（1）=1，s（1）=2，当n>1时，a（n）=楼层（（3*a（n-1）+s（n-1-马克斯·阿列克塞耶夫2009年3月28日
a（n）=楼层（1+（前项总和）/2）-M.F.哈斯勒2012年10月14日
例子
n…..0…1…2…3…4…5…6…7…8…9…10…11…12…13…14。
状态=1。。。。。。。。。
状态=2..1…….2……3………….14..21……47……158..237
数学
f[s_]：=附加[s，天花板[（1+Plus@@s）/2]]；嵌套[f，{1}，40](*罗伯特·威尔逊v，2006年7月7日*）
nxt[{t_，a_}]：=模块[{c=天花板[（1+t）/2]}，{t+c，c}]；嵌套列表[nxt，{1，1}，50][[全部，2]](*哈维·P·戴尔2017年11月5日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a=1；s=2；对于（k=1，50，print1（a，“，”）；a=（3*a+s-1）\2；s=（s+a）%3；）}\\马克斯·阿列克塞耶夫2009年3月28日
（PARI）s=0；向量（50，n，-s+s+=s\2+1）\\M.F.哈斯勒2012年10月14日
（哈斯克尔）
a005428 n=a005428_列表！！n个
a005428_list=（迭代j（1，1）），其中
j（a，s）=（a'，（s+a'）`mod`2）其中
a'=（3*a+（1-s）*a`mod`2）`div`2
（Python）
从itertools导入islice
a、 c=1，0
产量1
为True时：
产量（a:=1+（（c:=c+a）>>1））
a（n）=从a（1）=1开始，n>=2时的上限（总和{i=1..n-1}a（i）/4）。
+10
15
1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 19, 24, 30, 37, 47, 58, 73, 91, 114, 142, 178, 222, 278, 347, 434, 543, 678, 848, 1060, 1325, 1656, 2070, 2588, 3235, 4043, 5054, 6318, 7897, 9871, 12339, 15424, 19280, 24100, 30125, 37656, 47070, 58838, 73547
评论
猜想1:a（n）等于以5/4为基数表示的4的倍数（参见A024634号)具有n-1个数字。例如，a（8）=3，因为在以5/4为基数的表示中，有三个4的倍数，其中n-1=7位数：36=4321031，40=4321420，44=4321424。
猜想2:a（n）等于非负整数数的1/5倍，且其5/4展开式具有n位数的性质（假设0的5/4展开表具有1位数）。例如，a（7）*5=10，因为以下10个数字有5/4个展开式，n=7位数字：35=4321030，36=4321031，37=4321032，38=4321033，39=4321034，40=4321420，41=4321421，42=432142，43=4321433，44=432142。（结束）
从a（11）=5开始，我们推测这个序列给出了所有这些数字m，当我们把m个人放在一个圆上，把它们标为1到m，从第1个人开始计数，每去掉第5个人，最后的幸存者的数字都在{1，2，3，4}。
当m=6、12、15、37、58、142、222、347。。。最后一名幸存者是1号人物。
当m=5、19、91、434、1656、2070、5054。。。最后一个幸存者是第二个人。
当m=8、10、24、30、73、114、178、278。。。最后一名幸存者是3号人物。
当m=47，543，2588，3235，6318，58838。。。最后一名幸存者是4号人物。（结束）
链接
尼古拉斯·塞里亚尔（Nicolas Thériault），约瑟夫问题的推广《实用数学》，58（2000），161-173（MR1801309）。
尼古拉斯·塞里亚尔（Nicolas Thériault），约瑟夫问题的推广《实用数学》，58（2000），161-173（MR1801309）。
例子
我们解释了为什么6和8属于与约瑟夫问题相关的序列（对于k=5的情况），而7不属于。
当我们把m=6的人放在一个圆圈上，把他们标记为1到6，从第1个人开始计数，每删除5个人，我们删除的人的列表是5->4->6->2->3。因此最后一个幸存者是人1，所以6属于这个序列。
