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系数可以从Rgf（z，t）=（t/（1+z））/（exp（-z/（1+z））-t）形成的修改Riordan数组（MRA）中生成，数组的每一行用于从前面的n个多项式生成后续多项式P（n，t）。
MRA是通过附加n！Riordan数组第n行的左侧129652英镑并拆下装置对角线。
MRA部分
1;
1, 1;
2, 3, 2;
6, 13, 9, 3;
24, 73, 52, 18, 4;
120, 501, 365, 130, 30, 5;
720, 4051, 3006, 1095, 260, 45, 6;
对于MRA：
1） 第一列是n！'第条。
然后，例如，根据MRA中的术语，
P（0，t）=0*（t-1）^0=1来自n=0行，
P（1，t）=1*（t-1）^1+1*P（0，t）=t来自n=1行，
P（2，t）=2*（t-1）^2+3*P（0，t）*（t-1，^1+2*P（1，t）
P（3，t）=3*（t-1）^3+13*P（0，t）*（t-1
生成
P（0，t）=（1）
P（1，t）=（0，1）
P（2，t）=（-1，1，2）
P（3，t）=（4，-14，10，6）=4+-14 t+10 t^2+6 t^3
P（4，t）=（-15，83，-157，89，24）
P（5，t）=（56，-424，1266，-1724，826，120）
P（6，t）=（-185，1887，-8038，17642，-19593，8287，720）
P（7，t）=（204，-4976，36226，-126944，239576，-234688，90602，5040）
对于多项式数组：
1） 第一列是A009940号=（-1）^n*n*滞后（n，1）=（-1）^n*n！*滞后（n，-1，-1）。
2） 行和为n！。
3） 最高阶系数为n！。
4） 交替行总和如下。
那么，Rf（n，t）=[t/（1-t）^（n+1）]*P（n，t）/n！，多元对数由下式给出
李（-n，t）/n！=[1+Rf（.，t）]^n，n=0,1,2，。。。反之亦然
Rf（n，t）={[Li（-（.），t））/（.）！]-1}^n。
本影注[Rf（.，t）]^n=Rf（n，t）和
（1+Rf）^0=1^0*[Rf（.，t）]^0=Rf（0，t）=t/（1-t）=Li（0，t）。
更一般地说，牛顿插值适用于Re（s）>=0，
李（-s，t）/（s）！=[1+Rf（.，t）]^s，当收敛于t时。
或者，Rf’s可以通过微分它们的o.g.f.，即上面的Rgf（z，t）来形成，也可以写成
Rgf（z，t）=和{k>=1}[t^k]*exp[k*z/（z+1）]/（z/1）
=和{n>=0}[（-z）^n]*和{k>=1}[（t^k*滞后（n，k）]
=Sum_{k>=0}[（-z）^k]*滞后（k，Li（-（.），t））
=Sum_{k>=0}[z^k]*{[Li（-（.），t））/（.）！]-1}^k
=经验[Li（-（.），t）*z/（1+z）]/（1+z），
并在操作上作为
Rgf（z，t）={Sum_{k>=0}（-z）^k*滞后（k，tD）}[t/（1-t）]
={Sum_{k>=0}（-z）^k*滞后（k，T（.，：tD:））}[T/（1-T）]
={求和{k>=0}（-z）^k*求和{j>=0{滞后（k，j）（tD）^j/j！}[x/（1-x）]
其中D是0时的w.r.t.x
={求和{k>=0}（-z）^k*求和{j=0..k}（-1）^j*[1-滞后（k，.）]^j*（：tD:）^j/j！}[吨/（1-t）]
={Sum_{k>=0}（-z）^k*exp[-[1-滞后（k，.）]*：tD:]}[t/（1-t）]
其中（：tD:）^n=t^n*D^n，D是导数w.r.t，除非另有说明，Lag（n，x）是拉盖尔多项式，t（n，t）是Touchard/Bell/指数多项式。
因此[t/（1-t）^（n+1）]*P（n，t）/n！=Rf（n，t）
={和{k=0..n}（-1）^n-k）*[C（m，k）/k！]*（tD）^k}[t/（1-t）]
={求和{k=0..n}（-1）^（n-k）*[C（m，k）/k！]*求和{j=0..k}S2（k，j）*（：tD:）^j}[t/（1-t）]
={和{k>=0}（-1）^（n-k）*滞后（n，k）*（tD）^k/k！}[x/（1-x）]其中D是0时的w.r.t.x
={和{k=0..n}（-1）^（n-k）*[1-滞后（n，.）]^k*（：tD:）^k/k！}[t/（1-t）]，
其中S2（k，j）是第二类斯特林数，C（m，k）是二项式系数。
P（n，t）通过以下公式与拉盖尔多项式相关
P（n，t）=（-1）^n n！[（1-t）^（n+1）}]求和{k>=0}[（t^k*滞后（n，k+1）]=求和{m=0..n}a（n，m）*t^m
其中a（n，m）=（-1）^n n！[Sum_{k=0..m}（-1）^k*C（n+1，k）*Lag（n，m-k+1）]。
多项式数组的猜想：
Rf的一些例如f.'s是
exp[-Rf（.，t）*z]=exp{[1-Li（-（.），t）/（.）！]*z}
