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由连续素数构成的任何n×n幻方的最小幻方常数,如果不存在这样的幻方,则为0。
+10 26
2, 0, 4440084513, 258, 313, 484, 797, 2016, 2211, 2862, 4507, 6188, 6325, 9660, 12669, 13016, 16857, 19530, 23069, 28184, 38761, 46302, 42515, 49846, 59087, 70260, 73385, 78960, 97267, 98316, 111023, 124454, 134641, 152952, 163043, 180596, 195975, 218432, 237623, 293182, 276243, 298868
参考文献
Allan W.Johnson,Jr.,《休闲数学杂志》,第14:2卷,1981-82,第152-153页。
Allan W.Johnson,Jr.,《休闲数学杂志》,第23:3卷,1991年,第190-191页。
H.L.Nelson,《休闲数学杂志》,1988年,第20:3卷,第214页。
Clifford A.Pickover,《魔方、圆圈和星星的禅宗:跨越维度的令人惊讶的结构展览》,普林斯顿大学出版社,2002年。
链接
铃木文美,幻方的研究1957年,日语。给出由连续素数组成的4到9阶最小平方。
例子
15阶的平方由马卡洛娃,由Stefano Tognon传达,2009年9月23日:
[ 131 167 229 461 541 617 733 911 967 1091 1259 1279 1319 1471 1493
547 907 1583 1613 149 1423 193 1601 941 137 233 389 1039 1283 631
1019 181 751 163 1453 1301 1297 1277 271 1619 1327 691 277 281 761
1307 719 359 919 1063 653 1237 269 1433 863 1439 313 191 1021 883
503 1367 433 1013 829 1153 317 347 1109 491 1249 677 1451 1489 241
421 311 1487 439 1049 1409 1123 463 409 983 449 1031 1163 373 1559
1399 1193 419 1531 971 647 977 1051 709 479 1229 379 353 1093 239
599 953 1213 587 499 727 1321 787 307 1151 157 1571 1033 773 991
211 1291 1499 577 1087 349 947 467 739 613 1171 1609 173 839 1097
563 139 1373 1459 1289 443 619 1201 1427 809 881 1303 331 263 569
607 1607 1511 673 1181 1481 1217 523 661 857 223 743 197 431 757
853 643 701 179 1483 571 769 859 1447 659 929 997 1223 1129 227
1549 887 257 557 367 1061 601 337 1361 937 1231 811 1543 293 877
1579 1187 397 1069 509 683 797 1567 401 383 641 283 823 827 1523
1381 1117 457 1429 199 151 521 1009 487 1597 251 593 1553 1103 821]
扩展
a(15)来自马卡洛娃,a(16)和Stefano Tognon的进一步条款
由连续素数组成的3×3幻方列表,按幻数和递增的顺序排列。仅列出了等效正方形(模D4对称)的字典序最小变体,作为包含3行正方形的行。
+10 11
1480028141, 1480028189, 1480028183, 1480028213, 1480028171, 1480028129, 1480028159, 1480028153, 1480028201, 1850590069, 1850590117, 1850590111, 1850590141, 1850590099, 1850590057, 1850590087, 1850590081, 1850590129, 5196185959, 5196186007, 5196186001, 5196186031, 5196185989, 5196185947, 5196185977, 5196185971, 5196186019
参考文献
Allan W.Johnson,Jr.,《休闲数学杂志》,第23:3卷,1991年,第190-191页。
Clifford A.Pickover,《魔方、圆圈和星星的禅宗:跨越维度的令人惊讶的结构展览》,普林斯顿大学出版社,2002年。
例子
第一行9项(1480028141、1480028189、1480028.183、1480028213、14800218171、14800281、14800229、1480028、159、148002、153、148028201)对应于以下连续素数的最小3 X 3幻方:
[1480028141 1480028189 1480028183]
[1480028213 1480028171 1480028129] .
