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| A097610号 |
| 行读取的三角形：T（n，k）是长度为n且具有k个水平步长的Motzkin路径数。 |
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22
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1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 2, 0, 6, 0, 1, 0, 10, 0, 10, 0, 1, 5, 0, 30, 0, 15, 0, 1, 0, 35, 0, 70, 0, 21, 0, 1, 14, 0, 140, 0, 140, 0, 28, 0, 1, 0, 126, 0, 420, 0, 252, 0, 36, 0, 1, 42, 0, 630, 0, 1050, 0, 420, 0, 45, 0, 1, 0, 462, 0, 2310, 0, 2310, 0, 660, 0, 55, 0, 1, 132, 0, 2772, 0
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,8
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评论
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由满足以下条件的多项式p（k，x）的系数给出了G·J·Chaitin的s表达式的个数：p（k、x）=Sum_{J=2..k-1}p（J，x）*p（k-J、x）。这些多项式的系数也给出了（本质上）此处所示的三角形-罗杰·巴古拉2006年10月31日
指数Riordan数组[Bessel_I（1,2x）/x，x]-保罗·巴里2010年3月24日
对角线和是充气的大施罗德数-保罗·巴里2010年4月21日
这些多项式与Gegenbauer多项式有关，而Gegenbaue多项式又是雅可比多项式的特化。Gegenbauer多项式的o.g.f.是1/[1-2tx+x^2]^a。对于生成函数Gb（x，h1，h2，a）=[x/。该条目的多项式由Gbinv（x，t，1,1）生成。勒让德多项式与o.g.f.Gb（x，-2t，1,1/2）有关。囊性纤维变性。A121448号. -汤姆·科普兰2016年2月7日
Copeland 2016年1月29日公式中的双变量o.g.f.可以与复平面的保角映射和dKP层次的解相关。参见Takebe等人的论文第24页-汤姆·科普兰2018年5月30日
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参考文献
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G.J.Chaitin，《算法信息理论》，剑桥大学出版社，1987年，第169页。
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链接
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N.Alexeev、J.Andersen、R.Penner和P.Zograf，多个区间和弦图的枚举及其不定向类比，arXiv:1307.0967[math.CO]，2013-2014年。
M.Artioli、G.Dattoli、S.Licciardi和S.Pagnutti，Motzkin数：一个可操作的观点，arXiv:1703.07262[math.CO]，2017年，（第3页表1的反面）。
玛丽莲娜·巴纳贝、弗拉维奥·博内蒂和尼科洛·卡斯特罗诺沃，莫茨金和加泰罗尼亚隧道多项式，J.国际顺序。，第21卷（2018年），第18.8.8条。
科林·德芬特，后期订单前置图像，arXiv预印本arXiv:1604.01723[math.CO]，2016。
G.Ellingsrud，椭圆曲线基础，课程笔记，2014年秋季。
T.Takebe、Lee-Peng Teo和A.Zabrodin，Löwner方程和无弥散层次，arXiv:math/0605161[math.CV]，第24页，2006年。
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配方奶粉
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通用：[1-tz-sqrt（1-2tz+t^2*z^2-4z^2）]/（2z^2。
T（n，k）=n/[k！（n-k）/2）！（n-k）/2-1）！]=A055151号（n，（n-k）/2）如果n-k是非负偶数；否则T（n，k）=0。
T（n，k）=C（n，k）*C（（n-k）/2）*（1+（-1）^（n-k-保罗·巴里2005年5月18日
G.f.：1/（1-x*y-x^2/（1-x*y-x*2/（1-x*y-x ^2/……（连分数））-保罗·巴里，2008年12月15日
例如：M（x，t）=E^（xt）AC（t）=E ^（xt）I_1（2t）/t=E（xt）*例如：f(A126120号（t） ）=e^（xt）和{n>=0}t^（2n）/（n！（n+1）！）=exp[t P（.，x）]。
这个Appell多项式序列P（n，x）的e.g.f.是e^（xt）乘以加气加泰罗尼亚数的e.g.f AC（t）A126120号.AC（t）=I_1（2t）/t，其中I_n（x）=t_n（d/dx）I_0（x）是第一类修正贝塞尔函数，t_n是第一类切比雪夫多项式。
P（n，x）有降和升算子L=d/dx=d和R=d/dD log{M（x，d）}=x+d/dD log{AC（d）}=x+Sum_{n>=0}c（n）d^（2n+1）/（2n+1）！c（n）=（-1）^nA180874号（n+1），即LP（n，x）=n P（n-1，x）和RP（n，x）=P（n+1，x）。
（P（.，x）+y）^n=P（n，x+y）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）P（k，x）y^（n-k）=（b.+x+y）^n，其中（b）^k=b_k=A126120号（k） ●●●●。
Exp（b.D）e^（xt）=Exp[（x+b.）t]=Exp[P（.，x）t]=e^。