当我们把m=7的人放在一个圆圈上，把他们标记为1到7，从第1个人开始计数，每删除第5个人，我们删除的人的列表是5->3->2->4->7->1。因此最后一个幸存者是人6（不在{1,2,3,4}中），所以7不属于这个序列。
当我们把m=8的人放在一个圆圈上，把他们标记为1到8，从第1个人开始计数，然后每删除第5个人，我们删除的人的列表是5->2->8->7->1->4->6。因此最后一个幸存者是3，所以8属于这个序列。（结束）
数学
f[s_]：=附加[s，天花板[Plus@@s/4]]；嵌套[f，1，53](*罗伯特·威尔逊v*)
（*第二个节目*）
f[n]：=f[n]=1+商[Sum[f[k]，{k，n-1}]，4]；
黄体脂酮素
（平价）
/*约瑟夫问题一般情况下的PARI程序。我们使用Burde-Thériault算法。这里k＝5。要获得相应的最后幸存者，请修改程序以获得向量j*/
列表（nn，k）={my（j=向量（nn））；my（f=向量（nn））；
j[1]=1；f[1]=0；N[1]=1；
对于（n=1，nn-1，f[n+1]=（（j[n]-n[n]-1）%（k-1））+1-j[n]；
j[n+1]=j[n]+f[n+1]；N[N+1]=（k*N[N]+f[N+1]）/（k-1）；）；
（岩浆）
函数f（n，a，b）
t： =0；
[1..n-1]do中的k
t+：=a+天花板（（b+t）/4）；
结束；
返回t；
末端函数；
g： =函数（n，a，b|f（n+1，a，b）-f（n，a，b）>；
（SageMath）
@缓存函数
a（n）=上限（总和{i=1..n-1}a（i）/5），a（1）=1。
+10
10
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 17, 21, 25, 30, 36, 43, 52, 62, 74, 89, 107, 128, 154, 185, 222, 266, 319, 383, 460, 552, 662, 795, 954, 1144, 1373, 1648, 1977, 2373, 2847, 3417, 4100, 4920, 5904, 7085, 8502, 10202, 12243, 14691, 17630
数学
f[s_]：=附加[s，天花板[Plus@@s/5]]；嵌套[f，{1}，57](*罗伯特·威尔逊v，2006年7月7日*）
黄体脂酮素
（SageMath）
@缓存函数
定义a（n）：
如果（n==1）：返回1
else：返回ceil（总和（a（k）/5代表k in（1..n-1））
（岩浆）
函数f（n，a，b）
t： =0；
[1..n-1]do中的k
t+：=a+天花板（（b+t）/5）；
结束；
返回t；
末端函数；
g： =函数（n，a，b|f（n+1，a，b）-f（n，a，b）>；
2017年1月：=func<n|n eq 1选择1其他g（n-1，1，-4）>；
a（n）=上限（总和{i=1..n-1}a（i）/8），a（1）=1。
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 36, 40, 45, 51, 57, 64, 72, 81, 91, 103, 116, 130, 146, 165, 185, 208, 234, 264, 297, 334, 376, 423, 475, 535, 602, 677, 762, 857, 964, 1084, 1220, 1372, 1544
数学
f[s_]：=附加[s，天花板[Plus@@s/8]]；嵌套[f，{1}，67](*罗伯特·威尔逊v*)
a（n）=上限（总和{i=1..n-1}a（i）/9），a（1）=1。
+10
10
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 31, 34, 38, 42, 47, 52, 58, 64, 71, 79, 88, 98, 109, 121, 134, 149, 166, 184, 205, 227, 253, 281, 312, 347, 385, 428, 476, 528, 587, 652, 725, 805, 895
MAPLE公司
N： =100:#从a（1）到a（N）
S： =0:A[1]：=1：
对于从2到n的n do
S： =S+A[n-1]；
A[n]：=天花板（S/9）；
日期：
数学
a[s_]：=附加[s，天花板[Plus@@s/9]]；嵌套[a，{1}，70](*罗伯特·威尔逊v，2006年7月7日*）
a（n）=上限（sum{i=1..n-1}a（i）/6），a（1）=1。
