搜索： a036776-编号：a036775
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A036774号
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| 标记的根无序二叉树的数量（每个节点都有超度数<=2）。 |
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0, 1, 2, 9, 60, 540, 6120, 83790, 1345680, 24811920, 516650400, 11992503600, 307069963200, 8598348158400, 261387760233600, 8573572885878000, 301809119163552000, 11349727401396384000, 454104511068656448000, 19261139319649202976000
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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链接
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B.奥托，预镜像约束下的聚合，arXiv:1903.00542[math.CO]，2019年。
L.Takacs，有根树木和森林的计数，数学。《科学家》18（1993），1-10，特别是等式（14），r=2。
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配方奶粉
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例如：（1-x-sqrt（1-2*x-x^2））/x。
例如，A（x）满足x*A（x）^2+2*（x-1）*A（x）+2*x=0，A（0）=0和A（x）=x/（1-x-（x/2）*A（x））-迈克尔·索莫斯2003年9月6日
a（n）=n*求和{k=0..floor（（n-1）/2）}二项式（n-1，2k）*binominal（2k，k）/（2^k*（k+1））-伊曼纽尔·穆纳里尼2013年2月6日
a（n）~平方（2-sqrt（2））*n^（n-1）/（exp（n）*（平方（2）-1）^（n+1））-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月24日
递归：（n+1）*a（n）=n*（n-1）*（n-2）*a-林风2014年2月24日
a（n）=n*对于n>=1，超几何（[（1-n）/2，1-n/2]，[2]，2）。彼得·卢什尼2020年4月20日
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MAPLE公司
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#这是一个基于Takacs（1993）第4页等式（14）的原始Maple程序。它计算n>=2时的a（n）。这里，r=2是每个节点的最大出度。
ff:=proc（r，n）简化（sub（x=0，diff（sum（x^k/k！，k=0..r）^n，x$（n-1）））；结束；
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数学
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范围[0，20]！系数列表[级数[（1-x-（（x-1）^2-2x^2）^（1/2））/x，{x，0，20}]，x](*杰弗里·克里策2011年11月22日*）
f[r_，n_][x_]：=和[x^k/k！，{k，0，r}]^n；
a[n_]：=如果[n==1，1，导数[n-1][f[2，n]][0]]；
a[n]：=n！超几何C2F1[1/2-n/2，1-n/2，2，2]；a[0]=0；
数组[a，20，0](*彼得·卢什尼2020年4月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<1，0，n！*polceoff（2*x/（1-x+sqrt（1-2*x-x^2+O（x^n）），n））
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，n！*polcoeff（serreverse（2*x/（2+2*x+x^2）+x*O（x^n）），n）
（最大值）makelist（n！*总和（二项式（n-1，2*k）*二项式[2*k，k）/（2^k*（k+1）），k，0，floor（n-1）/2），n，0，20）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2013年2月6日*/
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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“无序”由添加到名称中大卫·卡伦2012年4月22日
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状态
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经核准的
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A325201型
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| 其条目A（n，k）是一组大小为n的带标签根树的数量的方形数组，其中每个节点最多有k个邻居，这些邻居距离根比节点本身更远，对于n>=0，k>=0来说，通过降序反对偶读取。 |
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+10个
6
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0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 2, 6, 0, 0, 1, 2, 9, 24, 0, 0, 1, 2, 9, 60, 120, 0, 0, 1, 2, 9, 64, 540, 720, 0, 0, 1, 2, 9, 64, 620, 6120, 5040, 0, 0, 1, 2, 9, 64, 625, 7620, 83790, 40320, 0, 0, 1, 2, 9, 64, 625, 7770, 113610, 1345680, 362880, 0, 0, 1, 2, 9, 64, 625, 7776, 117390, 1992480, 24811920, 3628800, 0
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1.9个
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评论
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函数上的前像约束是一组非负整数，因此任何元素的逆像的大小都是该集合中的值之一。通过将每个非根节点发送到其靠近根的邻居并将根发送给自身，将标记的根树作为集合{1,2，…，n}上的内函数进行查看。
因此，A（n，k）是一组大小为n且只有一个循环点的内函数的数目，因此每个前映像最多有k个项。
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链接
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B.奥托，预镜像约束下的聚合，arXiv:1903.00542[math.CO]，2019，推论5.3和7.8。
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配方奶粉
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A（n，k）=（n-1）！*[x^（n-1）]e_k（x）^n，其中e_k是截断指数1+x+x^2/2！+…+x^k/k！。当k>1时，上述链接产生显式常数c_k，r_k，因此列是渐近的c_k*n^（-3/2）*r_k^-n。斯特林近似给出列k=1，列k=0是0。
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例子
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数组开始：
0 0 0 0 0 ...
