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A300219 用x,y,z,w非负整数和z<=w将n^2写成x^2+y^2+z^2+w^2的方法的数量,使得x和4*x-3*y都是4的幂(包括4^0=1)。 35
1, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 8, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 2, 8, 5, 4, 1, 7, 6, 4, 5, 1, 3, 6, 2, 9, 6, 3, 2, 8, 4, 2, 1, 5, 3, 7, 3, 4, 6, 3, 3, 7, 4, 5, 1, 3, 5, 3, 1, 2, 9, 4, 2, 11, 3, 6, 2, 6, 7, 3, 2, 4, 5, 4, 1 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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评论
猜想:(i)a(n)>0表示所有n>0,而a(n)=1仅表示n=4^k*m(k=0,1,2,…和m=1,2,3,5,15,37,83,263)。此外,对于每个n=2,3,。。。我们可以用x,y,z,w非负整数将n^2写成x^2+y^2+z^2+w^2,这样x和4*x-3*y都位于集合{2^(2k+1):k=0,1,…}中。
(ii)设r为0或1,且n>r。然后n^2可以用x,y,z,w非负整数写成x^2+y^2+z^2+w^2,这样x和x+3*y都属于集合{2^(2k+r):k=0,1,2,…},除非n的形式是2^ k+r)*55937)^2+(2^(2k+r*59272)^2,其中2^(2k+r)*28^2=2^r*(2^k*28)^2和2^。所以我们总是可以用x,y,z,w非负整数将n^2写成x^2+y^2+z^2+w^2,这样x/2^r就是一个平方,(x+3*y)/2^r是4的幂。
在arXiv:1701.05868中,作者证明了对于每个r=0,1和n>r,我们可以用k,x,y,z非负整数将n^2写成(2^(2k+r))^2+x^2+y^2+z^2。
我们已经验证了n到10^7的猜想的两部分。
链接
孙志伟,拉格朗日四平方定理的精化,《J·数论》175(2017),167-190。
孙志伟,限制四平方和,arXiv:1701.05868[math.NT],2017-2018年。
例子
a(2)=1,因为2^2=1^2+1^2+1 ^2+1 ^2,1=4^0和4*1-3*1=4^0。
a(3)=1,因为3^2=1^2+0^2+2^2+2 ^2,1=4^0和4*1-3*0=4^1。
a(5)=1,因为5^2=4^2+0^2+0 ^2+3^2,4=4^1和4*4-3*0=4^2。
a(15)=1,因为15^2=4^2+4^2+7^2+12^2,4=4^1和4*4-3*4=4*1。
a(37)=1,因为37^2=16^2+16^2+4^2+29^2,16=4^2和4*16-3*16=4^2。
a(83)=1,因为83^2=4^2+4^2+56^2+61^2,其中4=4^1和4*4-3*4=4^1。
a(263)=1,因为263^2=4^2+5^2+22^2+262^2,4=4^1和4*4-3*5=4^0。
数学
SQ[n_]:=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]];
Do[r=0;Do[If[SQ[n^2-16^k-((4^(k+1)-4^m)/3)^2-z^2],r=r+1],{k,0,Log[4,n]},{m,天花板[Log[4,Max[1,4^];打印[n,“”,r];标签[aa],{n,1,80}]
交叉参考
关键词
非n
作者
孙志伟2018年2月28日
状态
经核准的

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