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 20, 23, 27, 32, 37, 43, 50, 59, 69, 80, 93, 109, 127, 148, 173, 202, 235, 275, 320, 374, 436, 509, 594, 693, 808, 943, 1100, 1283, 1497, 1747, 2038, 2377, 2774, 3236, 3775, 4404, 5138, 5995, 6994
数学
f[s_]：=附加[s，天花板[Plus@@s/5]]；嵌套[f，{1}，61](*罗伯特·威尔逊v*)
约瑟夫问题：把m编成数字，这样，当m人排在一个圆圈上，从1到m编上数字时，每去掉4个人，最后的幸存者就是前三个人中的一个。
（原名M3759）
+10
7
5, 7, 9, 12, 16, 22, 29, 39, 52, 69, 92, 123, 164, 218, 291, 388, 517, 690, 920, 1226, 1635, 2180, 2907, 3876, 5168, 6890, 9187, 12249, 16332, 21776, 29035, 38713, 51618, 68824, 91765, 122353, 163138, 217517, 290023, 386697, 515596, 687461, 916615, 1222153, 1629538, 2172717, 2896956, 3862608, 5150144, 6866859, 9155812, 12207749, 16276999, 21702665, 28936887, 38582516, 51443354
评论
我们用舒赫（1968）的语言描述了伯德（1987）的倒计时游戏。假设m个人被标上数字1到m（顺时针方向）。（伯德使用数字0到m-1可能是因为他将这个问题与m在分数基k/（k-1）=4/3中的表示联系起来。他实际上修改了m的（4/3）表示，以包含负系数。参见下面的系数f（n；k）。）
假设我们从标记为1的人开始计数，然后每4个人就删除一个。这个序列给出了数字m，其中最后一个幸存者是前三个人中的一个。
当m=5，9，12，16，218，517。。。最后一个幸存者是第一个人。
当m=7，29，69，92，291，388。。。最后一个幸存者是第二个人。
当m=22、39、52、123、164、690。。。最后一个幸存者是第三个人。
如果我们知道m=a（n）和最后一个幸存者的数字，比如i（n）（当圆圈上有一个（n）个人时），我们可以通过以下方式找到新的最后一个幸存者的数字i（n+1）（当圆上有一个人时）：
（a） 如果0＝a（n）mod 3，则a（n+1）＝（4/3）*a（n），并且i（n+1）＝i（n）。
（b） 如果1=a（n）mod 3且i（n）=1，则a（n+1）=上限（（4/3）*a（n。
（c） 如果1=a（n）mod 3且i（n）=2，则a（n+1）=楼层（（4/3）*a（n。
（d） 如果1=a（n）mod 3且i（n）=3，则a（n+1）=楼层（（4/3）*a（n。
（e） 如果2=a（n）mod 3且i（n）=1，则a（n+1）=上限（（4/3）*a（n。
（f） 如果2=a（n）mod 3且i（n）=2，则a（n+1）=上限（（4/3）*a（n。
（g） 如果2=a（n）mod 3且i（n）=3，则a（n+1）=楼层（（4/3）*a（n。（结束）
一般来说，对于k>=2，似乎当m个人被放置在一个标记为1到m的圆圈上，并且每个第k个人被移除（从第1个人开始计数）时，我们可以用以下方式确定最后一个幸存者在{1，2，…，k-1}中的m。
从T（1；k）=1开始，定义n>=2的序列（T（n；k）：n>=1）乘以T（n；k）=上限（Sum_{s=1..n-1}T（s；k）/（k-1））。然后，最后一个幸存者在{1，2，…，k-1}中的m的列表由所有数字T（n；k）>=k组成（因此，我们排除了序列中可能重复多次的情况m=1，…，k-1（T（n，k）：n>=1））。
虽然我坚信舒赫（1968）解决k=3问题的方法（见第373-375页和第377-379页，他提供了两种解决方法）可以为证明猜想提供线索，但我并没有对此猜想的一般证明。
我们也有T（n+1；k）=地板（（k/（k-1））*T（n；k））或天花板（（k=（k-1。
为了确定在上述约瑟夫问题中，当我们将T（n；k）人放在圆上（T（n）k）>=k）时产生的最后一个幸存者，我们使用了Thériault（2000）对Burde算法的修改。
