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不定积分

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安完整的表单的

积分f（z）dz，
(1)

也就是说，没有上限和下限，也称为反导数。这个微积分第一基本定理允许一定的积分用不定积分计算。特别是定理指出，如果F类是a的不定积分复杂的功能 f（z）,然后

int_a^bf（z）dz=F（b）-F（a）。
(2)

这个结果，虽然在初等微积分课程的早期教授，实际上是一个非常深的连接纯代数不定项的结果积分与纯解析（或几何）一定的完整的。不定积分在沃尔夫拉姆语言作为整合[（f）,z（z）]。

自从导数常数为零时，任何常数都可以加到反导数中，并且仍然对应于相同的积分。另一种说法是，反导数是衍生产品。由于这个原因，不定积分通常以以下形式书写

intf（z）dz=F（z）+C，
（3）

哪里C类是一个任意常数，称为常数一体化. TheWolfram语言返回不带显式积分常数的不定积分。这意味着这取决于整合子和反导数的形式F_1级和f2次可以获得不同于常数（或者，更一般地说分段常数功能). 这也意味着整合[（f）+克,z（z）]可能与不同整合[（f）,z（z）] +整合[克,z（z）]通过任意（分段）常数。

注意，代数定义的不定积分处理复数。然而，许多初等微积分教科书都写下了如下公式

int（dx）/x=ln|x|
(4)

（其中注释x个用于表示x个假设为实数），而不是复杂变量版本

int（dz）/z=lnz，
(5)

哪里z（z）通常是复数（但也适用于实数z（z）). 定义一类“实”不定积分也许这样做是为了让学生能够应用第一微积分基本定理使用黎曼完整的在完全避免使用复合词的同时获得正确答案分析、多值函数等（尽管应注意第一微积分基本定理仅当被积函数在上连续时适用积分间隔，因此必须作出附加规定int_a^bdx/x=[ln|x|]_b^a可以应用仅当间隔[甲，乙]不包含0。）

然而，这项工作（以及Wolfram语言)避免使用“真实的”定义，因为包含了绝对的价值表示不定积分对泛型复数不再有效变量z（z）（出席|z（z）|是指柯西-黎曼方程不再适用），也违反了纯粹的代数定义不定积分。因为物理问题涉及定积分，所以它是更明智的做法是坚持不定的常见复数/代数定义集成。换句话说，虽然黎曼积分

int_（-2）^（-1）（dx）/x=[ln|x|]（-2）（-1）=0-ln2=-ln2
(6)

给出了正确的答案（并避免了沿途出现复数），复数积分也是如此

int（-2）^（-1）（dz）/z=[lnz]（-2）*（-1）=（ipi）-（ipi+ln2）=-ln2，
(7)

而后一种形式保留了一般性的优点，同时为学生准备了极其强大的复杂分析工具，他们应该知道，而且很可能很快就会学到。

Liouville证明了积分

整数^（-x^2）dx，整数（e^（-x））/xdx，int（sinx）/xxx，int（cosx）/xdx，int（dx）/（lnx）
(8)

不能用有限数量的初级的函数.这些产生了功能

erf（x）=2/（平方英尺（π））整数^（-x^2）dx
(9)
Ei（x）=int（e^x）/xdx
(10)
硅（x）=int（正弦）/xdx
(11)
Ci（x）=int（cosx）/xdx
(12)
li（x）=整数（dx）/（lnx）
(13)

（哈维尔2003年，第105页），被称为电流变液，的指数积分,正弦积分,余弦完整的、和对数积分分别是。形式的任何函数的积分R（x）e^x，其中R（x）是一个有理函数,化简为初等积分和函数Ei（x）（哈维尔2003年，第106页）。

其他不可还原项包括

intx^xdx、intx^（-x）dx、intsqrt（sinx）dx、intsqrt，整数（lnx）dx，整数（e^x）dx，整数lnxdx，
(14)

（参见Marchisotto和Zakeri 1994），其中最后几个可以用封闭形式写成

整数平方（sinx）dx=-2E（1/4（pi-2x），平方米（2））
(15)
整数平方码（cosx）dx=2E（1/2平方米（2））
(16)
整数（lnx）dx=-1/2sqrt（pi）erfi（sqrt（lnx））+xsqrt（lnx）
(17)
国际（e^x）dx=Ei（e^x）
(18)
国际ln（lnx）dx=xlnlnx-li（x），
（19）

哪里E（x，k）是一个第二类椭圆积分友善的,erfi（x）是电子荧光显微镜功能，以及Ei（x）是指数的完整的.

