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行读取的三角形T（n，k）（1<=k<=n）：T（n、k）是[1..n]与k个分量的置换数。
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1, 1, 1, 3, 2, 1, 13, 7, 3, 1, 71, 32, 12, 4, 1, 461, 177, 58, 18, 5, 1, 3447, 1142, 327, 92, 25, 6, 1, 29093, 8411, 2109, 531, 135, 33, 7, 1, 273343, 69692, 15366, 3440, 800, 188, 42, 8, 1, 2829325, 642581, 125316, 24892, 5226, 1146, 252, 52, 9, 1
链接
路易斯·孔特特，高级组合数学雷德尔，1974年，第262页（#14）。
安东尼奥·迪·克雷森佐（Antonio Di Crescenzo）、芭芭拉·马丁努奇（Barbara Martinucci）和阿卜杜拉齐兹·朗迪（Abdelaziz Rhandi），星图上的线性生灭过程及其扩散逼近，arXiv:1405.4312[math.PR]，2014年。
谢尔盖·基塔耶夫（Sergey Kitaev）和菲利普·张（Philip B.Zhang），短长度网格图案的分布，arXiv:1811.07679[math.CO]，2018年。
配方奶粉
设f（x）=Sum_{n>=0}n*x^n，g（x）=1-1/f（x）。那么g（x）是第一对角线的g.fA003319号和和{n>=k}T（n，k）*x^n=g（x）^k。
三角形T（n，k），n>0和k>0，按行读取；由[0,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6…]DELTA给出A000007号其中DELTA是Deléham的运算符，定义于A084938号.
如果g（x）=x+x^2+3*x^3+13*x^4+。。。是没有全局下降的置换数的生成函数，则1/（1-g（x））是n！的生成函数！。在f（x，t）中设置t=1意味着求和{k=1..n}t（n，k）=n！。设g（x）为A003319号然后，该表的o.g.f.由f（x，t）=1/（1-t*g（x））-1给出（即f（x、t）中x^n*t^k的系数为t（n，k））-迈克·扎布罗基2004年7月29日
例子
三角形开始：
[1] [ 1]
[2] [ 1, 1]
[3] [ 3, 2, 1]
[4] [ 13, 7, 3, 1]
[5] [ 71, 32, 12, 4, 1]
[6] [ 461, 177, 58, 18, 5, 1]
[7] [ 3447, 1142, 327, 92, 25, 6, 1]
[8] [ 29093, 8411, 2109, 531, 135, 33, 7, 1]
[9] [273343, 69692, 15366, 3440, 800, 188, 42, 8, 1]
数学
（*p=不可分解排列=A003319号*)p[n]：=p[n]=n！-求和[k！*p[n-k]，{k，1，n-1}]；t[n，k]/；n<k=0；t[n，1]：=p[n]；t[n，k]/；n>=k:=t[n，k]=和[t[n-j，k-1]*p[j]，{j，1，n}]；扁平[表[t[n，k]，{n，1，10}，{k，1，n}]](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2012年3月6日之后菲利普·德尔汉姆*)
黄体脂酮素
（SageMath）
R=多项式环（ZZ，'x'）
C=[R（0）]+[R（1），对于范围内的i（dim+1）]
A=[（i+2）//2，对于范围内的i（dim+1）]
A[0]=R.gen（）；T=[]
对于范围（1，dim+1）中的k：
对于范围（k，0，-1）中的n：
C[n]=C[n-1]+C[n+1]*A[n-1]
T.append（列表（C[1]）[1:：]）
返回T
#将基于（0，0）的列（1，0，0，…）添加到三角形的左侧。
尺寸=10
A=ZZ[['t']]；g=A（[0]+[范围（1,30）中n的阶乘（n）]）。O（尺寸+2）