我们使用以下递归，但我们从T（k；k）开始（而不是从T（n；k）>=k的最小n开始）。用S（n；k）=T（n+k-1；k）定义序列（S（n）：n>=1）。（很容易证明S（1；k）=T（k；k）=1。）
还定义序列（j（n；k）：n>=1）和（f（n；k）：n>=1）by j（1；k）=1，f（1；k）=0，f（n+1；k）=（（j（n；k）-S（n；k-1）mod（k-1））+1-j（n，k）和j（n+1；k。
然后，对于所有n s.t.s（n；k）>=k，j（n；k）是约瑟夫问题的最后一个幸存者的数量，其中删除了第k个人（前提是我们从数字1开始计数）。j（n；k）总是在{1,2，…，k-1}中。
对于n>=1，我们实际上有S（n+1；k）=（k*S（n；k）+f（n+1，k））/（k-1）。
注意，Burde-Thhériault算法是Schuh方法的推广。（结束）
参考文献
Fred Schuh，《数学娱乐大师书》，多佛，纽约，1968年。【这本书被Burde（1987）引用。表18，第374页，与一个非常相似的序列有关(A073941号). 因此，毫无疑问，书中描述的倒计时游戏与伯德（1987）中的类似倒计时游戏有关。]
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
尼古拉斯·塞里亚尔（Nicolas Thériault），约瑟夫问题的推广《实用数学》，58（2000），161-173（MR1801309）。
尼古拉斯·塞里亚尔（Nicolas Thériault），约瑟夫问题的推广《实用数学》，58（2000），161-173（MR1801309）。
例子
我们解释了为什么5和7在序列中，而6不在序列中。
如果我们把m=5的人放在圆圈上，把他们标记为1到5，从第1个人开始计数，然后每删除第4个人，那么被删除的人的列表是4->3->5->2。因此，最后一个幸存者是1，因此m=5包含在这个序列中。
如果我们把m=6的人放在一个圆圈上，把他们标记为1到6，从第1个人开始计数，然后每删除第4个人，那么被删除的人的列表是4->2->1->3->6。因此，最后一个幸存者是5（不是1、2或3），因此m=6不包括在这个序列中。
如果我们将m=7个人放在一个圆圈上，将他们标记为1到7，从第1个人开始计数，并每4个人删除一次，那么被删除的人的列表是4->1->6->5->7->3。因此，最后一个幸存者是2，因此m=7包含在这个序列中。
严格地说，m=2和m=3也应该包括在内（因为显然最后一个幸存者是1、2或3）。此外，m=4也应该包括在内，因为删除的人员列表是4->1->3。1号的情况确实产生了问题，因为没有幸存者。请注意，数字1、2、3、4都包含在A072493美元.（结束）
黄体脂酮素
（PARI）/*给出一个n X 2矩阵w s.t.w[，1]是该序列的项，w[，2]是最后幸存者的相应数字（1、2或3）*/
列表（nn）={my（w=矩阵（nn，2））；w[1，1]=5；w[1,2]=1；对于（n=1，nn-1，
如果（0==w[n，1]%3，w[n+1，1]=w[n，1]*4/3；w[n+1,2]=w[m，2]）；
如果（1==w[n，1]%3&&w[n；2]==1，w[n+1，1]=ceil（w[n、1]*4/3）；w[n+1，2]=w[n，2]+2）；
如果（1==w[n，1]%3&&w[n；2]==2，w[n+1，1]=楼层（w[n、1]*4/3）；w[n+1，2]=w[n，2]-1）；
如果（1==w[n，1]%3&&w[n、2]==3，w[n+1，1]=楼层（w[n；1]*4/3）；w[n+1，2]=w[n，2]-1）；
如果（2==w[n，1]%3&&w[n；2]==1，w[n+1，1]=ceil（w[n、1]*4/3）；w[n+1，2]=w[n，2]+1）；
如果（2==w[n，1]%3&&w[n；2]==2，w[n+1，1]=ceil（w[n、1]*4/3）；w[n+1，2]=w[n，2]+1）；
如果（2==w[n，1]%3&&w[n、2]==3，w[n+1，1]=楼层（w[n；1]*4/3）；w[n+1,2]=w[n,2]-2）；
（平价）
/*Josephus问题一般情况下的第二个PARI程序。我们使用的是Burde-Thhériault算法，而不是公式T（n；k）=天花板（总和{s=1..n-1}T（s；k）/（k-1））。我们从T（k；k）=1开始（省略前面的所有1）。负担从最小的T（n；k）>=k开始，其对应的最后一个幸存者为1。然而，这可能非常大。要获得相应的最后幸存者，请修改程序以获得向量j*/
