A121448-OEIS公司

A121448号

按行读取的三角形：T（n，k）是具有n条边且k个顶点超出度1（n>=0，k>=0）的二叉树的数目。二叉树是一棵有根树，其中每个顶点最多有两个子节点，顶点的每个子节点被指定为其左或右子节点。

三

1, 0, 2, 1, 0, 4, 0, 6, 0, 8, 2, 0, 24, 0, 16, 0, 20, 0, 80, 0, 32, 5, 0, 120, 0, 240, 0, 64, 0, 70, 0, 560, 0, 672, 0, 128, 14, 0, 560, 0, 2240, 0, 1792, 0, 256, 0, 252, 0, 3360, 0, 8064, 0, 4608, 0, 512, 42, 0, 2520, 0, 16800, 0, 26880, 0, 11520, 0, 1024, 0, 924, 0, 18480, 0

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,3

T（2n，0）=二项式（2n、n）/（n+1）（加泰罗尼亚数；A000108号)；T（2n+1,0）=0。T（n，n）=2^n(A000079号).总和（k*T（n，k），k=0..n）=2*二项式（2n，n-1）=2*A001791号（n） ●●●●。删除零后，反射A091894号.

发件人汤姆·科普兰2016年2月7日：（开始）

偏移的o.g.f.为OG（x，t）=[1-2tx-sqrt[（1-2tx）^2-4x^2]/（2x）=x+2t x^2+（1+4t^2）x^3+。..当组成逆OGinv（x，t）=x/（1+2tx+x^2）时A053117号（mod标志）。

对于x>0并选择正平方根，OG（x^2，t）=H（x，t）=x^2+2t x^4+（1+4t^2）x^6+。..具有组成逆Hinv（x，t）=sqrt[x/（1+2tx+x^2。A008316型)乘以sqrt（x）。

一般来说，GB（x，t，b）=[x/（1-2tx+x^2）]^b是Gegenbauer多项式乘以x^b的生成器，对于x>0的正根，关于原点的成分逆GBinv（x，t，b）=OG（x^（1/b），-t）。囊性纤维变性。A097610号.

（结束）

发件人汤姆·科普兰2016年2月9日：（开始）

z1=OG（x，t）是二次多项式Q（z；z1（x，t），z2（x，d））=（zz1）（zz2）=z^2-（z1+z2）z+（z1*z2）=z^2-e1z+e2=z^2-[（1-2tx）/x]z+1的x=0时消失的零点，其中e1和e2是两个不定项的初等对称多项式。

另一个零由z2（x，t）=[1-2tx+sqrt[（1-2tx）^2-4x^2]/（2x）=（1-2tf）/x-z1（x，t）给出。

这两个是勒让德规范形y^2=z（zz1）（zz2）中椭圆曲线的零点。（2016年2月13日添加。见Landweber等人，第14页。囊性纤维变性。A097610号.)

（结束）

链接

n，a（n）的表，n=0..70。

科林·德芬特，后期订单前置图像，arXiv预印本arXiv:1604.01723[math.CO]，2016。

FindStat-组合统计查找器，二叉树中超度数为1的顶点数.

P.Landweber、D.Ravenel和R.Stong，椭圆曲线定义的周期上同调理论

配方奶粉

T（n，k）=2^k*二项式（n+1，k）二项式[n+1-k，（n-k）/2）/（n+1），如果n-k是偶数；否则，T（n，k）=0。G.f.G=G（t，z）满足G=1+2tzG+z^2*G^2。

T（n，k）=2^k*A097610号（n，k）。 -菲利普·德尔汉姆2006年8月17日

发件人汤姆·科普兰2016年2月9日：（开始）

以下是来自A097610号h1=2t，h2=1，MT（n，h1，h2）=MT（n、2t，1），OG（x，t）如上所述。

例如：M（x，t）=E^（2tx）AC（x）=exp[x MT（.，2t，1）]=exp[x P（.，t）]，其中AC（x！)=exp（c.x）是A126120号.

P（n，t）=MT（n，2t，1）=（c.+2t）^n=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）c（n-k）（2t）^k与c（k）=A126120号（k） ●●●●。P（n，t+s）=（c.+2t+2s）^n=（P（.，t）+2s）。

P（n，t）=t^n FC（n，c./t）=t^n（2+c./tA038207号也就是说，该条目的行多项式可以作为反面多项式的本影合成，加泰罗尼亚数为A000108号.

该项的行多项式P（n，t）的升降算子为L=（1/2）d/dt=（1/2）d和R=2t+dlog{AC（L）}/dL=2t+Sum_{n>=0}b（n）L^（2n+1）/（2n+1）！=2t+L-L^3/3！+5升^5/5！ - ...其中b（n）=（-1）^nA180874号（n+1）。

设CP（n，t）=P（n+1，t），CP（0，t）=0。那么CP（n，t）的无穷小生成器是g（x）d/dx，其中g（x，x）=1/[dOGinv（x，t）/dx]=x^2/[（OGinv，x，t！在x=0时计算的x给出了行多项式CP（n，t），即exp[x g（u）d/du]u | _（u=0）=OG（x，t）=1/[1-x P（.，t）]。囊性纤维变性。A145271号.

g（x）=1+4吨x+（3+4吨）x^2+8吨x^3+4（1+t^2）x^4+8吨x ^5+4（1+t ^2）x ^6+8吨×^7+。..具有向量V=（1，4t，3+4t，8t，4（1+t^2），8t的重复系数。..).形成下三角矩阵U，所有的矩阵都在对角线上和下方。将U的第n对角线乘以V（n），得到矩阵VU，其中VU（n，k）=V（n-k）。那么（1,0,0,0，…）[VU*DM]^n/n！（0,1,0,0，..）^T=CP（n，T）=P（n-1，T），n>0，DM为矩阵A218272型表示幂级数的微分。

（结束）

例子

T（2,2）=4，因为用L（R）表示从顶点到左（右）子节点的边，我们有路径：LL、LR、RL和RR。

三角形开始：

0,2;

1,0,4;

0,6,0,8;

2,0,24,0,16;

MAPLE公司

T： =proc（n，k），如果n-k mod 2=0，则2^k*二项式（n+1，k）*二项法（n+1-k，（n-k）/2）/（n+1）其他0 fi结束：对于从0到12的n do seq（T（n，k），k=0..n）od；#生成三角形形式的序列

数学

nn=10；删除[系数列表[系列[（1-2x y-（（-4x^2+（1-2xy）^2））^（1/2））/（2x），{x，0，nn}]，{x、y}]，1]//网格(*杰弗里·克雷策2013年2月20日*）