部件变速器（尺寸，λn：列表（g/（1+g））[n]）#彼得·卢什尼2022年9月11日
按行读取的三角形：T（n，k）（n>=1，0<=k<n）是n个元素在其连通集中与n-k个元素的排列数。
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5
1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 7, 13, 1, 4, 12, 32, 71, 1, 5, 18, 58, 177, 461, 1, 6, 25, 92, 327, 1142, 3447, 1, 7, 33, 135, 531, 2109, 8411, 29093, 1, 8, 42, 188, 800, 3440, 15366, 69692, 273343, 1, 9, 52, 252, 1146, 5226, 24892, 125316, 642581, 2829325
评论
假设我们将数字从1排列到5。例如，考虑置换（1,2,3,4,5）->（3,1,2,5,4）。请注意，正好有一个点，我们可以将这个置换切成两个连续的片段，这样就不会有项目从一个片段排列到另一个片段，即（3,1,2|5,4）。这个“割”的性质是，它左边的所有索引都小于它右边的所有索引。没有其他这样的切点：（3,1|2,5,4）不起作用，例如，因为3>2。
斯坦利将“连接性集”定义为一组位置，您可以在这些位置进行切割。在这种情况下，连接集是{3}。
在当前序列中，T（n，k）是具有k个切点的n个元素的置换数。（结束）
本质上是与[1、0、0、0,0、0，0，…]DELTA[0、1、2、2、3、3、4、4、5…]相同的三角形，其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2020年2月18日
链接
理查德·斯坦利，置换的下降集和连通集，arXiv:math/0507224[math.CO]，2005年。
例子
三角形开始：
1,
1, 1,
1, 2, 3,
1, 3, 7, 13,
1, 4, 12, 32, 71,
1, 5, 18, 58, 177, 461,
...
三角形[1,0,0,0，0，…]三角形[0,1,2,2,3,3，…]：
1;
1, 0;
1, 1, 0;
1, 2, 3, 0;
1, 3, 7, 13, 0;
1, 4, 12, 32, 71, 0;
数学
行=11；
大多数/@DELTA[表[Boole[n==1]，{n，行}]，联接[{0，1}，线性递归[{1，1，-1}，{2，2，3}，行]]，行]//扁平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2020年2月18日之后菲利普·德尔汉姆*)
黄体脂酮素
（SageMath）#cf.FindStat链接
定义统计（x）：
return len（set（x.reduced_word（）））
对于[1..6]中的n：
对于排列（n）中的pi：
打印（pi，“=>”，统计（pi））
1, 1, 7, 58, 531, 5226, 54598, 601924, 6985987, 85328266, 1097775922, 14897635468, 213581648046, 3238686925956, 51972937713900, 882473430354888, 15839021166164451, 300037212548146890, 5986554523174314490, 125537613562829696828, 2760474045847159393466
配方奶粉
a（n）=[x^（2n）]（1-1/和{j=0..2n}j！*x^j）^n。
a（n）~sqrt（2*Pi）*n^（n+5/2）/exp（n-1）-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年6月25日
例子
a（2）=7:1 | 342，1 | 423，1 | 432，21 | 43，231 | 4，312 | 4，321 | 4。
a（3）=58:1|2|4563，1|2|4635，1|2%4653，1|2_5364。。。，4213|5|6, 4231|5|6, 4312|5|6, 4321|5|6.