列表（nn，k）={my（j=向量（nn））；my（f=向量（nn））；
j[1]=1；f[1]=0；N[1]=1；
对于（n=1，nn-1，f[n+1]=（（j[n]-n[n]-1）%（k-1））+1-j[n]；
j[n+1]=j[n]+f[n+1]；N[N+1]=（k*N[N]+f[N+1]）/（k-1）；）；
扩展
更多术语（摘自伯德论文，第208页）来自R.J.马塔尔2006年9月26日
广义约瑟夫问题：设T（m，k），k>=2，m=1,2,3，。。，是一个圆圈上的人数，这样在每个k人被移除后，幸存者就是首批k-1人之一。
+10
1
1, 2, 1, 4, 2, 1, 8, 3, 2, 1, 16, 4, 3, 2, 1, 32, 6, 4, 3, 2, 1, 64, 9, 5, 4, 3, 2, 1, 128, 14, 7, 5, 4, 3, 2, 1, 256, 21, 9, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 512, 31, 12, 8, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1024, 47, 16, 10, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2048, 70, 22, 12, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1
评论
如示例所示，该表由升序反对偶项读取。
一般情况：T（m，k）=m表示m<k。这适用于m=k，因为第k个人先被移除，除k=2外，m=k+1也适用于m=k+1，因为最后三个人先被删除。
公式部分中的递归不仅产生T（m，k），还产生幸存者数s（m，k），因此约瑟夫问题可以针对任意数量的N个人解决，特别是对于大N个人，因为T（m、k）是指数增长的，请参阅链接“递归的推导”，第二节。
T（m，k）与其他序列的比较（“->”表示可以通过删除重复项使序列相等，参见链接“递归的推导”，第四节）。
配方奶粉
T（m，k）和S（m，k）的循环次数，即幸存者人数。
开始：T（1，k）=S（1，k）=1。
T（m+1，k）=（k*T（m，k）+e）/（k-1），
S（m+1，k）=1+（S（m，k）+e-1）模型T（m+1、k），
如果S（m，k）>p且e=k-1-p，则e=-p，否则p=T（m，k）mod（k-1）。
例子
k=4:7人，幸存者人数2<4。
k=4:6人，幸存者数量5>=4，反例。
表T（m，k）开始：
m\k___2___3___4___5
1: 1 1 1 1
2: 2 2 2 2
3: 4 3 3 3
4: 8 4 4 4
5: 16 6 5 5
6: 32 9 7 6
7: 64 14 9 8
8: 128 21 12 10
9: 256 31 16 12
10: 512 47 22 15
黄体脂酮素
（最大值）
块（k:10，mmax:30，t:1，s:1，t:[1]，
/*术语T（m，k），m=1至mmax*/
从1到mmax-1 do的m(
p： 模型（t，k-1），
如果s>p，则e:-p，否则e:k-1-p，
t： （k*t+e）/（k-1），s：1+mod（s+e-1，t），
T： 追加（T，[T]）），
收益（T））；
具有以8/7为基数展开的属性的非负整数的数量（请参见A024649号)有n个数字。
+10
0
8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 16, 16, 16, 16, 24, 24, 32, 32, 40, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 184, 216, 240, 280, 320, 360, 416, 472, 544, 616, 704, 808, 920, 1056, 1208, 1376, 1576, 1800, 2056, 2352, 2688, 3072, 3512, 4008, 4584
评论
数字8-15以8/7为基数，分别用70、71、72、73、74、75、76、77表示。这些是仅有的两位数整数，因此a（2）=8。
黄体脂酮素
（鼠尾草）
A=[1]
对于[1..60]中的i：
A.追加（ceil（（8-7）/7*总和（A））
[8*x表示A中的x]
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