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A299794型 将n^2写成x^2+y^2+z^2+w^2的方法数,其中x>=y>=0<=z<=w,使得x或2*y是4的幂(包括4^0=1),x+15*y也是4的幂。 30
1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 6, 3, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 3, 4, 2, 1, 5, 4, 4, 5, 1, 2, 3, 2, 5, 5, 2, 2, 8, 2, 2, 1, 5, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 3, 6, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 1, 3, 6, 4, 3, 11, 2, 2, 2, 4, 5, 1, 2, 3, 5, 3, 1 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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猜想1:a(n)>0表示所有n>0。此外,对于任何整数n>1,我们可以将n^2写成x^2+y^2+z^2+w^2,其中x>=y>=0<=z<=w,这样2*x或y是4的幂,对于某些k=0,1,2,。。。。
猜想2:设d为2或8,r为0或1。那么任何正方形n^2都可以用x,y,z,w非负整数写成x^2+y^2+z^2+w^2,这样x或y是2的幂,x+d*y=2^(2k+r)对于某些k=0,1,2,。。。。
我们已经验证了n到10^7的猜想1。
另请参见A299537型,A300219A300396型对于类似的猜测。
链接
孙志伟,拉格朗日四平方定理的精化,《J·数论》175(2017),167-190。
孙志伟,限制四平方和,arXiv:1701.05868[math.NT],2017-2018年。
例子
a(2)=1,因为2^2=1^2+1^2+1 ^2+1 ^2,1=4^0和1+15*1=4^2。
a(5)=1,因为5^2=4^2+0^2+0 ^2+3^2,4=4^1和4+15*0=4^1。
a(19)=1,因为19^2=1^2+0^2+6^2+18^2,1=4^0和1+15*0=4^0。
a(159)=1,因为159^2=34^2+2^2+75^2+136^2,2*2=4^1和34+15*2=4 ^3。
a(1998)=1自1998年以来^2=256 ^2+256 ^2+286 ^2+1944 ^2,其中256=4 ^4和256+15*256=4 ^6。
a(3742)=1,因为3742^2=2176^2+128^2+98^2+3040^2,其中2*128=4^4和2176+15*128=4 ^6。
数学
SQ[n_]:=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]];
Pow[n_]:=Pow[n]=整数Q[Log[4,n]];
tab={};Do[r=0;Do[If[Pow[2y]||Pow[4^k-15y],Do[If[SQ[n^2-y^2-(4^k-15-y)^2-z^2],r=r+1],{z,0,Sqrt[Max[0,(n^2-y ^2-(4 ^k-15y)^2)/2]}],
{k,0,对数[4,平方[226]*n]},{y,0,最小[n,4^(k-2)]}];tab=附加[tab,r],{n,1,80}];打印[选项卡]
交叉参考
关键词
非n
作者
孙志伟,2018年3月4日
状态
经核准的

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