提出
经核准的
编辑
托马斯·谢伊尔：祝贺你！很高兴看到这个有趣的序列出现在OEIS上。：-）
Peter G.Anderson，<a href=“https://www.fq.math.ca/Papers1/52-5/Anderson.pdf“>Zeckendorf阵列的更多特性</a>，光纤四分之一。52-5（2014），15-21。
彼得·穆恩：现在转到定义序列的初始注释中的断言（3）。应用于任意2对正整数的“o”运算显然可以得到一对正整数。从链接的Anderson论文中的定理2.11中，我们知道每对正整数将作为一对出现，这对正整数是由（无限）扩展的Wythoff数组的行z中的连续元素适当形成的。这一行是唯一这样的，因为它使用斐波那契递归将其扩展到右侧的未扩展的Wythoff数组中，其中数字只出现一次。仍需说明z与从S_x和S_y中选择对无关。参见我前面粉色方框中的（1.1），定义继承人并显示（j，k）的继承人是（k+j，j）。设R1=（j1，k1）o（j2，k2）=（j1*j2+k1*k2，j1*k2+k1*j2-k1*k2）。将（j1，k1）替换为它的后继者（k1+j1，j1），我们得到（（k1＋j1）、j1）o（j2，k2）=（（k1＋j1）*j2＋j1*k2，（k1＋j1”）*k2＋j1*j2-j1*k2）＝（（k1'j1）*j2＋j1*k2，k1*k2＋j1*j2）。这等于R1的后继者，即（（j1*k2+k1*j2-k1*k2）+（j1*j2+k1*k2。通过定义方程的对称性，可以看出运算“o”是可交换的，因此，如果我们将（j2，k2）替换为它的后继（k2+j2，j2），我们将得到相同的结果。等价论证可以由前辈而不是后辈发展而来，并产生等价的结果。因此，得到的行号z与从S_x和S_y中选择对无关。
彼得·穆恩：使用Anderson的结果，我（终于！）很高兴能够相对简洁地表明这个序列定义良好，因此可以进行审查。
设（j1，k1）和（j2，k2）是来自经典Wythoff数组的对{(A035513号（n，m+1），A035513号（n，m）：整数m）}，则我们知道j1＝圆形（k1*phi）且j2＝圆形（k2*phi），其中phi＝（1+sqrt（5））/2。让我们替换j1=k1*g1和j2=k2*g2（g1=j1/k1和g2=j2/k2），如果我们将其插入到（3）中的乘法规则中，我们将得到：（k1*g 1，k1）o（k2*g 2，k2）=（k1*k2*（1+g1*g2），k1*k2*（g1+g2-1）），其中g1和g2是接近Phi的有理数。我们还知道（1+phi*phi）/（phi+phi-1）=phi。由此我们可以得出结论，这对（k1*k2*（1+g1*g2），k1*k2*（g1+g2-1））可以表示为（k3*g3，k3），而g3也将是一个接近φ的有理数。根据公式j1=圆（k1*phi）是最坏情况下的误差估计值phi<g1<phi+（2/k1），k2的类似表达式。如果我们在代换中插入这个值，我们就会得到φ<g3<φ+（2/k3）也成立。根据这个误差估计，我们知道k3*g3=round（k3*phi）将保持不变。这证明了（3）对于从A035513号. -托马斯·谢伊尔2023年11月30日
彼得·穆恩：终于有时间对其进行了适当的检查，我认为要添加到Thomas逻辑中的主要内容是一个更加平淡的演示，即从第x行和第y行中选择不同的对会导致从同一行z中选择一对。为了完整性，我们还应该提到Wythoff数组所依赖的所有属性。我认为我们基本上在那里。我宁愿把这一切合并成一个统一的证明，可能是在上传的文件中，为了可读性，对格式进行了一些改进，所以我现在删除了注释@托马斯。当然，只要您能够打开自己对序列的编辑，您就可以重新提交任何内容。
托马斯·谢伊尔：：-）“当然，您可以重新提交任何内容……”谢谢，但可能性不大。我宁愿等待并向你学习。
彼得·穆恩：我会尽力总结一下。
彼得·穆恩: ...
