A300219-OEIS公司

A300219型

用x，y，z，w非负整数和z<=w将n^2写成x^2+y^2+z^2+w^2的方法的数量，使得x和4*x-3*y都是4的幂（包括4^0=1）。

1, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 8, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 2, 8, 5, 4, 1, 7, 6, 4, 5, 1, 3, 6, 2, 9, 6, 3, 2, 8, 4, 2, 1, 5, 3, 7, 3, 4, 6, 3, 3, 7, 4, 5, 1, 3, 5, 3, 1, 2, 9, 4, 2, 11, 3, 6, 2, 6, 7, 3, 2, 4, 5, 4, 1

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,6

猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=4^k*m（k=0,1,2，…和m=1，2，3，5，15，37，83，263）。此外，对于每个n=2,3，。..我们可以用x，y，z，w非负整数将n^2写成x^2+y^2+z^2+w^2，这样x和4*x-3*y都位于集合{2^（2k+1）：k=0,1，…}中。

（ii）设r为0或1，且n>r。然后n^2可以用x，y，z，w非负整数写成x^2+y^2+z^2+w^2，这样x和x+3*y都属于集合{2^（2k+r）：k=0,1,2，…}，除非n的形式是2^ k+r）*55937）^2+（2^（2k+r*59272）^2，其中2^（2k+r）*28^2=2^r*（2^k*28）^2和2^。所以我们总是可以用x，y，z，w非负整数将n^2写成x^2+y^2+z^2+w^2，这样x/2^r就是一个平方，（x+3*y）/2^r是4的幂。

在arXiv:1701.05868中，作者证明了对于每个r=0,1和n>r，我们可以用k，x，y，z非负整数将n^2写成（2^（2k+r））^2+x^2+y^2+z^2。

我们已经验证了n到10^7的猜想的两部分。

链接

孙志伟，n=1..10000时的n，a（n）表

孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化，《J·数论》175（2017），167-190。

孙志伟，限制四平方和，arXiv:1701.05868[math.NT]，2017-2018年。

例子

a（2）=1，因为2^2=1^2+1^2+1 ^2+1 ^2，1=4^0和4*1-3*1=4^0。

a（3）=1，因为3^2=1^2+0^2+2^2+2 ^2，1=4^0和4*1-3*0=4^1。

a（5）=1，因为5^2=4^2+0^2+0 ^2+3^2，4=4^1和4*4-3*0=4^2。

a（15）=1，因为15^2=4^2+4^2+7^2+12^2，4=4^1和4*4-3*4=4*1。

a（37）=1，因为37^2=16^2+16^2+4^2+29^2，16=4^2和4*16-3*16=4^2。

a（83）=1，因为83^2=4^2+4^2+56^2+61^2，4=4^1和4*4-3*4=4*1。

a（263）=1，因为263^2=4^2+5^2+22^2+262^2，4=4^1和4*4-3*5=4^0。

数学

SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]]；

Do[r=0；Do[If[SQ[n^2-16^k-（（4^（k+1）-4^m）/3）^2-z^2]，r=r+1]，{k，0，Log[4，n]}，{m，天花板[Log[4，Max[1，4^]；打印[n，“”，r]；标签[aa]，{n，1，80}]

交叉参考

囊性纤维变性。A000118号,2017年2月18日,A279612型,A281976型,A299924型,A300365型,A300360型.

上下文中的序列：A182236号 A077819号 A030313号*A278817型 A171746号 A113977号

相邻序列：A300216型 A300217型 A300218型*A300220型 A300221型 A300222型

关键词

非n

作者

孙志伟2018年2月28日

状态

经核准的