显示找到的26个结果中的1-10个。
a（n）是一对（x，y）的较大系数，使得（x^2-y^2）/r，2*x*y/r，（x^2+y^2A006991号（n） ●●●●。
+20
三
5, 2, 16, 325, 8, 4, 4, 50, 24336, 4901, 3, 1600, 9, 777925, 1250, 13, 25, 72, 14561856, 1873180325, 125, 12079525, 39200, 9, 192, 7, 3600, 2816, 26, 169000000, 85, 338, 17956, 1444, 14112, 1445, 44715091781, 50, 8780605285453456, 2725, 10, 37, 716311250, 144, 306317326339867638016
a（n）是成对（x，y）的较小系数，因此（x^2-y^2）/r，2*x*y/r，（x^2+y^2A006991号（n） ●●●●。
+20
三
4, 1, 9, 36, 1, 1, 3, 49, 17689, 4900, 2, 81, 8, 1764, 289, 12, 16, 49, 2289169, 1158313156, 44, 10227204, 22801, 4, 169, 2, 121, 2809, 1, 166952241, 36, 49, 169, 75, 529, 76, 3975302500, 1, 7551929273974569, 1764, 1, 12, 19298449, 25, 305111826865145547009, 143811, 14161, 3136, 1, 1
链接
Hisanori Mishima，祝贺参见第n列。
6, 1, 60, 9690, 6, 2, 2, 105, 72306780, 90090, 1, 103320, 6, 4737551070, 118575, 10, 60, 462, 12111037689240, 297855654284978790, 1170, 9147755349330, 121068780, 6, 1976, 3, 281820, 63600, 15, 495683115837000, 462, 4641, 3353350, 49210, 3974124, 49062, 59085715926389725950, 35
3, 36, 361, 3503, 34065, 332712, 3252966, 31925924
评论
猜想：a（n）/10^n的极限趋于3/Pi^2(A104141号). 这是基于一个假设，条件是Birch-Swinnerton-Dyer猜想，即所有无平方整数都等于{5,6,7}模8(A273929型)是本原同余数的子集(A006991号)天然密度为3/Pi^2。然而，与{1，2，3}模8同余的无平方整数是自然密度为0的推测稀疏同余数。在没有BSD猜想的情况下，已经证明了同余数的自然密度至少是{5，6，7}模8的无平方数自然密度的55.9%（参见A.Smith链接）。
下面的Mathematica程序是确定同余数的Tunnell标准的缓慢实现。它将在实际时间内给出高达10^5的计数。10^6和10^7的计数来自以下生成的表乔瓦尼·雷斯塔（请参阅链接）。
我编写的C++程序在75分钟内计算出a（8）=31925924。时间几乎呈指数增长。
从链接“一万亿三角形”中可以看出：“计算发现这些最神秘的同余数达到一万亿=3148379694。”
3/Pi^2=0.30396355092701314。。。
链接
基思·康拉德，同余数问题《哈佛大学数学评论》（2008）。
数学
一致性Q[n_]：=模块[｛x，y，z，ok=False｝，（Which[！SquareFreeQ[n]，Null[]，MemberQ[｛5，6，7｝，Mod[n，8]]，ok=True，奇数Q@n&&长度@解算[x^2+2y^2+8z^2==n，{x，y，z}，整数]==2长度@解算[x^2+2y^2+32z^2==n，{x，y，z}，整数]，ok=True，EvenQ@n公司&&长度@解算[x^2+4y^2+8z^2==n/2，{x，y，z}，整数]==2长度@解算[x^2+4y^2+32z^2==n/2，{x，y，z}，整数]，ok=True]；确定）]；表[长度@选择[范围[10^n]，同余Q]，{n，1，5}]
14, 2, 129, 52686, 29, 7, 9, 1274, 296125969, 12012350, 5, 1279281, 44, 302583265614, 780914, 90, 316, 2605, 106023820090609, 1754402265205275806, 7794, 72957466300254, 768323201, 40, 18505, 23, 6478321, 3966329, 326, 14280500082452241
评论
A006991号（n） 是原始全等数的序列，根据定义，存在一个面积等于k^2的PPT*A006991号（n） 对于某个整数k，a（n）是这些PPT的枚举，是必须搜索的毕达哥拉斯三角形数的度量，以找到面积等于k^2的斜边最少的PPT*A006991号（n） ●●●●。如果{x，y}是PPT（a，b，c）的生成器，其中a=y^2-x^2，b=2x*y，c=y^2+x^2则其面积=x*y（y^2-x ^2）。Mathematica程序将搜索限制在生成的首个1250万PPT中。所有其他结果都是从Hisanori Mishima编目的表格中获得的（参见链接）。
链接
兰斯·福特诺，快速计算原理，计算复杂性博客，2004年3月1日，星期一。
约拉姆·萨格尔，计算理性阿默尔。数学。《月刊》，96（1989），第823页。数学。版次90i:04001。
例子
. -- --------------------------------------------------------
. 1: 1,1
. 2: 1,2 2,1
. 3: 1,3 2,3 3,1
. 4: 1,4 3,2 3,4 4,1
. 5: 1,5 2,5 3,5 4,5 5,1
. 6: 1,6 4,3 5,2 5,3 5,6 6,1
. 7: 1,7 2,7 3,7 4,7 5,7 6,7 7,1
. 8: 1,8 5,4 3,8 7,2 5,8 7,4 7,8 8,1
. 9: 1,9 2,9 7,3 4,9 5,9 8,3 7,9 8,9 9,1
. 10: 1,10 6,5 3,10 7,5 9,2 8,5 7,10 9,5 9,10 10,1
. 11: 1,11 2,11 3,11 4,11 5,11 6,11 7,11 8,11 9,11 10,11 11,1
. 12: 1,12 7,6 9,4 10,3 5,12 11,2 7,12 11,3 11,4 11,6 11,12 12,1 .
