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| A130561型 |
| 与分区相关的数，用于Lah三角形数的组合解释A105278号; 初等舒尔多项式/函数。 |
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22
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1, 2, 1, 6, 6, 1, 24, 24, 12, 12, 1, 120, 120, 120, 60, 60, 20, 1, 720, 720, 720, 360, 360, 720, 120, 120, 180, 30, 1, 5040, 5040, 5040, 5040, 2520, 5040, 2520, 2520, 840, 2520, 840, 210, 420, 42, 1, 40320, 40320, 40320, 40320, 20160, 20160, 40320, 40320, 20160
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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该数组的顺序根据分区的Abramowitz-Stegun（A-St）顺序（参见A036036号).
行长度序列为A000041号（分区号）[1、2、3、5、7、11、15、22、30、42…]。
组合解释：a（n，k）计算通过对集合{1..n}进行分区而获得的列表集（有序子集），列表的长度由n的第k个分区以a-St顺序给出。例如，a（5,5）是根据长度列表的集合数[1^1,2^2]（a-St顺序中5的第5个分区）计算得出的。因此a（5,5）=二项（5,2）*二项（3,2）=5/（1！*2！）=60，根据对数字1,2，。。。，5分成{[.]、[..]、[..]}类型的列表集。
这个数组名为M_3（2），是泛化分区数组家族的k=2成员A036040型其显示为M_3=M_3（k=1）。S2（2）=A105278号（无符号Lah数三角形）与M_3（2）的关系与S2（1）的关系相同，Stirling2数三角形与M_3（1）相关-沃尔夫迪特·朗2007年10月19日
另一种组合解释是：a（n，k）列举了递增二叉树的无序林，这些无序林用Abramowitz-Stegun序中n的第k次分区来描述-沃尔夫迪特·朗2007年10月19日
在链接“Lagrange A la Lah”中，给出了由这些“精细Lah数”形成的分区多项式与o.g.f.的Lagrage反演之间的关系，以及例如f.和本影二元算子树表示-汤姆·科普兰2011年4月12日
对于cn>0的不定项（x_1，x_2，x_3，…）=（t，-c_2*t，-c_3*t，…），本影P（n，a）=P（n、t）|_{t^n=a_n}=0和P（j，a）P（k，a）=P（j、t）P（k，t）|_{t^n=a_n{}=d_{j，k}>=0是x^j/j的系数*y^k/k！在形式群定律FGL（x，y）=f[f^{-1}（x）+f^{-1-}（y）]的泰勒级数展开式中，其中a_n是根据A133437号. -汤姆·科普兰2018年2月9日
除以n！，行划分多项式是Bracci等人论文第44页提出的初等齐次Schur多项式-汤姆·科普兰，2018年6月4日
在Konopelchenko和Schief论文的第19页上，还以Schur多项式的形式呈现（重新规范化），与KP层次结构相关的微分算子相关-汤姆·科普兰2018年11月19日
通过Arbarello参考文献第26页的方程4.8，这些多项式出现在与KP层次的tau函数解相关的Hirota双线性方程4.7中-汤姆·科普兰2019年1月21日
这些分区多项式以其贝尔多项式的形式显示为费曼振幅（将x_n=n！c_n放入A036040级（例如，第27页）-汤姆·科普兰2019年12月17日
a_n=n！*b_n=（n-1）！*对于n>0，用f（0）=a0=b0=1表示函数
A） 指数生成函数（例如f），或形式泰勒级数：f（x）=e^{A.x}=1+Sum_{n>0}A_n*x^n/n！
B） 普通生成函数（o.g.f.），或形式幂级数：f（x）=1/（1-B.x）=1+Sum{n>0}B_n*x^n
C） 对数生成函数（l.g.f）：f（x）=1-log（1-C.x）=1+Sum_{n>0}C_n*x^n/n。
对数（f（x））的展开式如所示
一）A127671号和A263634型对于例如f:log[e^{a.*x}]=e^{L.（a_1，a_2，…）x}=Sum_{n>0}L_n（a_1，…，a_n）*x^n/n！，对数多项式、累积展开多项式
二）A263916型对于o.g.f.：log[1/（1-b.x）]=log[1-f（b_1，b_2，…）x]=-求和{n>0}f_n（b.1，…，b_n）*x^n/n，Faber多项式。
exp（f（x）-1）的展开式如下所示
三）A036040型对于例如f:exp[e^{a.x}-1]=e^{BELL.（a_1，…）x}，BELL/Touchard/指数配分多项式，即第二类Stirling配分多项式
四）A130561型对于o.g.f:exp[b.x/（1-b.x）]=e^{LAH.（b.，…）x}，LAH配分多项式
五）A036039号对于l.g.f.：exp[-log（1-c.x）]=e^{CIP.（c1，…）x}，对称群S_n的循环指数多项式，也称为第一类斯特林配分多项式。
