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| A059576号 |
| 行读取的求和帕斯卡三角形T（n，k）（0<=k<=n）。顶部条目为1。每个条目都是其上方平行四边形的总和。 |
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11
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1, 1, 1, 2, 3, 2, 4, 8, 8, 4, 8, 20, 26, 20, 8, 16, 48, 76, 76, 48, 16, 32, 112, 208, 252, 208, 112, 32, 64, 256, 544, 768, 768, 544, 256, 64, 128, 576, 1376, 2208, 2568, 2208, 1376, 576, 128, 256, 1280, 3392, 6080, 8016, 8016, 6080, 3392, 1280, 256
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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我们还可以将条目重新标记为U（0,0）、U（1,0）、U（0,1）、U。。。[也就是说，T（n，k）=U（n-k，k）对于0<=k<=n，U（m，s）=T（m+s，s）对于m，s>=0。]
我们解释了T（n，k）的平行四边形定义。
T（0,0）*
|\
| \
|*T（k，k）
T（n-k，0）*|
\|
\|
*T（n，k）
该定义意味着T（n，k）是所有T（i，j）的和，使得（i，j）在集合上具有整数坐标
{（i，j）：a（1,0）+b（1,1），0≤a≤n-k，0≤b≤k}-{（n，k）}。
平行四边形有时会退化；例如，当k=0或n=k时（结束）
T（n，k）是第一行的条目之和等于k（0<=k<=n）的n的2-分量的数目。n的2-合成是一个具有两行的非负矩阵，因此每列至少有一个非零项，其项之和为n-Emeric Deutsch公司2010年10月12日
Robeva和Sun（2020）让A（m，n）=U（m-1，n-1）是一个2行网格的细分数量，该网格顶部有m个点，底部有n个点（并且左下角点是原点）。
作者证明了对于m，n>=2（m，n）），A（m，n）=2*（A（m、n-1）+A（m-1、n）-A（m-1，n-1）），这等价于下面公式部分中给出的U（n，k）的类似递推。（他们没有明确指定A（1,1）=U（0,0）的值，因为他们不关心只有一侧的退化多边形的细分数目。）
他们还证明了，对于（m，n）<>（1,1），A（m，n）=（2^（m-2）/（n-1）！）*Q_n（米）=
=（2^（m-2）/（n-1）！）*总和_｛k=1..n｝A336244飞机（n，k）*m^（n-k），其中Q_n（m）是n次-1的m多项式。（结束）
根据Petros Hadjicostas的方阵表示法，2020年7月16日，U（i，j）是从（0,0）到（i，j）的晶格路径数，其阶梯向北或向东移动或具有正斜率。例如，用连续格点而不是步长表示路径，U（1,2）=8计数{（0,0），（1,2 1,2）}，{（0,0），（1,0）。如果排除了北（垂直）台阶，则生成的路径按A049600型. -大卫·卡伦2021年11月25日
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参考文献
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Fang，E.，Jenkins，J.，Lee，Z.，Li，D.，Lu，E.，Miller，S.J.，…&Siktar，J.（2019年）。二维格上复合路径的中心极限定理。arXiv预印arXiv:1906.10645。也可以是Fib。Q.，58:1（2020），208-225。
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链接
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G.Castiglione、A.Frosini、E.Munarini、A.Restivo和S.Rinaldi，L-凸多面体的组合方面《欧洲组合数学杂志》，28（6）（2007），1724-1741；见图5，第1729页。
Elina Robeva和Melinda Sun，平面中点配置的双单调细分，arXiv:2007.00877[math.CO]，2020年。
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配方奶粉
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通用公式：U（z，w）=和{n>=0，k>=0}U（n，k）*z^n*w^k=和{n>=0、k>=0}T（n，k）*z_（n-k）*w^k=（1-z）*（1-w）/（1-2*w-2*z+2*z*w）。
Maple代码给出了U（n，k）的另一个显式公式。
来自Jon Stadler（jstadler（AT）capital.edu），2003年4月30日：（Start）
U（n，k）是将向量（n，k）作为向量的有序和写入的方式数，相当于从（0,0）到（n，c）的路径数，其中可以从（i，j）到（p，q）执行步骤，前提是（p，q）在（i，j）右侧或上方。
2*U（n，k）=Sum_{i<=n，j<=k}U（i，j）。
U（n，k）=2*U（n-1，k）+和{i<k}U（n、i）。
U（n，k）=和{j=0..n+k}C（n，j-k+1）*C（k，j-n+1）*2^j。（结束）
T（n，k）=2*（T（n-1，k-1）+T（n-1，k））-（2-0^（n-2））*T（n-2，k-1；当n>0时，T（n，0）=T（n、n）=2*T（n-1，0）；T（0，0）=1-莱因哈德·祖姆凯勒2004年12月3日
T（n，k）=（n，k）的和{j=0..min（k，n-k）}（-1）^j*2^（n-j-1）*二项式（k，j）*二项式（n-j，k）！=(0,0).