a（13）=44和A006991号（13） =34，所以34是第13个同余数。a（13）给出了三角形数组在索引（8，9）处的第44项。将（x，y）表示为（8，9），生成PPT（17，144，145），面积为6^2*34=1224。
数学
lst1={5、6、7、13、14、15、21、22、23、29、30、31、34、37、38、39、41、46、47、53、55、61、62、65、69、70、71、77、78、79、85、86、87、93、94、95、101}；getpos[n0_]：=（lst=0；Do[If[整数Q@Sqrt[m*n（m-n）（m+n）/n0]和&OddQ[m+n]和&GCD[m，n]==1，（lst=m（m-1）/2+n；中断[]）]，{m，2,5000}，{n，1，m-1}]；第一节）；集合属性[getpos，Listable]；获取位置[lst1]
同余数：正整数k，其中存在一个面积为k且有理边的直角三角形。
（原名M3747）
+10
43
5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, 124, 125, 126
评论
正整数k使得x^2+k*y^2=z^2和x^2-k*y*2=t^2具有同时的整数解。换句话说，k是三个有理平方的算术级数的差：（t/y）^2，（x/y）^ 2，（z/y）。对应于y=1的k值（即三个整数平方的算术级数）形式A256418型.
科恩书第453页上的推测渐近性（基于随机矩阵理论）-史蒂文·芬奇2009年4月23日
参考文献
罗纳德·奥尔特（Ronald Alter）；科茨（Thaddeus B.Curtz）。；Kubota，K.K.关于同余数的备注和结果。《第三届东南组合数学、图论和计算会议论文集》（佛罗里达大西洋大学，佛罗里达州博卡拉顿，1972年），第27-35页。佛罗里达大西洋大学，佛罗里达州博卡拉顿，1972年。MR0349554（50#2047）
H.Cohen，数论。I、 《工具与丢番图方程》，施普林格出版社，2007年，第454页。[来自史蒂文·芬奇2009年4月23日]
R.Cuculière，“Mille ans de chasse aux nombres concompuents”，《Pour la Science》（《科学美国人》法语版），第7期，1987年，第14-18页。
L.E.Dickson，《数字理论史》，第2卷，第459-472页，AMS Chelsea Pub。普罗维登斯RI 1999。
盖伊，《数论中尚未解决的问题》，D27。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
R.奥尔特，同余数问题阿默尔。数学。月刊，87（1980），43-45。
R.Alter和T.B.Curtz，关于同余数的注记，数学。公司。，28（1974）、303-305和30（1976）、198。
A.Alvarado和E.H.Goins，圆锥曲线上的算术级数，arXiv:1210.6612[math.NT]，2012年。[来自乔纳森·桑多2012年10月25日]
A.Dujella、A.S.Janfeda和S.Salami，高秩同余数椭圆曲线的搜索，JIS 12（2009）09.5.8。
Lorenz Halbeisen和Norbert Hungerbühler，秩至少为2的同余数椭圆曲线，arXiv:1809.02037[math.NT]，2018年。
G.克拉玛兹，所有小于2000的全等数，数学。Annalen，273（1986），337-340。[注释、更正、扫描副本]
菲德尔·隆基洛·内梅佐，所有小于40000的同余数，程序。日本Acad。序列号。数学。科学。，第74卷，第1期（1998年），29-31。
例子
24是全等的，因为24是边为6、8、10的直角三角形的面积。
5是全等的，因为5是边为3/2、20/3、41/6的直角三角形的面积（尽管不是任何边为整数的直角三角形的面积——参见A073120型). -乔纳森·桑多2013年10月4日
数学
（*以下Mathematica代码假设Birch和Swinnerton-Dyer猜想的真理，并使用Mathematia代码生成的原始同余数列表A006991号: *)
对于[cLst={}；i=1，i<=长度[lst]，i++，n=lst[[i]]；j=1；而[nj^2<=maxN，cLst=并集[cLst，{nj^2}]；j++]]；cLst公司
6, 30, 60, 84, 180, 210, 210, 330, 504, 546, 630, 840, 924, 990, 1224, 1320, 1386, 1560, 1710, 1716, 2310, 2340, 2574, 2730, 2730, 3036, 3570, 3900, 4080, 4290, 4620, 4914, 5016, 5610, 5814, 6090, 6630, 7140, 7440, 7854, 7956, 7980, 7980, 8970, 8976, 9690