[1480028159 1480028153 1480028201]
第十一行给出了第一个示例,其中第二项小于第三项:
[23813359643 23813359721 23813359727]
[23813359781 23813359697 23813359613] .
[23813359667 23813359673 23813359751]
黄体脂酮素
(PARI)A320873型_行(n)=向量提取(n=魔法素数(3*A166113号[n] ,3),[2,6+n=n[2]*2==n[1]+n[3],7-n,9,5,1,3+n,4-n,8])\\有关MagicPrimes(),请参阅A073519号(第一行的素数集)。
/*下面允许生成幻方的所有8个变体,这些变体在幻方的4个对称轴中的任何一个轴上都是等效的模反射*/
REV(M)=matconcat(Vecrev(M))\\反转M列的顺序
FLIP(M)=matconcat(Colrev(M))\\反转M的行顺序
ALL(M,C(f,L)=concat(apply(f,L),L))=集合(C(REV,C(FLIP,[M,M~]))\\PARI根据矩阵的(第一)列对集合进行排序,因此必须使用转置来根据第一行的元素对其进行排序。
16个连续素数的集合,形成4×4泛对角线幻方,幻方常数最小,682775764735680=A256234型(1).
+10 5
170693941183817, 170693941183847, 170693941183859, 170693941183861, 170693941183889, 170693941183891, 170693941183903, 170693941183907, 170693941183933, 170693941183937, 170693941183949, 170693941183951, 170693941183979, 170693941183981, 170693941183993, 170693941184023
评论
此外,由16个最小的连续素数组成的集合形成了一个4x4的斯坦利反魔法正方形。
例子
由这些素数构成的泛对角线幻方:
170693941183817 170693941183933 170693941183949 170693941183981
170693941183979 170693941183951 170693941183847 170693941183903
170693941183891 170693941183859 170693941184023 170693941183907
170693941183993 170693941183937 170693941183861 170693941183889
由这些素数构成的斯坦利反幻方:
170693941183817 170693941183859 170693941183907 170693941183949
170693941183847 170693941183889 170693941183937 170693941183979
170693941183861 170693941183903 170693941183951 170693941183993
170693941183891 170693941183933 170693941183981 170693941184023
交叉参考
囊性纤维变性。A210710型:由不同素数组成的n阶Stanley反魔平方的最小指数。
囊性纤维变性。A104157号:n X n个连续素数中最小的一个,形成一个幻方。
词汇学上第一个由连续素数组成的4×4全对角线幻方。
+10 三
170693941183817, 170693941183933, 170693941183949, 170693941183981, 170693941183979, 170693941183951, 170693941183847, 170693941183903, 170693941183891, 170693941183859, 170693941184023, 170693941183907, 170693941183993, 170693941183937, 170693941183861, 170693941183889
评论
这也是由连续素数构成的4X4泛对角线幻方,其幻方常数(=和)最小,为682775764735680=A256234型(1). (在本例中,没有其他具有相同幻数和的非等价泛对角线4X4幻方,但对于320872美元.)
存在许多由连续素数组成的非对角4X4幻方,其幻方常数要小得多,最小的是A073520型(4) = 258.