移位o.g.f:g（x，t）=[1-tx-sqrt[（1-tx）^2-4x^2]]/2x=x+t x^2+（1+t）x^3+。。。具有成分逆Ginv（x，t）=x/[1+tx+x^2]=x-tx^2+（-1+t^2）x^3+（2t-t^3）x^4+（1-3t^2+t^4）x^5+。。。，第二类带符号切比雪夫多项式的移位o.g.fA049310型（另请参见A011973号). 那么反演公式A134264号涉及非交叉分割和自由概率及其多种解释（参见。A125181号同样），可以与h0=1、h1=t和h2=1一起使用，以组合方式解释Motzkin多项式的系数。
（结束）
提供f（x）=x/[1+h1x+h2x^2]的逆系数，这是A049310型（mod标志）。
finv（x）=[（1-h1*x）-sqrt[（1-h 1*x，^2-4h2*x^2]/（2*h2*x）=x+h1 x^2+（h2+h1^2）x^3+（3 h1 h2+h1 ^3）x^4+。。。是此条目的双变量o.g.f。
finv（x）的无穷小生成器是g（x）d/dx，其中g（x！x在x=0时求值，得到f（x）的组成逆的行多项式FI（n，h1，h2），即exp[x g（u）d/du]u | _（u=0）=finv（x）=1/[1-x FI（.，h1、h2）]。囊性纤维变性。A145271号例如。，
FI（0，h1，h2）=0
FI（1，h1，h2）=1
FI（2，h1，h2）=1 h1
FI（3，h1，h2）=1 h2+1 h1^2
FI（4，h1，h2）=3 h2 h1+1 h1 ^3
FI（5，h1，h2）=2 h2^2+6 h2 h1^2+1 h1^4
FI（6，h1，h2）=10 h2^2 h1+10 h2 h1 ^3+1 h1 ^5。
当D=D/dh1时，FI（n+1，h1，h2）=MT（n，h1、h2）=（b.y+h1）^n=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）b（k）y^kh1^（n-k）=exp[（b.y D]（h1）=A126120号（k） 、y=sqrt（h2）和AC（t）在我的上述1月23日公式中定义。等效地，AC（y D）e^（x h1）=exp[x MT（.，h1，h2）]。
MT多项式包含h1中的一个Appell序列，例如f.e^（h1*x）AC（xy）=exp[x MT（.，h1，h2）]，其降维算子L=d/dh1=d，即L MT（n，h1、h2）=dMT（n、h1，h2）/dh1=n MT（n-1，h1和h2）和升维算子R=h1+dlog{AC（y L）}/dL=h1+Sum{n>=0}c（n）h2^（n+1）d^（2n+1）/（2n+1）！=h1+h2 d/dh1-h2^2（d/dh1）^3/3！+5 h2^3（d/dh1）^5/5！-。。。c（n）=（-1）^nA180874号（n+1）（与1月23日公式中的提升算子一致）。
（结束）
z1（x，h1，h2）=finv是两个不定项的初等对称多项式。
另一个零由z2（x，h1，h2）=（1-h1*x）/（h2*x）-z1（x，h2，h2。
这两个是勒让德范式y^2=z（z-z1）（z-z2）中椭圆曲线的非平凡零点（见Landweber等人，第14页，Ellingsrud，和A121448号)和Riccati方程z'=（z-z1）（z-z2）的零点，与KdV方程的孤子解相关（参见Copeland链接）。
（结束）
比较的二元切比雪夫多项式S_n（h1，h2）的位移o.g.f.S（x）=x/（1-h1x+h2x^2）A049310型对于完全齐次对称多项式H_n（a，b）=（a^（n+1）-b^。关于S（x）原点的成分逆给出了该项的有符号Motzkin多项式M_n（h_1，h2）的二元o.g.f.，而h（x）的成分逆则给出了该项目的有符号Narayana多项式n_n（a，b）的一个o.g.fA001263号从而通过不定变换将二元Motzkin多项式和Narayana多项式联系起来。例如，M_2（h_1，h2）=h2+h_1^2=ab+（a+b）^2=a^2+3ab+b^2=N_2（a，b）-汤姆·科普兰2024年1月27日
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例子
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三角形开始：
1;
0, 1;
1, 0, 1;
0, 3, 0, 1;
2, 0, 6, 0, 1;
0, 10, 0, 10, 0, 1;
5, 0, 30, 0, 15, 0, 1;
第n行有n+1项。
T（4,2）=6，因为我们有HHUD、HUDH、UDHH、HUHD、UHDH、UHD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）。
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MAPLE公司
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G： =（1-t*z-sqrt（1-2*t*z+t^2*z^2-4*z^2））/2/z^2：
Gser:=简化（系列（G，z=0，16））：P[0]：=1：
对于从1到13的n，执行P[n]：=排序（系数（Gser，z^n））od：
seq（seq（系数（t*P[n]，t^k），k=1..n+1），n=0..13）；
#三角形阵列的Maple程序：
T： =proc（n，k），如果n-k mod 2=0且k<=n，则n/k/（n-k）/2）/（n-k）/2+1）！否则0结束：TT:=（n，k）->T（n-1，k-1）：矩阵（10，10，TT）；
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数学
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T[n_，k_]：=如果[n>=k&&EvenQ[n-k]，n/（k！（n-k）/2）！（（n-k）/2+1）！），0];
扁平[表[T[n，k]，{n，0，20}，{k，0，n}]](*彼得·J·C·摩西2013年4月6日*）
T[n_，k_]：=如果[OddQ[n-k]，0，二项式[n，k]CatalanNumber[（n-k）/2]]；(*彼得·卢什尼，2018年6月6日*）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A011973号,A049310型,A055151号,A060693号,A180874号,A121448号,A125181号,A126120号,A134264号,A145271号,A238390型.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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