评论
这个序列也给出了斐波那契的一致数（或一致数）除以4的多重性，而不考虑底层原始毕达哥拉斯三角形中的腿交换。请参见A258150型和示例-沃尔夫迪特·朗2015年6月14日
条目的无平方部分是来自A006991号属于毕达哥拉斯三角形，其边长有理（并非全部为整数）（其同伴是通过交换腿获得的）。请参阅W.Lang链接-沃尔夫迪特·朗，2016年10月25日
例子
a（6）=a（7）=210对应于原始毕达哥拉斯三角形（21，20，29）和（35，12，37）的面积（以某种平方长度单位）。斐波那契公式C=840=210*4属于两个三元组[x，y，z]=[29，41，1]和[37，47，23]，求解x^2+C=y^2和x^2-C=z^2-沃尔夫迪特·朗2015年6月14日
a（5）=180=6^2*5导致本原同余数A006991号（1） =5从原始毕达哥拉斯三角形[9，40，41]除以6:[3/2，20/3，41/6]。请参阅其他非方形a（n）数字的链接-沃尔夫迪特·朗，2016年10月25日
无平方n，使得“同余数”问题中出现的椭圆曲线n*y^2=x^3-x具有秩2。
+10
17
34, 41, 65, 137, 138, 145, 154, 161, 194, 210, 219, 226, 257, 265, 291, 299, 313, 323, 330, 353, 371, 386, 395, 410, 426, 434, 442, 457, 465, 505, 514, 546, 561, 602, 609, 651, 658, 674, 689, 721, 723, 731, 761, 777, 793, 866, 889, 890, 905, 915, 985, 987, 995
链接
A.Dujella、A.S.Janfeda、S.Salami、，高秩同余数椭圆曲线的搜索，JIS 12（2009）09.5.8
G.克拉玛兹，所有小于2000的全等数，数学。Annalen，273（1986），337-340。[注释、更正、扫描副本]
野田佳彦（Kazunari Noda）和田田秀夫（Hideo Wada），所有小于10000的全等数，程序。日本Acad。序列号。数学。科学。，第69卷，第6期（1993年），175-178。
黄体脂酮素
（PARI）r（n）=ellanalyticcrank（ellinit（[0,0,0，-n^2，0]）[1]
1, 1, 1, 137, 6, 29, 1, 1, 97, 5, 73, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 17, 6, 1, 53, 1, 5, 41, 6, 2, 1, 1, 1, 101, 257, 7, 17, 1, 1, 7, 2, 337, 689, 7, 1, 1, 761, 37, 793, 1, 1, 1, 181, 61, 1, 21, 5, 1, 151, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1145, 2, 1, 11, 7, 2, 1, 593, 1, 1, 1217, 1, 1, 641
评论
让我来=A062695号（n） ●●●●。将m*y^2=x^3-x写成m*平方=A*B*（A-B）*（A+B），其中A和B是x的分子和分母。然后，A、B、A-B、A+B的形式为s*A^2、t*B^2、u*c^2、v*d^2，用于将m分解为s*t*u*v和一些自然数A、B、c、dA259680型-A259687型.
链接
G.克拉玛兹，所有小于2000的全等数，数学。Annalen，273（1986），337-340。[注释、更正、扫描副本]
1, 1, 1, 81, 5, 7, 1, 1, 13, 1, 11, 1, 185, 1, 1, 7, 1, 27, 1, 1, 9, 1, 9, 9, 11, 3, 15, 325, 1, 11, 17, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 25, 33, 11, 7, 47, 801, 5, 193, 1, 1, 1, 19, 11, 13, 25, 21, 17, 635, 5, 37, 1, 1, 1, 1, 177, 23, 1, 1, 43, 9, 1, 5465, 27, 1, 2721, 1, 17
评论
让我来=A062695号（n） ●●●●。将m*y^2=x^3-x写成m*square=A*B*（A-B）*（A+B），其中A和B是x的分子和分母。然后A，B，A-B，A+B的形式为s*A^2，t*B^2，u*c^2，v*d^2，用于将m分解为s*t*u*v和一些自然数A，B，c，d。这八个数字在A259680型-A259687型.
链接
G.Kramarz，所有小于2000的全等数，数学。Annalen，273（1986），337-340。[注释、更正、扫描副本]
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