0 1 1 1 1 ...
0 2 2 2 2 ...
0 6 9 9 9 ...
0 24 60 64 64。。。
0 120 540 620 625 ...
0 720 6120 7620 7770 ...
0 5040 83790 113610 117390 ...
0 40320 1345680 1992480 2088520 ...
0 362880 24811920 40194000 42771960。。。
0 3628800 516650400 916927200 991090800 ...
0 39916800 11992503600 23341071600 25635767850 ...
...
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数学
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e[k_][x_]：=总和[x^j/j！，{j，0，k}]；
A[0，_]=A[_，0]=0；A[n_，k_]：=（n-1）！系数[e[k][x]^n，x，n-1]；
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黄体脂酮素
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（Python）
#打印第k列中的第一个num_entries条目
导入数学，sympy；x=符号（'x'）
k=5；num_entries=64
P=范围（k+1）；eP=总和（P]中d的[x**d/math.阶乘（d））；r=[0,1]；curr_pow=eP
对于范围（1，num_entries-1）中的术语：
…curr_pow=（curr_pow*eP）.expand（）
…r.append（curr_pow.coeff（x**term）*math.factorial（term））
打印（r）
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交叉参考
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具有相同预成像条件{i>=0|i<=k}的任意内函数的类似数组（不限制循环点的数量）：A306800型.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A036775号
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| a（n）是一组大小为n的带标签的根树的数量，其中每个节点最多有3个邻居，这些邻居距离根比节点本身更远。 |
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+10个
4
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0, 1, 2, 9, 64, 620, 7620, 113610, 1992480, 40194000, 916927200, 23341071600, 655922836800, 20169411662400, 673645440468000, 24285190867938000, 939899116892736000, 38870133445791648000, 1710655202853140544000, 79826043011286892320000, 3936948118406837614080000, 204621522793150838094720000
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n）是无序根标记树的数量，使得每个节点的超度数<=3-杰弗里·克里策2013年3月22日
函数上的预图像约束是一组非负整数，使得任何元素的逆图像的大小都是该集合中的值之一。通过将每个非根节点发送到其靠近根的邻居并将根发送给自身，将标记的根树作为集合{1,2，…，n}上的内函数进行查看。因此，a（n）是一组大小为n且正好有一个循环点的内函数的数目，因此每个前像最多有3个项-本杰明·奥托2019年4月8日
从Takacs（1993）的第3-4页中，我们看到n是标记根树中的节点数，这样每个节点的超度数都小于等于3，并且（正如G.Critzer所指出的那样），a（n）是这样的无序根标记树的数量（有n个节点）-Petros Hadjicostas公司2019年6月9日
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链接
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B.奥托，预镜像约束下的聚合，arXiv:1903.00542[math.CO]，2019，推论5.3和7.8。
L.Takacs，有根树木和森林的计数，数学。《科学家》18（1993），1-10，特别是等式（14），r=3。
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配方奶粉
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例如：（对于移位序列a（0）=0，a（1）=1，…）A（x）满足A（x）=1+x*A（x）+（1/2）*x^2*A（x。
a（n）=3*n*求和{j=0..n+1}二项式（n+1，j）*求和{i=j.n+j}二项式（j，i-j）*2^（4*j-2*n-i-2）*6^（n+i+1）*二项式-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年11月21日
a（n）~sqrt（s/（1+r*s））*n^n/（r^（n+1）*exp（n）），其中r=0.37589405207806352…是方程-8+21*r+2*r^3=0的根，s=2.86947048655283754…是方程-12+36*s-57*s^2+16*s^3=0.的根-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年1月8日
a（n）=（n-1）！*[x^（n-1）]e_3（x）^n，其中e_k（x）是截断指数1+x+x^2/2！+…+x^k/k！。上面的Otto链接产生显式常数ck，rk，因此列是渐近的c3*n^（-3/2）*r3^-n-本杰明·奥托2019年4月8日
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数学
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nn=18；f[x_]：=总和[a[n]x^n/n！，{n，0，nn}]；s=SolveAlways[0==级数[f[x]-x（1+f[x]+f[x]^2/2+f[x]^3/3！），{x，0，nn}]，x]；表[a[n]，{n，0，nn}]/.s(*杰弗里·克里策，2013年3月22日*）