彼得·穆恩：S_n中的一对由第n行构成，表示为（eW（n，m+1），eW（n，m））；该行形成的下一对是（eW（n，m+2），eW（n，m+1））。根据斐波那契递推公式，eW（n，m+2）=eW（m，n）+eW（n+1）。所以我们可以这样遍历集合S_n中的对：（j，k）的后继项是（k+j，j）(1.1)
OEIS服务器：此序列已有一周未被编辑或评论但尚未提议进行审查。如果准备好了，请访问https://oeis.org/draft/A357097然后单击显示以下内容的按钮“这些更改已准备好供OEIS编辑审查。”谢谢。-OEIS服务器
安蒂·卡图恩：你能不能现在就提出一些版本的建议，然后在得到证明后再添加有争议的公式？这看起来很有趣。
彼得·穆恩：这是一个证明序列定义明确的问题：本质上，编号为“（3）”的段落中的定理。如果我没能花点时间考虑一下证据，我想我最好还是去SeqFan问问。
志诚伟：我认为这个未经批准的序列非常古老，已经超过1年零4个月了。
安德鲁·霍罗伊德：只是把它放回编辑状态。
设（j1，k1）和（j2，k2）是来自经典Wythoff阵列的对{(A035513号（n，m+1），A035513号（n，m）：整数m）}，那么我们知道j1=圆（k1*phi）和j2=圆（k2*phi，其中phi=（1+sqrt（5））/2。让我们替换j1=k1*g1和j2=k2*g2（g1=j1/k1和g2=j2/k2），如果我们将其插入到（3）中的乘法规则中，我们将得到：（k1*g 1，k1）o（k2*g 2，k2）=（k1*k2*（1+g1*g2），k1*k2*（g1+g2-1）），其中g1和g2是接近Phi的有理数。我们还知道（1+phi*phi）/（phi+phi-1）=phi。由此我们可以得出结论，这对（k1*k2*（1+g1*g2），k1*k2*（g1+g2-1））可以表示为（k3*g3，k3），而g3也将是一个接近φ的有理数。根据公式j1=圆形（k1*phi）是最坏情况下的误差估计值phi<g1<第1组φ+（2/k1），k2的类似表达式。如果我们在替换中插入该值，则会得到φ<g3<第三组φ+（2/k3）也适用。根据这个误差估计，我们知道k3*g3=round（k3*phi）将保持不变。这证明了（3）对于从A035513号. -托马斯·谢伊尔2023年11月30日
彼得·穆恩谢谢你，托马斯。我会研究你的方法。这可能是我需要创建一个简单证明的开始。
设（j1，k1）和（j2，k2）是来自经典Wythoff数组的对{(A035513号（n，m+1），A035513号（n，m）：整数m）}，那么我们知道j1=圆（k1*phi）和j2=圆（k2*phi，其中phi=（1+sqrt（5））/2。让我们替换j1=k1*g1和j2=k2*g2（g1=j1/k1和g2=j2/k2），如果我们将其插入到（3）中的乘法规则中，我们将得到：（k1*g 1，k1）o（k2*g 2，k2）=（k1*k2*（1+g1*g2），k1*k2*（g1+g2-1）），其中g1和g2是接近Phi的有理数。我们还知道（1+phi*phi）/（phi+phi-1）=phi。由此我们可以得出结论，这对（k1*k2*（1+g1*g2），k1*k2*（g1+g2-1））可以表示为（k3*g3，k3），而g3也将是一个接近φ的有理数。根据公式j1=圆（k1*phi）是最坏情况下的误差估计phi<g1<g1+（2/k1），k2的类似表达式。如果我们在代换中插入它，那么我们将得到φ<g3<g3+（2/k3）也成立。根据这个误差估计，我们知道k3*g3=round（k3*phi）将保持不变。这证明了（3）对于从A035513号. -托马斯·谢伊尔2023年11月30日
托马斯·谢伊尔：我很难将我的证明扩展到扩展的Wythoff数组。一些专家需要帮助：-(
囊性纤维变性。A019586号, A022344号, (规范), A035513号,A101330号, A120873号,A287870型,348853美元.
有关与的关系，请参阅公式部分A000201号,A003622号,A019586号,A035336号,A101330号.
托马斯·谢伊尔：如果替换：j1=k1*g1和j2=k2*g2，则得到：（k1*g1，k1）o（k2*g2，k2）=（k1*1*k2*（1+g1*g2），k1*k2x（g1+g2-1））g1和g2是接近Phi的商。（1+φ*φ）/（φ+phi-1）=φ。这意味着（k1*k2*（1+g1*g2），k1*k2*（g1+g2-1））是（k3*g3，k3），其中g3的一些数字也接近φ。
托马斯·谢伊尔：如果我们能形式化接近phi在这里的确切含义，它可以帮助找到证据？
托马斯·谢伊尔：如果条件缩小到排除数组中的相邻行。
囊性纤维变性。A019586号,A022344号,A035513号, A101330号,A120873号,A287870型, 348853美元.
彼得·穆恩：我目前正在恢复对此的速度。
奥马尔·波尔你好，彼得：在A174973的粉色方框中，你说：“公布的归属显然不正确。”。你反对A174973=A238443还是反例？如果你有，请告诉我。
彼得·穆恩：@Omar。我将通过维基邮件回复。
