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0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 30, 31, 33, 34, 36, 38, 39, 41, 42, 44, 45, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 57, 58, 60, 61, 63, 64, 66, 68, 69, 71, 72, 74, 76, 77, 79, 80, 82, 84, 85, 87, 88, 90, 91, 93, 95, 96, 98, 99, 101, 103, 104, 106, 107
例子
a（3）=4，因为3^3=27和2^4=16是2的幂，正好低于27。
MAPLE公司
seq（ilog2（3^n），n=0。。1000); #罗伯特·伊斯雷尔2014年12月11日
数学
表[楼层[Log[2，3^n]]，｛n，0，69｝](*罗伯特·威尔逊v2006年4月6日*）
表[Floor[n*Log[2,3]]，{n，0，68}](*L.埃德森·杰弗里2014年12月11日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，logint（3^n，2））}/*迈克尔·索莫斯2014年12月13日*/
（哈斯克尔）
j阶可容许序列的个数；与3x+1问题和Wagon常数有关。
+10
16
1, 1, 2, 3, 7, 12, 30, 85, 173, 476, 961, 2652, 8045, 17637, 51033, 108950, 312455, 663535, 1900470, 5936673, 13472296, 39993895, 87986917, 257978502, 820236724, 1899474678, 5723030586, 12809477536, 38036848410, 84141805077, 248369601964
评论
埃里克·鲁森达尔（Eric Roosendaal）统计了所有可容许序列，直至j=1000（2005）。注：Wagon和Chamberland在Wagon常数9.477955的定义中都有错误……表达式floor（1+2*i+i*log_2（3））应替换为floor（1+i+i*log_2（三））。
猜想：对于每一个n>3，用公式a（2）给出a（n）。。a（n-1）。这允许我们创建一个迭代算法，该算法为每个n>6生成一个（n）。对于每个n<=53，都已证明了这一点。对于较高的n值，算法必须稍作修改-迈克·温克勒2018年1月3日
定理1：对于每个k>1，使用公式a（1）给出了a（k）。。a（k-1）。即，对于k>=1，a（1）=1和a（k+1）=Sum_{m=1..k}（-1）^（m-1）*二项式（楼层（（k-m+1）*（log（3）/log（2）））+m-1，m）*a（k-m+1））-弗拉基米尔·扎鲁宾2015年9月25日
链接
张伯伦先生，未实现问题3x+1，巴特尔。Catalana Mat.18（2003）19-45。
斯坦·瓦贡，Collatz问题，数学。Intelligencer 7（1985）72-76。
配方奶粉
序列s（k），其中k=1，2。。。，n、 是*容许*，如果它满足s（k）=3/2精确j次，s（k）=1/2精确n-j次，s（1）*s（2）**s（n）<1但s（1）*s（2）**所有1<m<n的s（m）>1。
a（n）=（m+n-2）/（m！*（n-2）！）-求和{i=2..n-1}二项式（floor（（3*（n-i）+b）/2），n-i）*a（i），其中m=floor（n-1）*log_2（3））-（n-1。（推测）
a（n）=和{k=n-1。。A056576号（n-1）}（k，n）。（定理2，参考示例）
例子
1阶唯一可容许序列是3/2，1/2。
2阶唯一容许序列是3/2，3/2，1/2，1/2。
3阶的两个可容许序列是3/2、3/2、3/4、1/2、1/2和3/2、2/2、1/2、3/2和1/2。
a（13）=8045=二项式（楼层（5*（13-2）/3），13-2）
-求和{i=2..6}二项式（楼面（（3*（13-i）+0）/2），13-i）*a（i）
-求和{i=7..11}二项式（楼面（（3*（13-i）-1）/2），13-i）*a（i）
-求和{i=12..12}二项式（楼面（（3*（13-i）-2）/2），13-i）*a（i）
= 31824 - 4368*1 - 3003*2 - 715*3 - 495*7 - 120*12 - 28*30 - 21*85 - 5*173 - 4*476 - 1*961 - 0*2652. （推测）
下表显示了定理2的工作原理。没有条目等于零。
--------------------------------------------------|