G.f.：G（t，z）=（1-z）*（1-t*z）/（1-2*z-2*t*z+2*t*z ^2）。（结束）
U（n，k）=Sum_{0<=i+j<=n+k-1}（-1）^j*C（i+j+1，j）*C（n+i，n）*C（k+i，k）-Masato Maruoka先生2019年12月10日
T（n，k）=2^（n-1）*二项式（n，k）*超几何（[-k，k-n]，[-n]，1/2）=A059474号当n>=1时，（n，k）/2-彼得·卢什尼，2021年11月26日
T（n，n-k）=T（n、k）。
总和{k=0..层（n/2）}T（n，k）=A181306号（n） ●●●●。（结束）
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例子
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三角形T（n，k）（行n>=0，列k=0..n）开始
[0] 1;
[1] 1, 1;
[2] 2、3、2；
[3] 4, 8, 8, 4;
[4] 8, 20, 26, 20, 8;
[5] 16, 48, 76, 76, 48, 16;
[6] 32, 112, 208, 252, 208, 112, 32;
。。。
T（5,2）=76是以T（0,0）、T（5-2,0）=T（3,0），T（2,2）和T（5,1）为边界的平行四边形中其上方元素的总和。当然，我们将T（5,2）排除在总和之外。因此
T（5,2）=Sum_{a=0..5-2，b=0..2，（a，b）<>（5-2,2）}T（a（1,0）+b（1,1））=
方形数组U（n，k）（行n>=0，列k>=0）开始
1, 1, 2, 4, 8, ...
1, 3, 8, 20, 48, ...
2, 8, 26, 76, 208, ...
4, 20, 76, 252, 768, ...
8, 48, 208, 768, 2568, ...
16, 112, 544, 2208, 8016, ...
。。。
考虑以下两行网格，顶部n=3点，底部k=2点：
A、B、C
*--*--*
| /
| /
*--*
德国
上述两行网格的A（3,2）=U（3-1，2-1）=8个细分的划分内线集如下：{}，{DC}，}DB}，｛EB}，｝EA}，］{DB，DC}、{DB，EB}和{EA，EB}。参见Robeva和Sun（2020年）。
这些是n=3的2个组成部分，第一行条目的总和等于k=1：
[1；2]、[0.1；2,0]、[0,1；1,1]、[1,0；0,2]、[1,0,1；1,1]、[0,0,1；1,1,0]、[0,1,0；1,0,1]和[1,0,0；0.1,1]。我们有T（3,2）=8个这样的矩阵。请参见Emeric Deutsch公司的贡献。另见Castiglione等人（2007年）的第2节。（结束）
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MAPLE公司
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A059576号：=proc（n，k）局部b，t1；t1:=最小值（n+k-2，n，k）；加（（-1）^b*2^（n+k-b-2）*（n+k-b-2）！*（1/（b！*（n-b）！*）（k-b！））*（-2*n-2*k+2*k^2+b^2-3*k*b+2*n^2+5*n*k-3*n*b），b=0..t1）；结束；
T：=proc（n，k），如果k<=n，则加上（-1）^j*2^（n-j-1）*二项式（k，j）*二项式（n-j，k）j=0。。min（k，n-k））fi结束过程：1；对于n到10，做序列（T（n，k），k=0。。n） 结束do；#以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2010年10月12日
T:=（n，k）->`if`（n=0，1，2^（n-1）*二项式（n，k）*超几何（[-k，k-n]，[-n]，1/2））：seq（seq（简化（T（n，k）），k=0..n），n=0..10）#彼得·卢什尼2021年11月26日
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a059576 n k=a059576_tabl！！不！！k
a059576_row n=a059576 _ tabl！！n个
a059576_tabl=[1]：映射fst（迭代f（[1,1]，[2,3,2]）），其中
f（us，vs）=（vs，map（*2）ws），其中
ws=zipWith（-）（zipWise（+）（[0]+vs）（vs++[0]））
（[0]++us++[0]）
（马格玛）
否则返回2*T（n-1，k-1）+2*T（n-1，k）-（2-0^（n-2））*T；
结束条件：；返回T；
端函数；
[T（n，k）：[0..n]中的k，[0..12]]中的n//G.C.格雷贝尔2022年9月2日
（SageMath）
if（k==0或k==n）：如果（n==0）其他2^（n-1），则返回1#A011782号
否则：返回2*T（n-1，k-1）+2*T（n-1，k）-（2-0^（n-2））*T
压扁（[[T（n，k）代表k in（0..n）]代表n in（0..12）]）#G.C.格雷贝尔2022年9月2日
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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