数学
p[n]：=p[n]=n！-求和[k！*p[n-k]，{k，1，n-1}]；
温度[n_，k_]/；n<k=0；
T[n_，1]：=p[n]；
温度[n_，k_]/；n>=k:=T[n，k]=总和[T[n-j，k-1]*p[j]，{j，1，n}]；
a[n_]：=T[2n，n]；
B型第n个Weyl群元素的三角形T（n，k），其约简字使用n-k生成器。
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2
1, 1, 1, 5, 2, 1, 35, 9, 3, 1, 309, 56, 14, 4, 1, 3287, 443, 84, 20, 5, 1, 41005, 4298, 623, 120, 27, 6, 1, 588487, 49937, 5629, 859, 165, 35, 7, 1, 9571125, 680700, 61300, 7360, 1162, 220, 44, 8, 1, 174230863, 10683103, 793402, 75714, 9584, 1544, 286, 54, 9, 1
评论
行总和为2^n！。
第k列的G.f.由（1-1/G（x））^（k-1）*G（2x）/G（x）给出。
配方奶粉
G.f.：G（2x）/（t+（1-t）G（x）），其中G（x）=总和{n>=0}n！x ^n个。
例子
T（3,1）=9，因为B_3是由{T，s1，s2}生成的，其中T^2=s1^2=s2^2=（s1s2）^3=（ts1）^4=（ts2）^2=1。
只使用2个生成器的9个元素是{s1 s2、s1 s2s s1、s2 s1、s2 t、ts1、s1 t s1 t、s1 t、ts1 t}。
三角形开始：
1;
1, 1;
5, 2, 1;
35, 9, 3, 1;
309, 56, 14, 4, 1;
...
MAPLE公司
f： =proc（n，k）局部gx；gx:=添加（i！*x^i，i=0..n）；系数（级数（（1-1/gx）^k*subs（x=2*x，gx）/gx，x，n+1），x，n）；结束：
数学
nmax=9；
g[x_]=和[n！*x^n，{n，0，nmax}]；
gf[x，t]=g[2*x]/（t+（1-t）*g[x]）；
T[n_，k_]：=级数系数[gf[x，T]，{x，0，n}]//级数系数[#，{T，0，k}]&；
表[T[n，k]，{n，0，nmax}，{k，0，n}]//扁平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2017年11月25日*）
2^{n-1}n阶D型Weyl群元素个数表T（n，k）！这样，简化后的单词正好使用n-k个不同的简单反射0<=k<=n，n>=1。
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0, 0, 1, 1, 2, 1, 13, 7, 3, 1, 135, 40, 12, 4, 1, 1537, 293, 66, 18, 5, 1, 19811, 2646, 451, 100, 25, 6, 1, 289073, 28887, 3753, 663, 143, 33, 7, 1, 4741923, 374820, 37798, 5232, 940, 196, 42, 8, 1, 86705417, 5676121, 457508, 49444, 7174, 1294, 260, 52, 9, 1
配方奶粉
G.f.：（G（2x）-（2t x-4t-2x+4）G（x）-4t+3）/（2（t+（1-t）G（x）），其中G（x=sum_{n>=0}n！对于由（g（2x）+3）/（2g
例子
D_3是由{s_0，s_1，s_2}生成的，其中s_0^2=s_1^2=s2^2=（s_0s_1）^2=T（3,1）=7。T（3,0）=13，因为其余13个元素将在所有三个简单反射出现的地方减少单词。
MAPLE公司
f2：=程序（n，k）局部i，gx，g2x；gx:=添加（i！*x^i，i=0..n）；g2x:=子（x=2*x，gx）；系数（级数（（（g2x+3）/（2*gx）+x）*（1-1/gx）^k-x*（1-1/gx）^（k-1），x，n+1），x、n）；结束：f1:=n->系数（级数（（加（2^k*k！*x^k，k=1..n）+4）/加（2*k！*x^k、k=0..n）+x-2，x，n+1），x，n）；T： =（n，k）->如果k=0，则f1（n），否则f2（n，k）fi；
数学
最大值=10；
fA=1-1/总和[n！*x^n，{n，0，max}]+O[x]^max；
fD=（3+总和[2^n*n！*x^n，{n，0，max}]）/；
f=（2*t*fA-2*t*1x+t^2*x*fA+fD）/（1-t*fA）；
row[n_]：=系数列表[系列系数[f，｛x，0，n｝]，t]；
联接[{{0}}，{{0,1}}、表[row[n]，{n，2，max-1}]//扁平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2017年11月28日*）
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