A300356-OEIS公司

A300356型

将n^2写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中x>=y>=0<=z<=w，从而x+63*y=2^（2k+1）表示某个非负整数k的方法的数目。

0, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 1, 3, 4, 2, 2, 4, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 3, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 2, 2, 5, 1, 4, 1, 2, 6, 3, 3, 3, 1, 2, 3, 4, 3, 3, 2, 4, 2, 2, 1, 7, 3, 1, 4, 1, 2, 8, 1, 3, 7, 3, 4, 6, 3, 4, 4, 6, 5, 3, 2, 4, 3, 1, 2

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,3

推测：（i）a（n）>0表示所有n>1，而a（n）=1仅表示n=5、13、25、29、59、61、91、95、101、103、211、247、2^k（k=1,2，…）、4^k*79（k=0,1,2，..）、2^（2k+1）*m（k=0、1,2，…和m=3、5、7、11、15、19、23）。

（ii）设r为0或1，且n>r。然后n^2可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中x，y，z，w为非负整数，这样x+15*y=2^（2k+r）对于某些k=0,1,2，。。。。此外，我们可以用x，y，z，w非负整数将n^2写成x^2+y^2+z^2+w^2，例如对于某些k=0,1,2，…，16*x-15*y=2^（2k+r），。。。。

我们已经验证了所有n=2..10^7的a（n）>0。

另请参见A299924型和A300219型对于类似的猜测。

链接

孙志伟，n=1..6000时的n，a（n）表

孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化，《J·数论》175（2017），167-190。

孙志伟，限制四平方和，arXiv:1701.05868[math.NT]，2017-2018年。

例子

a（5）=1正弦5^2=2^2+2^2+1^2+4^2，其中2+63*2=2^7。

a（6）=1，因为6^2=2^2+0^2+4^2+4^2与2+63*0=2^1。

a（10）=1，因为10^2=8^2+0^2+0 ^2+6^2，8+63*0=2^3。

a（13）=1，因为13^2=8^2+8^2+4^2+5^2，8+63*8=2^9。

a（59）=1，因为59^2=32^2+32^2+8^2+37^2，32+63*32=2^11。

a（85）=2，因为85^2=32^2+0^2+24^2+75^2=32^2+0^2+51^2+60^2，其中32+63*0=2^5。

a（86）=3，因为86^2=65^2+1^2+19^2+53^2=65 ^2+1 ^2+31 ^2+47 ^2=71 ^2+7 ^2+25 ^2+41 ^2，其中65+63*1=2 ^7和71+63*7=2 ^9。

a（247）=1，因为247^2=2^2+2^2+76^2+235^2，2+63*2=2^7。

数学

SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]

Pow[n_]：=Pow[n]=整数Q[Log[4，n]]

tab={}；Do[r=0；Do[If[SQ[n^2-x^2-y^2-z^2]和&Pow[（x+63y）/2]，r=r+1]，{x，0，n}，{y，0，Min[x，Sqrt[n^2-x^2]}，}，[z，0，Sqrt[（n^2-x2-y^2）/2]}]；tab=附加[tab，r]，{n，1，80}]；打印[选项卡]

交叉参考

囊性纤维变性。A000290型,A000118号,A271518型,A279612型,A281976型,A299924型,A300219型.

上下文中的序列：A082068号 A300360型 A300396型*A082069号 A136755号 A156775号

相邻序列：A300353型 A300354型 A300355型*A300357 A300358型 A300359型

关键词

非n

作者

孙志伟2018年3月3日

状态

经核准的