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双曲线切线

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通过与通常的类比切线

tanz=（sinz）/（cosz），
(1)

双曲正切定义为

坦赫兹=（sinhz）/（coshz）
(2)
=（e^z-e^（-z））/（e^z+e^（-z））
(3)
=（e^（2z）-1）/（e ^（2 z）+1），
(4)

哪里辛赫是双曲正弦和科斯赫是双曲余弦.符号太赫兹有时也会用到（Gradshteyn和Ryzhik 2000，第xxix页）。

坦赫兹在中实现Wolfram语言作为坦恩（Tanh）[z（z）].

特殊值包括

日光浴0=0
(5)
坦（英菲）=1/5平方米（5），
(6)

哪里φ是黄金比率.

这个导数属于坦赫兹是

d/（dz）tanhz=秒^2z，
(7)

高阶导数由下式给出

（d^n）/（dz^n）tanhz=（2^（n+1）e^（2z））/（1+e^；k> （-1）^ke^（2kz），
（8）

哪里<n；k>是一个欧拉数.

这个不定积分由提供

inttanhzdz=ln（coshz）+C。
(9)

坦赫兹有泰勒级数

坦赫兹=求和（n=0）^（infty）（2^（2n）z^（2n-1）
(10)
=z-1/3z^3+2/（15）z^5-（17）/（315）z^7+（62）/（2835）z^9-。。。
(11)

（组织环境信息系统A002430型和A036279号).

正如高斯在1812年所示，双曲正切可以用继续的分数作为

tanhx=x/（1+（x^2）/（3+（x^3）/（5+…））
(12)

（Wall 1948，第349页；Olds 1963，第138页）。这个连续部分也被称为兰伯特连分数（1948年《华尔街日报》，第349页）。

双曲正切棕褐色满足二阶的常微分方程

1/2f^（''）=f^3-f
(13)

以及边界条件f（0）=0和f^'（infty）=0.

另请参阅

伯努利数,接触网,相关系数——二元正态分布,费希尔秒 z（z）-'-转换,双曲线余切,双曲线功能,反双曲正切,洛伦兹集团,墨卡托投影,扁球坐标,伪球体,表面革命,切线,拖拉机

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工具书类

Abramowitz，M.和Stegun，I.A。（编辑）。《双曲函数》§4.5手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第83-86页，1972年。I.S.格雷斯泰恩。和Ryzhik，国际货币基金组织。桌子积分、级数和乘积，第6版。加州圣地亚哥：学术出版社，2000Jeffrey，A.《双曲恒等式》第2.5节手册数学公式和积分，第2版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第117-122页，2000年。C.D.奥尔兹。续分数。纽约：兰登书屋，1963年。新泽西州斯隆。答：。序列A002430型/M2100和A036279号在“整数序列在线百科全书”中扳手，J.和奥尔德姆，K.B。“双曲线切线鞣质（x）和余切床（x）功能。“Ch.30英寸安功能地图集。华盛顿特区：《半球》，第279-284页，1987年。墙壁，H.S.公司。分析连分式理论。纽约：切尔西，1948年。兹威林格，D.（编辑）。《双曲函数》§6.7CRC公司标准数学表和公式。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第476-481页1995

参考Wolfram | Alpha

双曲线切线

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“双曲正切。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/HyperbolicTangent.html

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