k=2|1|1
k=3|1 1|2
k=4|2 1|3
k=5|3 1|4
k=6 | 3 4 1 | 8
k=7 | 7 5 1 | 13
k=8 | 12 6 1 | 19
k=9 | 12 18 7 1 | 38
k=10 | 30 25 8 1 | 64
k=11 | 30 55 33 9 1 | 128
: | : : : : .. | :
--------------------------------------------------|---------
a（n）=2 3 7 12 30 85 173 476 961 2652|
此表中的条目（k，n）由规则（k+1，n）=（k，n）+（k，n-1）生成。（k+1，n）的最后一个值由k+1给出=A056576号（n-1），或仅当A022921美元（n-2）=2。那么a（n）等于n列中的项目之和。对于n=7，有1=0+1，5=1+4，12=5+7，12=12+0。因此，a（7）=1+5+12+12=30。第k行的总和等于A076227号（k） ●●●●。（结束）
树状视图。
n树--A098294号--ids-----路径-----------------a（n）
0 ._ 0 0 0 -
1 |_ 1 1 10 1
2 |_._ 2 2 1100 1
3 |_|_ 2 3-4 11010 - 11100 2
4 |_|_._ 3 5-7 1101100 - 1111000 3
5 |_|_|_ 3 8-14 11011010 - 11111000 7
6 |_|_|_._ 4 15-26 1101101100-1111110000 12
7 |_|_|_|_._ 5 27-56 ... 30
8 |_|_|_|_|_ 5 57-141 ... 85
...
（结束）
数学
（*基于Eric Roosendaal的算法*）nn=100；清除[x，y]；做[x[i]=0，{i，0，nn+1}]；x[1]=1；t=表格[Do[y[cnt]=x[cnt]+x[cnt-1]，{cnt，p+1}]；做[x[cnt]=y[cnt]，{cnt，p+1}]；admis=0；执行[如果[（p+1-cnt）*Log[3]<p*Log[2]，admis=admis+x[cnt]；x[cnt]=0]，{cnt，p+1}]；admis，{p，2，nn}]；删除案例[t，0](*T.D.诺伊2006年9月11日*）
黄体脂酮素
{极限=100；n=1；x=y=向量（极限+1）；x[1]=1；对于（b=2，极限，对于（c=2，b+1，y[c]=x[c]+x[c-1]）；对于（c=2，b+1；x[c]=y[c]）；a_n=0；对于（c=1，b+1，if（b+1-c）*log（3）<b*log 0，打印（n“”a_n）；n++））}\\迈克·温克勒2015年2月28日
猜想的（PARI）/*算法*/
{极限=53；zn=向量（极限）；zn[2]=1；zn[3]=2；zn[4]=3；zn[5]=7；zn[6]=12；f=1；e1=-1；e2=-2；对于（n=7，极限，m=地板（（n-1）*log（3）/log（2））-（n-1若（压裂（（n-6）/12）==0，f++；e1=e1+2）；直到（c>=n-1，对于（i=2+a*5+b，1+d+a*5，如果（i>11&&frac（（i+2）/6）==0，b++）；δ=e-a；总和=总和+二项式（下限（（3*（n-i）+δ）/2），n-i）*zn[i]；c++）；a++；对于（k=3,50，如果（n>=k*6&&a==k-1，d=k+3））；zn[n]=j-Sum；打印（n“”zn[n]）}\\迈克·温克勒2018年1月3日
（PARI）/*cf.定理2的代码*/
{limit=100；/*或limit>100*/p=q=向量（limit）；c=2；w=log（3）/log（2）；对于（n=3，limit，p[1]=总和=1；对于（i=2，c，p[i]=p[i-1]+q[i]；总和=Sum+p[i]）；a_n=总和；打印（n“”“a_n，c++））；}\\迈克·温克勒2015年4月14日
定理1的（PARI）/*算法*/
n=20；a=矢量（n）；log32=对数（3）/对数（2）；
{a[1]=1；对于（k=1，n-1，a[k+1]=和（m=1，k，（-1）^（m-1）*二项式（floor（（k-m+1）*log32）+m-1，m）*a[k-m+1]）；print（k“”a[k]）；
定理2的（PARI）/*算法*/
{limit=30；/*或limit>30*/R=矩阵（极限，极限）；R[2，1]=0；R[2,2]=1；对于（n=2，极限，打印；打印1（“对于n列中的n=”n“：”）；Kappa_n=地板（n*log（3）/log（2））；a_n=0；对于_n+R[k+1，n]）；打印；打印（“和是a（n）=”a_n））}\\迈克·温克勒2017年9月12日
扩展
2005年11月2日，朱尔斯·雷努奇（Jules.Renucci（AT）wanadoo.fr）发表了另外两篇文章