=和{n>=0}{（z^n/n！）*和{k>=1}[t^k*滞后（n，k）]}
=和{k>=1}{t^k*（e^z）*J_0[2*sqrt（k*z）}
=Sum_{n>=0}{（-1）^n*（z^n/n
其中J_0（x）是第一类的第零贝塞尔函数。
表达式（：tD:）^j}[t/（1-t）]和拉盖尔多项式与拉赫数和洛克多项式密切相关。
至少对于abs（t）<1和abs（z）<1，与物理学、概率论和数论的一些有趣关系是，
BE（t，z）=和{k>=0}[（-z）^k]*[1+Rf（.，t）]^k
=Rgf（-z/（1+z），t）/（1+z）=t/{exp（z）-t}，玻色-爱因斯坦分布，
FD（t，z）=和{k>=0}[（-z）^k+1]*[1+Rf（.，-t）]^k
=-Rgf（-z/（1+z），-t）/（1+z）=t/{exp（z）+t}，费米-迪拉克分布
当t从下面趋于1时，z*BE（t，z）趋于伯努利，例如f.，这与梅林变换到（s-1）有关*泽塔人。通过BE和FD w.r.t.z的梅林变换，给出了不同域上的多对数。
由于BE（2，z）本质上是有序Bell数的e.g.f，因此它很明显地遵循了这一点
n！*号滞后（n，OB（.））=P（n，2）和
n！*号滞后（n，P（.，2））=OB（n）
即，P（n，2）和有序Bell数构成倒数Laguerre组合变换对，
或者，等价地，P（n，2）/n！和OB（n）/n！形成倒数有限差分对，因此
P（n，2）/n！=（-1）^（n+1）*Rf（n，2）=-{1-[Li（-（.），2））/（.）！]}^n和
OB（n）=-Li（-n，2）。
注意n*滞后（n，（.）*Lag（.，x））=x^n是一般Laguerre多项式Lag（n，x，a）与a=-1,0,1，…，的真恒等式，。。。，所以我们可以看看包含OB（n）的类似高阶倒数对。
此外，混合阶迭代拉盖尔变换给出了
不*滞后{n，（.）！*Lag[.，P（.，2），0]，-1}
=P（n，2）-n*P（n-1，2）
E（n，t）/n！=[1-t+P（.，t）/（.）！]^n
P（n，t）/n！=[E（.，t）/（.）！-（1-t）]^n或等效值
[E（.，t）/（1-t）]^n=n*滞后[n，-P（.，t）/（1-t）]
[-P（.，t）/（1-t）]^n=n*Lag[n，E（.，t）/（1-t）]，拉盖尔变换对。
然后，根据欧拉多项式的已知关系，多项式数组的交替行和为
P（n，-1）=（-2）^（n+1）*n！*滞后[n，c（.）*Zeta（-（.））]
其中c（n）=[2^（n+1）-1]，Zeta是Riemann-Zeta函数。所以
Zeta（-n）=n！*滞后[n，-P（.，-1）/2]/[2-2^（n+2）]，
这也适用于当Lag的求和极限扩展到无穷大时，对于n=s，Re（s）>0的任何复数。
然后从符号欧拉数EN（n）、伯努利数Ber（n），热那基数GN（n/[（x-y）！*y！]
2^（n+1）*（1~2^（n+1））*（-1）^n*泽塔（-n）
=2^（n+1）*（1-2^（n+1））*Ber（n+1）/（n+一）
=[-（1+EN（.））]^n
=2^n*GN（n+1）/（n+1
=2^n*EP（n，0）
=（-1）^n*E（n，-1）
=（-2）^n*n！*滞后[n，-P（.，-1）/2]
=（-2）^n*n！*C{T[，P（.，-1）/2]+n，n}
=整数=Q（n）
这些可以通过让n=s（复数）（或插值）来推广，以获得第一类广义拉盖尔函数或合流超几何函数M（a，b，x）或第二类超几何函数U（a，b，x），其参数为P（.，-1）/2，例如
E（s，-1）/[2^s*s！]=-2*Li（-s，-1）/s！=（2-2^（s+2））*泽塔（-s）/s！
=C{T[.，P（.，-1）/2]+s，s}=滞后[s，-P（.，-1-）/2]=M[-s，1，-P，
GN（s+1）/（s+1”）！=EP（s，0）/s！=C{-T[.，P（.，-1）/2]-1，n}=U[-s，1，-P（.，-1-）/2]/（s）！
更一般地说
E（s，t）/（1-t）^s=[（1-t*滞后[s，-P（.，t）/（1-t）]
=s！*C{T[，P（.，T）/（1-T）]+s，s}=s！*M[-s，1，-P（.，t）/（1-t）]。
拉盖尔多项式表达式是基本的，因为它们可以插值形成一般的M[a，b，-P（.，t）/（1-t）]或U[a，b，-P[.，t]/（1-t]，然后可以直接或通过二项式变换与许多重要的谢弗序列相关联，更不用说群论和黎曼曲面了。
上述常见表达式的注意事项：-1阶和0阶拉盖尔多项式与Lah数和rook多项式密切相关，并且（tD）^n[t/（1-t）]=t（n，：tD:）[t/-汤姆·科普兰2008年9月9日
Gunnells和Villegas第12页上的变形Todd算子是Td（a，D）=-D/（a*exp（-D）-1）=[-D/（1-D）]*Rgf。另请参阅Beck和Robins中的欧拉多项式、埃尔哈特多项式和托德算子之间的联系，特别是第31和37页-汤姆·科普兰2017年6月20日
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