泛对角线意味着不仅2条主对角线,而且其他6条“破碎”对角线都有相同的和,对于k=1,…,求和{i=1..4}A[i,M4(k+-i)]=682775764735680。。。,{1,…,4}中的M4(x)=y,使得y==x(mod 4)。
泛对角线幻方允许列或行的旋转(但不允许任意循环排列,例如1->3->4->1),以及正方形的4个对称轴上的反射(这也会产生围绕正方形中心的90度旋转)。在这个方块的所有变体中,没有元素早于(170693941183817,1706939410183933,…)的,请参阅PROGRAM进行明确验证。
相同的4X4素数按顺序递增A245721型但给出的信息不超过最小项、中心项或魔法常数本身(参见。A256234型)它唯一地确定素数序列(参见PARI代码),因为它们必须是连续的,并且它们的和等于魔法常数的4倍。当前序列提供了有关幻方的完整信息,给定的PARI代码允许生成幻方的所有“等效”变体。
参考文献
Allan W.Johnson,Jr.,《休闲数学杂志》,第23:3卷,1991年,第190-191页。
Clifford A.Pickover,《魔方、圆圈和星星的禅宗:跨越维度的令人惊讶的结构展览》,普林斯顿大学出版社,2002年。
例子
魔方是
[ 170693941183817 170693941183933 170693941183949 170693941183981 ]
[ 170693941183979 170693941183951 170693941183847 170693941183903 ]
[ 170693941183891 170693941183859 170693941184023 170693941183907 ]
[ 170693941183993 170693941183937 170693941183861 170693941183889 ]
黄体脂酮素
(PARI)/*以下矩阵变换运算符与转置一起,允许生成(泛对角线)幻方的所有(24表示n=4)变体*/
REV(M)=matconcat(Vecrev(M))\\反转M列的顺序
FLIP(M)=matconcat(Colrev(M))\\颠倒M行的顺序
ROT(M,k=1)=matconcat([M[,k+1..#M],M[,1..k]])\\按k向左旋转(默认值:1)列
ALL(M)=集合(concat(apply(M->vector(#M,k,ROT(M,k)),[M,M~,REV(M),REV(M~),FLIP(M),FLIP(M~)]))\\PARI根据矩阵的(第一)列对集合进行排序,因此必须进行转置才能根据第一行的元素对集合进行排序。
n^2个连续素数中的最小素数,形成具有最小幻数和的nXn半幻方,如果不存在这样的幻方,则为0。
+10 1
2, 0, 21821, 5, 13, 7, 7, 79, 37, 23, 67, 89, 13, 89, 131, 31, 71, 47, 43, 73, 277, 353, 41, 67, 127, 223, 79, 13, 193, 5, 23, 43, 5, 67, 3, 19, 5, 59, 59, 653, 19, 19, 97, 409, 5, 383, 29, 137, 379, 349, 653, 1187, 47, 41, 37, 17, 619, 89, 283, 283, 43, 479, 191
a(n)=由连续素数组成的n×n幻方的最小潜在幻方常数。
+10 1
2, 18, 121, 124, 313, 484, 797, 2016, 2211, 2862, 4507, 6188, 6325, 9660, 12669, 13016, 16857, 19530, 23069, 28184, 38761, 46302, 42515, 49846, 59087, 70260, 73385, 78960, 97267, 98316, 111023, 124454, 134641, 152952, 163043, 180596, 195975, 218432, 237623
评论
潜在幻方常数是由以下必要条件定义的:对于任何潜在幻方,连续素数的和必须可以被n阶整除,并且在连续素数和除以n阶后,它必须与n阶具有相同的奇偶性。
n^2个连续素数中的最小素数,使得这组连续素数具有最小的潜在魔法常数(如A342124型).
+10 1
2, 5, 23, 5, 13, 7, 7, 79, 37, 23, 67, 89, 131, 31, 71, 47, 43, 73, 277, 353, 41, 67, 127, 223, 79, 13, 193, 5, 23, 43, 5, 67, 3, 19, 5, 59, 59, 653, 19, 19, 97, 409, 5, 383, 29, 137, 379, 349, 653, 1187, 47, 41, 37, 17, 619, 89, 283, 283, 43, 479, 191, 1009, 571
评论
潜在幻方常数是由获得幻方的必要条件定义的,即对于任何潜在幻方,连续素数的和必须可以被n阶整除,并且在连续素数和除以n阶后,它必须具有与n阶相同的奇偶性。
一组n^2个连续素数中已知的最小素数,其幻数常数也是最小的可能幻数常数,由下式给出A104157号人们认为,对于n>=5,a(n)=A104157号(n) ●●●●。
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