1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 21, 21, 22, 23, 23, 24, 24, 25, 26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 33, 34, 35, 35, 36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 42, 42, 43, 43, 44, 45, 45, 46, 47
数学
表[长度[整数位数[2^n，3]]，{n，0，80}](*哈维·P·戴尔2012年5月2日*）
表[1+楼层[n*Log[3，2]]，{n，0，73}](*L.埃德森·杰弗里2015年12月4日*）
整数长度[2^范围[0，80]，3](*哈维·P·戴尔2022年11月17日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
（岩浆）[圆形（1+楼层（n*（Log（2））/Log（3）））：n in[0.80]]//文森佐·利班迪2015年12月5日
整数m的数量，使得3^n<2^m<3^（n+1）。
+10
10
1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1
配方奶粉
a（n）=楼层（n+1）*log2（3））-楼层（n*log2。
例子
a（0）=1，因为3^0=1<2^1=2<3^1=3。
a（1）=2，因为3^1=3<2^2=4<2^3=8<3^2=9。
a（2）=1，因为3^2=9<2^4=16<3^3=27。（结束）
MAPLE公司
数字：=100:c1:=log（3.）/log（2.）：A022921美元：=n->楼层（（n+1）*c1）-楼层（n*c1；
seq（ilog2（3^（n+1））-ilog2（3*n），n=0。。1000); #罗伯特·伊斯雷尔2014年12月11日
数学
i2=1；表[p=i2；而[i2++；2^i2<3^（n+1）]；i2-p，｛n，0，98｝](*T.D.诺伊2014年2月28日*）
f[n_]：=楼层[Log2[3^n]+1]；差异@数组[f，106，0](*罗伯特·威尔逊v2014年5月25日*）
简化Collatz函数的起始值(A014682号)其中2对“下降时间”的幂大于起始值。
+10
2
3, 7, 11, 15, 23, 27, 31, 39, 47, 59, 63, 71, 79, 91, 95, 103, 111, 123, 127, 155, 159, 167, 175, 191, 199, 207, 219, 223, 231, 239, 251, 255, 283, 287, 303, 319, 327, 347, 359, 367, 383, 411, 415, 423, 447, 463, 479, 487, 495, 507, 511, 539, 543, 559, 575
评论
a（n）是约化Collatz函数的最低正起始值，使得与a（n，mod 2^d）同余的所有起始值（>1）具有相同的下降时间（d）。此处的下降时间计算中列出的（3x+1）/2和x/2步骤A126241号。如果2，则此序列中包含一个数字^A126241号（a（n））>（n）。
如果在检查绝对迭代值是否小于或等于绝对起始值之前进行至少一次迭代，则a（n）是最低的正起始值，使得与a（n）（mod 2^d）一致的所有起始值（正、零或负）具有相同的下降时间（d）。这样定义，序列将从0、1、3、7开始。
例子
3在这个序列中，因为从3开始的下降时间是A126241号（3） =4和2^4>3。
黄体脂酮素
（PARI）是（t）=如果（t<3||3！=t%4，0，my（x=t，d=0）；直到（x<=t，如果（x%2，x=（x*3+1）/2，x/=2）；d++）；2^d>t）；\\更新者路德·范托尔（Ruud H.G.van Tol）2023年1月10日
1, 0, -3, -8, 15, -91, -54, 2531, -17021, 43035, -66258, 1958757, -24572453, 146991979, -287482322, -3148566077, 35506973089, -198639977241, 1006345648929, -8250266425561, 76832268802555, -517564939540551, 1890772860334557, 3323588929061820, -104547561696315008, 907385094824827328, -6313246535826877248
评论
此序列的名称源于其作为公式的主要用途A100982号（请参阅链接）。下面的两个公式都源于Mike Winkler 2017年关于3x+1问题的论文（见下文），其中A100982号和A076227号在二维空间中创建。这些公式根据这个一维递归序列重新定义了序列。
