定点生成的曲线上圆周属于一个小的圆圈属于半径 在一个大的圆圈属于半径 .因此,内摆线是下旋肌具有.
要导出内摆线方程,请调用角通过它一点就小了圆圈围绕其旋转中心,和角从大的中心圆圈到小的圆圈 .然后
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(1)
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所以
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(2)
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呼叫.如果,则第一个点位于最小半径处内摆线的笛卡尔参数方程为
如果相反,第一点是最大半径(在圆圈),然后是内摆线是
这个曲率,弧长、和切向角给出了内摆线的通过
安-尖头内摆线。对于整数和,内摆线方程因此变成
和弧长因此,面积为
二尖内摆线是线段(斯坦豪斯1999年,第145页;卡纳斯2003年),可以通过设置在方程(◇)和(◇)中,并注意到方程式简化为
这一结果被波斯天文学家和数学家Nasir Al-Din Al-Tusi(1201-1274)注意到,有时被称为“土司夫妇"是他的荣誉(Sotiroudis and Paschos 1999,p.60;Kanas 2003)。
下表总结了此内摆线和其他内摆线的名称,其特殊整数值为.
如果是合理的,然后曲线最终关闭自身并具有尖角。一些次环类理性的值属于如上图所示。
如果是不合理的,那么曲线就不会自动闭合。一些次环类不合理的的值如上图所示。
-也可以构造尖头内摆线从直径的圆圈,通过一系列步骤偏移一端,同时偏移另一端以台阶结束相反方向的倍大,并延伸到圆圈。在游览完圆圈一次,一次-尖头的如上图所示,产生了内摆线(Madachy,1979年)。
让是距固定点的径向距离。对于扭转半径 和弧长 ,一个内摆线可以由以下方程给出
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(18)
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(Kreyszig,1991年,第63-64页)。内摆线也满足
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(19)
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哪里
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(20)
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和是角在半径向量和切线曲线。
内摆线方程可以用一种形式表示,这种形式在求解变分法的问题径向对称。考虑一下这个案例,然后
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(21)
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但是,所以,它提供
现在让我们
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(28)
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所以
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(29)
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(30)
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然后
这个极角是
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(33)
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但是
所以
计算
然后给出
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(45)
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最后,重新插拔可以
此形式在解决带隧道的球体问题,这是臂色酮问题,以找到穿过球(重力根据高斯定律变化)在重力场中曲面上两点之间的移动时间球在重力作用下被最小化。
另请参见
星形线,摆线,三角肌,外摆线,下摆线演化,下摆线渐开线,下摆线踏板曲线,图斯双圆
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Bogomolny,A.“旋风”http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/摆线网.shtml.Borwein,J.和Bailey,D。数学实验:21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利:AK Peters,第83页,2003年。Kanas,N.“从托勒密到文艺复兴:古典天文学如何在黑暗时代幸存下来。"天空与望远镜 105,2003年1月50-58日。Kreyszig,E。有差别的几何学。纽约:多佛,1991年。J.D.劳伦斯。一特殊平面曲线目录。纽约:多佛,第171-173页,1972年。勒迈尔,J。下旋回和外旋回。巴黎:阿尔伯特·布兰查德,1967年。MacTutor公司数学档案史。“下摆线。”http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Hypocyclid.html.马达西,J.S.公司。马达西的数学娱乐。纽约:多佛,第225-2311979页。Sotiroudis,P.和Paschos,E.A。这个恒星图式:公元1300年拜占庭天文学。新加坡:世界《科学》,1999年。H.斯坦豪斯。数学快照,第三版。纽约:多佛,1999年。货车,S。数学软件正在运行。纽约:W.H。弗里曼,第50-521991页。耶茨,钢筋混凝土。“外摆线和次摆线。”一曲线及其特性手册。密歇根州安娜堡:J.W。爱德华兹,第81-851952页。
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“下摆线。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Hypocillary.html
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