表[3*n！*总和[二项式[n+1，j]*总和[二项式[j，i-j]*2^（4*j-2*n-i-2）*6^（n+i+1）*二项式[n-j+1，3*j-n-i-2]，{i，j，n+j}]/6^（3*j），{j，0，n+1}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇之后弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年1月8日*）
f[r_，n_][x_]：=和[x^k/k！，{k，0，r}]^n；
a[n_]：=如果[n==1，1，导数[n-1][f[3，n]][0]]；
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黄体脂酮素
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（最大值）a（n）：=3*n*求和（二项式（n+1，j）*求和（二项式（j，i-j）*2^（4*j-2*n-i-2）*6^（n+i+1）*二项（n-j+1，3*j-n-i-2），i，j，n+j）/6^（3*j），j，0，（n+1））/*弗拉基米尔·克鲁奇宁，2011年11月21日*/
（Python）
#打印序列中的第一个num_entries条目
导入数学，sympy；x=符号（'x'）
k=3；num_entries=64
P=范围（k+1）；eP=总和（P]中d的[x**d/math.阶乘（d））；r=[0,1]；curr_pow=eP
对于范围（1，num_entries-1）中的术语：
curr_pow=（curr_pow*eP）.expand（）
r.append（curr_pow.coeff（x**term）*math.factorial（term））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A036777号
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| 带有度约束的带标签根树的数量（在下面的注释中描述）。 |
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+10个
4
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0, 1, 2, 9, 64, 625, 7776, 117642, 2096752, 43030008, 999357660, 25912953990, 742054808880, 23259517076796, 792084372215136, 29120668067951460, 1149560690861943360, 48497162427675081120, 2177517061087611122880, 103677374170183264555104, 5217647895920644618674240, 276740347650892414464815640, 15429120173129978156923361280,902095425530332280621924069520
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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引用Takacs（1993）的第3页：“用S_n*表示所有带n个标记顶点的根树的集合……让我们将R定义为始终包含0的非负整数的固定集合。用S_n*（R）表示S_n*的子集，该子集包含S_n*中的所有树，其中根的度数在R中，如果j是树的任何其他顶点的度数，则j-1在R中。”
引用Takacs（1993）第4页：“定理2:S_n*（R）中的树的数目是|S_n^*（R
当R={0,1，…，R}时，数量|S_n*（R）|/n^（n-1）具有与广义生日问题相关的概率解释。让我们“在n个盒子里一个接一个地随机放球，直到其中一个盒子里有r+1个球”（Takacs第4页）。我们假设每个框具有相同的概率（即1/n）。那么|S_n*（R）|/n^（n-1）是在上述过程停止之前（即，直到n个框中至少有一个包含R+1个球）至少需要n个球的概率。
（结束）
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链接
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B.奥托，预镜像约束下的聚合，arXiv:1903.00542[math.CO]，2019，推论5.3和7.8。
L.Takacs，有根树木和森林的计数，数学。科学家18（1993），1-10，特别是方程（14），r=5。
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配方奶粉
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例子
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这里，a（n）/n^（n-1）是指当n个盒子的可能性相等时，至少需要n个球，直到n个盒子中的一个包含r+1=6个球（第一次），我们将球随机分布在盒子中（一个接一个），直到一个盒子第一次获得r+1=5个球。显然，a（n）=n^（n-1）表示n=1..6，原因很明显！但a（7）=117642<117649=7^6-Petros Hadjicostas公司2019年6月9日
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MAPLE公司
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#这是一个基于Takacs（1993）第4页等式（14）的原始Maple程序。它计算n>=2时的a（n）。
ff:=proc（r，n）简化（sub（x=0，diff（sum（x^k/k！，k=0..r）^n，x$（n-1）））；结束；
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数学
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f[r_，n_][x_]：=和[x^k/k！，{k，0，r}]^n；
a[n_]：=如果[n==1，1，导数[n-1][f[5，n]][0]]；
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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