配方奶粉
a（0）=1，a（1）=0，a（n）=-和{k=0..n-1}a（k）*二项式(A325913型（n） +n-k-2，A325913型（n） -2）对于n>1。
黄体脂酮素
（Python）
导入数学
numberOfTerms=20
L6=[1,0]
定义c（n）：
返回math.floor（n/（math.log2（3）-1））
定义p（a，b）：
return math.factorial（a）/（math.fractorial
定义另一个术语（newTermCount）：
全局L6
对于范围内的（newTermCount+1-len（L6））：
y=长度（L6）
newElement=0
对于范围（y）中的k：
newElement-=int（L6[k]*p（c（y）+y-k-2，c（y）-2））
L6.追加（newElement）
另一个术语（numberOfTerms）
对于范围内的（numberOfTerms+1）：
打印（a，“|”，L6[a]）
（SageMath）
@缓存函数
定义a（n）：
如果n<2：返回0^n
A=地板（n/（对数（3，2）-1））-2
（0..n-1）中k的返回和（a（k）*二项式（a+n-k，a）
[范围（100）内n的a（n）]#彼得·卢什尼2019年9月10日
对于形式为2^n*x+b的数字，b集的大小不能是Collatz问题中给定无限飞行持续时间的集的最小元素。
+10
1
1, 3, 6, 13, 28, 56, 115, 237, 474, 960, 1920, 3870, 7825, 15650, 31473, 63422, 126844, 254649, 509298, 1021248, 2050541, 4101082, 8219801, 16490635, 32981270, 66071490, 132455435, 264910870, 530485275, 1060970550, 2123841570, 4253619813, 8507239626, 17027951548, 34095896991, 68191793982, 136471574881, 272943149762, 546144278026, 1093108792776,2186217585552
评论
在Collatz问题中A014682号，可以将该算法应用于一次多项式，如2^n*x+b，其中n是整数，0<=b<2^n。迭代在两种情况下终止：
1） a*x+b，其中a<2^n：多项式“最小化”
2） a*x+b，其中a是奇数，a>2^n，奇偶校验无法找到。多项式不能最小化。
该序列统计每个n>0时有多少个一次多项式像第一种情况一样结束。
这个序列的兴趣在于，每个可以用最小化多项式描述的数字都不能是T（n）=无穷大的一组值的最小元素。
例子
4x+b（0<=b<4）示例：
4x是偶数，因此给出2x，2<4（第一种情况）。
4x+1是奇数，因此3（4x+1）+1=12x+4是偶数，因此（12x+4）/2/2=3x+1 3<4是第一种情况。
4x+2是偶数，（4x+2）/2=2x+1，2<4，第一种情况。
4x+3以同样的方式得到9x+8。9是奇数，9>4是第二种情况。
这就解释了为什么序列中的第二个（n=2）项是3。
数学
a[n]：=模[{b，p0，p1，minimized=0}，对于[b=1，b<=2^n，b++，{p0，p1}={b，2^n}；而[Mod[p1，2]==0&&p1>=2^n、{p0、p1}=如果[Mod[p0，2]==0，{p0/2，p1/2}，{3*p0+1，3*p1}]；如果[p1<2^n，最小化+=1]]]；最小化]；表格[打印[an=a[n]]；安，{n，1，40}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2014年2月12日，翻译自D.S.麦克尼尔的圣人代码*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）
最小化=0
对于范围（2**n）中的b：
p=[b，2**n]
当p[1]%2==0且p[1]>=2**n时：
p[0]，p[1]=[p[0]/2，p[1]/2]如果p[0]%2==0其他[3*p[0]+1，3*p[1]
如果p[1]<2**n：最小化+=1
（PARI）至（P=18）=my（r=Vec（[1,1]，P））；对于步骤（x=3，2^P，4，my（s=x，P=0）；直到（s<=x，s=if（s%2，3*s+1，s）/2；如果（p++>p，下一个（2））；如果（2^p>x），r[p]++）；对于（i=2，#r，r[i]+=2*r[i-1]）；打印（r）\\路德·范托尔（Ruud H.G.van Tol）2023年3月13日
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