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A299537型
用x,y,z,w非负整数和z<=w将n^2写成x^2+y^2+z^2+w^2的方法的数量,使得x或y是4的幂(包括4^0=1),x+3*y也是4的幂。
31
1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 8, 6, 2, 4, 3, 8, 3, 1, 6, 8, 4, 1, 6, 10, 3, 4, 2, 5, 6, 3, 4, 8, 1, 1, 7, 5, 1, 1, 5, 6, 4, 2, 4, 13, 5, 6, 7, 5, 5, 1, 3, 7, 2, 1, 3, 12, 6, 2, 11, 5, 5, 3, 7, 11, 2, 1, 6, 13, 5, 1
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1,6
评论
猜想(i):对于所有n>0,a(n)>0,并且a(n,。。。
并且m=1、2、3、5、7、11、15、19、43、47、135、1103。
猜想(ii):对于任何大于1的整数,我们可以用x,y,z,w非负整数将n^2写成x^2+y^2+z^2+w^2,这样2*x或2*y是4的幂,2*(x+3*y)也是4的幂。
注意,81503^2不能用x,y,z,w非负整数以及集合{4^k:k=0,1,2,…}中的x和x+3*y写成x^2+y^2+z^2+w^2。
然而,81503^2=16372^2+4^2+52372^2+60265^2,其中4=4^1和16372+3*4=4^7。
我们已经验证了n的猜想达到10^7。
另请参阅中的相关评论
A300219型
和
A300360型
和中的一个类似猜想
A299794型
.
链接
孙志伟,
n=1..2000时的n,a(n)表
孙志伟,
拉格朗日四平方定理的精化
,《J·数论》175(2017),167-190。
孙志伟,
限制四平方和
,arXiv:1701.05868[math.NT],2017-2018年。
例子
a(2)=1,因为2^2=1^2+1^2+1 ^2+1 ^2,1=4^0和1+3*1=4^1。
a(5)=1,因为5^2=4^2+0^2+0 ^2+3^2,4=4^1和4+3*0=4^1。
a(19)=1,因为19^2=1^2+0^2+6^2+18^2,1=4^0和1+3*0=4^0。
a(43)=1,因为43^2=4^2+20^2+8^2+37^2,4=4^1和4+3*20=4^3。
a(135)=1,因为135^2=16^2+16^2+17^2+132^2,16=4^2和16+3*16=4^3。
a(1103)=1,因为1103^2=4^2+4^2+716^2+839^2,4=4^1和4+3*4=4*2。
数学
SQ[n_]:=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]];
Pow[n_]:=Pow[n]=整数Q[Log[4,n]];
tab={};
Do[r=0;Do[If[(Pow[y]||Pow[4^k-3y])&&SQ[n^2-y^2-(4^k-3Gy)^2-z^2],r=r+1],{k,0,Log[4,Sqrt[10]*n]},{y,0,Min[n,4^k/3]};
tab=追加[tab,r],{n,1,80}];
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交叉参考
囊性纤维变性。
A000118号
,
A000290型
,
A000302号
,
A271518型
,
A279612型
,
A281976型
,
A299794型
,
A299924型
,
A300219型
,
A300360
,
A300362型
.
上下文中的顺序:
A070085号
A131776号
A010322号
*
A053239号
A046569号
A046596号
相邻序列:
A299534型
A299535型
A299536型
*
A299538型
A299539型
A299540型
关键词
非n
作者
孙志伟
2018年3月4日
状态
经核准的
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上次修改时间:美国东部夏令时2024年9月21日04:44。
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