由于exp和log是一个组合反对，因此可以从exp集合中提取分区多项式的log集合的不确定性，反之亦然。有关这些多项式之间的关系以及连通和不连通图/映射的组合学的讨论，请参阅Novak和LaCroix关于经典矩和累积量的文章以及A036040型.（完）
Segal和Wilson将这些划分多项式称为Schur函数，他们提出了与Plucker坐标、Grassmann和KdV层次的tau函数的关联。见第51和61页-汤姆·科普兰2022年1月8日
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参考文献
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E.Arbarello，“KdV草图”，康特姆。数学。312（2002），第9-69页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
D.Kreimer和K.Yeats，量子场的微分态，arXiv:11610.01837【数学ph】，2016年。
J.Novak和M.LaCroix，自由概率三讲，arXiv:1205.2097[math.CO]，2012年。
G.Segal和G.Wilson，KdV型回路群和方程，《国际数学杂志》。埃及。美国，第61卷，1985年，第5-65页。
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配方奶粉
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a（n，k）=n/（产品{j=1..n}e（n，k，j）！）指数e（n，k，j）在n的第k个分区中，在n的分区的A-St顺序中。由于0，指数0可以省略=1
给出了由A130561型在第22-23页“拉格朗日拉拉第一部分”的科普兰链接中。
第3页给出了划分多项式的示例：
exp[t*：c.*x/（1-c.*x）：]=exp[t*（c1*x+c2*x^2+c3*x^3+…）]其中：（…）：表示封闭表达式的本影计算，c是本影系数。（结束）
Lang链接中给出的这个数组P（n，x_1，x_2，…，x_n）的行划分多项式是n！*（n，x_1，x_2，…，x_n），其中S（n，x1，…，x_n）是基本Schur多项式，其中d/dP（n-m，x_1，…，x_（n-m）），确认行多项式在P（0，…）=1的不定x_1中形成Appell序列。有关这些舒尔多项式的更多信息，请参阅恩斯特论文第127页。
对于例如f.exp[t*P（.，x_1，x_2，..）]=exp（t*x_1）*exp（x_2 t^2+x_3t^3+…），在不定x_1中形成本影成分逆序列U（n，x_1.，…，x_n）的分区多项式的例如f.是exp[t*U（.，x_1，x_2，…）]=xp（tx_1；因此，U（n，x_1，x_2，…，x_n）=P（n，x1，-x_2，.，-x_n。例如，P（1，x_1）=x1，P2（x_1，x_2）=2 x_2+x_1^2，P（3，x_1，x_2，x_3）=6 x_3+6 x_2 x_1+x_1 ^3，然后P[3，P（.，x_1，-x_2，…），x_2=x_1^3。
根据Appell形式主义，umbrally[P（.，0，x_2，x_3，…）+y]^n=P（n，y，x_2、x_3…，x_n）。
也可以使用以下Faber多项式来提取划分多项式的不确定性A263916型其中-n*x_n=F（n，S（1，x_1），。。。，S（n，x_1，…，x_n））=F（n，P（1，x_1），。。。，P（n，x_1，…，x_n）/n！）。与进行比较A263634型.
另外，P（n，x_1，…，x_n）=ST1（n，x1,2*x_2，…，n*x_nA036039号.
（结束）
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例子
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三角形开始：
[ 1];
[ 2, 1];
[ 6, 6, 1];
[ 24, 24, 12, 12, 1];
[120, 120, 120, 60, 60, 20, 1];
...
a（5,6）=20=5/（3！*1！），因为A-St顺序中5的第六分区是[1^3,2^1]。
a（5,5）=60枚举具有5个顶点（包括三个根）的无序[1^1,2^2]-森林，这些顶点由三个这样递增的二叉树组成：5*（（二项式（4,2）*2）*（1*2））/2！=5*12 = 60.
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交叉参考
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囊性纤维变性。A105278号（无符号Lah三角形|L（n，m）|），通过对给定零件号m的数字求和获得。
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关键词
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非n,标签,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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