A081658-OEIS公司

A081658号

行读取的三角形：T（n，k）=（-2）^k*二项式（n，k）*Euler（k，1/2）。

1, 1, 0, 1, 0, -1, 1, 0, -3, 0, 1, 0, -6, 0, 5, 1, 0, -10, 0, 25, 0, 1, 0, -15, 0, 75, 0, -61, 1, 0, -21, 0, 175, 0, -427, 0, 1, 0, -28, 0, 350, 0, -1708, 0, 1385, 1, 0, -36, 0, 630, 0, -5124, 0, 12465, 0, 1, 0, -45, 0, 1050, 0, -12810, 0, 62325, 0, -50521, 1, 0, -55, 0, 1650, 0, -28182, 0, 228525, 0, -555731, 0, 1, 0, -66, 0, 2475, 0

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,9

这些是瑞士刀多项式的系数A153641号. -彼得·卢什尼2012年7月21日

三角形的非零对角线的形式为A000364号（k） *二项式（n+2k，2k）*（-1）^k。

A363393型是对偶三角形（欧拉正切与欧拉斜切数字意义上的“对偶”）-彼得·卢什尼，2023年6月5日

链接

n，a（n）的表，n=0..83。

配方奶粉

2/（exp（kx）+exp（-kx））展开式的二项式变换中以k为单位的多项式的系数。

发件人彼得·卢什尼2012年7月20日：（开始）

p{n}（0）=有符号Euler正割数A122045型.

p{n}（1）=有符号Euler正切数A155585型.

p{n}（2）具有例如f.2*exp（x）/（exp（-2*x）+1）A119880号.

2^n*p{n}（1/2）=有符号Springer数188458英镑.

3^n*p{n}（1/3）有例如f.2*exp（4*x）/（exp（6*x）+1）

4^n*p{n}（1/4）有例如f.2*exp（5*x）/（exp（8*x）+1）。

行总和：A155585型（参见。A009006号). 绝对行总和：A003701号.

没有第一列的行的GCD：A155457号.（结束）

发件人彼得·卢什尼，2023年6月5日：（开始）

T（n，k）=[x^（n-k）]欧拉（k）/（1-x）^（k+1）。

有关递归，请参阅Python程序。

猜想：如果n是素数，那么n将T（n，k）除以1<=k<=n-1。（结束）

例子

三角形开始

[0] 1;

[1] 1, 0;

[2] 1, 0, -1;

[3] 1, 0, -3, 0;

[4] 1, 0, -6, 0, 5;

[5] 1, 0, -10, 0, 25, 0;

[6] 1, 0, -15, 0, 75, 0, -61;

[7] 1, 0, -21, 0, 175, 0, -427, 0;

...

发件人彼得·卢什尼2021年9月17日：（开始）

三角形表示以下多项式的系数：

[1] 1;

[2] 1-x^2；

[3] 1-3*x^2；

[4] 1-6*x^2+5*x^4；

[5] 1-10*x^2+25*x^4；

[6] 1-15*x^2+75*x^4-61*x^6；

[7] 1-21*x^2+175*x^4-427*x^6；

...

这些多项式是n×n矩阵的永久数，主对角线集以上的所有项为“X”，主对偶集以下的所有项均为“-X”。主要的反对症药物只有一种。代入x<-1生成欧拉正切数A155585型.（与A046739号.)

（结束）

MAPLE公司

ogf:=n->euler（n）/（1-x）^（n+1）：

ser:=n->系列（ogf（n），x，16）：

T:=（n，k）->系数（ser（k），x，n-k）：

对于从0到9的n，做seq（T（n，k），k=0..n）od#彼得·卢什尼，2023年6月5日

T:=（n，k）->（-2）^k*二项式（n，k）*欧拉（k，1/2）：

seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..9）#彼得·卢什尼2024年4月3日

数学

sk[n，x_]：=和[二项式[n，k]*EulerE[k]*x^（n-k），{k，0，n}]；

表[系数列表[sk[n，x]，x]//反向，{n，0，12}]//展平(*Jean-François Alcover公司2019年6月4日*）

黄体脂酮素

（鼠尾草）

R=多项式环（ZZ，'x'）

@缓存函数

定义p（n，x）：

如果n==0：返回1

对于范围（n）[：：2]中的k，返回加法（p（k，0）*二项式（n，k）*（x^（n-k）-（n+1）%2）

定义A081658号_行（n）：返回[R（p（n，x））.reverse（）[i]用于（0..n）中的i]

对于（0..8）中的n：打印(A081658号_行（n））#彼得·卢什尼2012年7月20日

（Python）

从functools导入缓存

@高速缓存

定义T（n:int，k:int）->int：

如果k==0：返回1

如果k%2==1：返回0

如果k==n：返回-总和（范围（0，n-1，2）中j的T（n，j））

返回（T（n-1，k）*n）//（n-k）

对于范围（10）中的n：

打印（[T（n，k）表示范围（n+1）中的k）]#彼得·卢什尼，2023年6月5日

交叉参考

行反转：A119879号.

囊性纤维变性。A000364号,A046739号,A155585型,A363393型.

上下文中的顺序：A359364飞机 A073278号 A359760型*A187253号 A022904号 A238341型

相邻序列：A081655号 A081656号 A081657号*A081659号 A081660号 A081661号

关键词

容易的,签名,表

作者

保罗·巴里2003年3月26日

扩展

更正数据中的打字错误彼得·卢什尼2012年7月20日

数据中的错误已更正，新名称由彼得·卢什尼2024年4月3日

状态

经核准的