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| A370707型 |
| 行读取的三角形：T（n，k）=（-1）^k*Product_{j=0..k-1}（j-n）*（j+n），对于0<=k<=n。 |
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三
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1, 1, 1, 1, 4, 12, 1, 9, 72, 360, 1, 16, 240, 2880, 20160, 1, 25, 600, 12600, 201600, 1814400, 1, 36, 1260, 40320, 1088640, 21772800, 239500800, 1, 49, 2352, 105840, 4233600, 139708800, 3353011200, 43589145600, 1, 64, 4032, 241920, 13305600, 638668800, 24908083200, 697426329600, 10461394944000
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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定义以及表示形式T（n，k）=ff（n，k）*rf（n，k-）（参见第一个公式）使得将这个三角形称为中心阶乘数很自然。
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=下降阶乘（n，k）*上升阶乘（n，k）。
T（n，k）=（n*（n+k-1）！）/（n-k）！如果k>0，且T（n，0）=1。
调用第二个公式cf中的数字可以得到令人难忘的形式cf（n，k）=ff（n，k）*rf（n，c）。这个恒等式推广到函数
对于n>0和cf（x，0）=1，cf（x，n）=x*Gamma（x+n）/Gamma（x-n+1）。
最后一个等式表明，变量“n”不一定是整数，但可以是任何复数，前提是只定义了商（通常可以通过取极限来实现）。事实上，在经典的Steffensen-Riordan案例中，n/2被用来代替n，这导致了Sloane在A008955号.
当n>0时，T（n，k）=-n*Pochhammer（1-n-k，2*k-1）。
T（n，k）=k*二项式（n，k）*Pochhammer（n，k）=k*A370706型（n，k）。
T（n，n）=n*Pochhammer（n，n）（对n>=0有效，而T（n，n）=（2*n）/2 =A002674号（n） 仅对n>=1有效）。
如果k>0，T（n，k）=T（n、k-1）*（n^2-（k-1）^2），否则为1。（重复）
cf（n，k）是多项式Pcf（n、x）=Product_{k=0..n-1}（x^2-k^2）的值，其系数对于奇幂为零，对于偶幂为零A269944型.
T（n，k）=Pcf（k，n），其中Pcf（k，x）=总和{j=0..k）（-1）^（k-j）*A269944型（k，j）*x^（2*j）。
中心阶乘可以用三种不同的方式来描述：通过乘积T（n，k）=f（n，k）*rf（n，k-），通过复函数cf（x，n），以及通过多项式Pcf（n，x）。尽管这些关系是自包含的，但它们仅被视为更一般概念的一半，即第一类中心因子。
第一类斯特林数有一个基本的联系(A048994号). 看到这一点最简单的方法是推广定义：让CF（z，s）=Product_{j=0..n-1}（z-s（j）），其中s（j）是一些复杂序列。如果s=0，1，2，…，则CF（z，s）的系数等于Stirling_1数。。。，n、 。。。，如果s=0，1，4，…，它们等于Pcf（n，z）多项式的系数。。。，n^2。。。。（这也是为什么A269944型被称为“2阶斯特林循环数”。对于完整性，如果s=1，1，1。。。，那么CF（z，s）的系数，即“0阶斯特林循环数”，就是有符号的帕斯卡三角形A130595型。请参阅A269947型用于订单3。）
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例子
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三角形开始：
[0] 1;
[1] 1, 1;
[2] 1, 4, 12;
[3] 1、9、72360；
[4] 1, 16, 240, 2880, 20160;
[5] 1, 25, 600, 12600, 201600, 1814400;
[6] 1, 36, 1260, 40320, 1088640, 21772800, 239500800;
[7] 1, 49, 2352, 105840, 4233600, 139708800, 3353011200, 43589145600;
.
T（n，k）是一个产品，其中“n”是“中心”，“k”是产品的“半长”。例如，T（5，4）=（5-3）*（5-2）*（5-1）*5*5*（5+1）*（5+2）*（5+3）=201600。现在考虑多项式P（4，x）=-36*x^2+49*x^4-14*x^6+x^8。在x=5时计算该多项式，结果表明P（4,5）=201600=T（5,4）。多项式的系数是A269944型.
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MAPLE公司
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T:=（n，k）->局部j；（-1）^k*mul（（j-n）*（j+n），j=0..k-1）：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..8）；
#中心阶乘数：
cf:=（n，k）->ifelse（k=0，1，n*（n+k-1）！/（n-k）！）：
对于从0到6的n，做seq（cf（n，k），k=0..n）od；
#备选方案（重复）：
T:=proc（n，k）选项记忆；
如果k=0，则1其他T（n，k-1）*（n^2-（k-1）^2）fi结束：
对于从0到7的n，做序列（T（n，k），k=0..n）od；
#说明与cf-多项式及其系数的关系：
cfpoly:=（n，x）->局部k；mul（x^2-k^2，k=0..n-1）：
A370707行：=n->局部k；[seq（cfpoly（k，n），k=0..n）]：
A204579行：=n->local k；[seq（系数（cfpoly（n，x），x，2*k），k=0..n）]：
对于从0到5的n，进行lprint（[n]，A370707行（n），A204579行（n））od；
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数学
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T[n_，k_]：=如果[n==0，1，-n Pochhammer[1-n-k，2k-1]]；
表[T[n，k]，{n，0，8}，{k，0，n}]//展平
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黄体脂酮素
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（SageMath）
定义T（n，k）：返回falling_factorial（n，k）*rising_factorical（n，克）
对于范围（9）中的n：打印（[T（n，k）对于范围（n+1）中的k）]）
（Python）
从数学导入prod
定义T（n，k）：返回（-1）**k*prod（（j-n）*（j+n），对于范围（k）中的j）
打印（[T（n，k）用于范围（8）中的n用于范围（n+1）中的k]）
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交叉参考
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关键词
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经核准的
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