切比雪夫证明，如果U型,V（V）、和W公司是有理数，然后

intx^U（A+Bx^V）^Wdx
(20)

是可积的基本函数 若（iff） （U+1）/V,W公司，或W+（U+1）/V是一个整数（里特1948年，Shanks 1993）。

对于符号数学软件来说，一般输入的积分是一个棘手的问题。事实上，许多简单的不定积分，例如

整数[d/（dz）Li_2（zlnz）]dz=-整数[（（lnz+1）ln（1-zlnz））/（zlnz整数[d/（dz）（1/2sqrt（pi）erf（az）erv（bz））]dz=int[be^（-b^2z^2）erf（az）+ae^（-a^2z|2）erv（bz）]dz，
(21)

哪里Li_2（z）是双对数，不能由非常复杂的人完成软件系统，甚至包括沃尔夫拉姆语言.

下面总结了幂函数的不定积分选择

整数^rdz=（z ^（r+1））/（r+1）+C
(22)
整数（dz）/z=液化天然气+C
(23)
inta ^zdz公司=（a ^z）/（lna）+C，
(24)

三角函数

intsinzdz公司=-cosz+C
(25)
intcoszdz公司=正弦+C
(26)
inttanzdz公司=ln（秒）+C
(27)
国际csczdz=ln（cscz-cotz）+C
(28)
=ln[棕褐色（1/2z）]+C
（29）
=1/2英寸（（1-坐标系）/（1+坐标系））+C
(30)
intseczdz公司=ln（秒+秒）+C
(31)
=ln[（cos（1/2z）+sin（1/2z））/（cos
(32)
=gd^（-1）（z）+C
(33)
intcotzdz公司=ln（sinz）+C，
(34)

的组合三角函数

整数^2zdz=1/2z-1/4sin（2z）+C
(35)
国际贸易术语^2zdz=1/2z+1/4sin（2z）+C
(36)
国际^2zdz=tanz-z+C
(37)
整数秒^2zdz=坦兹+C
(38)
国际集装箱运输公司^2zdz=-cotz+C
(39)
intcot ^2zdz公司=-cotz-z+C
(40)
intsecztanzdz公司=秒+C，
(41)

反三角函数

intcos^（-1）zdz=zcos^（-1）z-sqrt（1-z^2）+C
(42)
整数^（-1）zdz=zsin^（-1）z+sqrt（1-z^2）+C
(43)
整数^（-1）zdz=ztan^（-1）z-1/2ln（1+z^2）+C，
(44)

二阶的有理函数和平方根

int（dz）/（平方码（a^2-z^2））=sin^（-1）（z/a）+C
(45)
int（dz）/（平方码（a^2-z^2））=-cos^（-1）（z/a）+C
(46)
整数（dz）/（a^2+z^2）=1/atan ^（-1）（z/a）+C
（47）
整数（dz）/（a^2+z^2）=-1/acot^（-1）（z/a）+C
(48)
int（dz）/（zsqrt（z^2-a^2））=1/基准^（-1）（z/a）+C
(49)
int（dz）/（zsqrt（z^2-a^2））=-1/acsc^（-1）（z/a）+C，
(50)

雅可比椭圆函数

整数（u，k）du=k^（-1）ln[dn（u，k）-kcn（u、k）]+C
(51)
整数（u，k）du=k（-1）sin（-1）[ksn（u，k）]+C
(52)
intdn（u，k）du=sin^（-1）sn（u，k）+C
(53)
=上午（u，k）+C，
(54)

雅可比椭圆函数的平方

intsn^2（u，k）du=（u-E（u，k））/（k^2）+C。
(55)

在这里，辛兹是正弦;科斯兹是余弦;坦兹是切线;cscz公司是余割;秒是割线;科茨是余切;cos^（-1）z是反余弦;正弦^（-1）z是反正弦;棕褐色^（-1）是逆切线;snu公司,中国核工业大学,和脱氧核糖核酸是雅可比椭圆函数;上午（u，k）是雅可比振幅;E（u）是一个完全椭圆积分第二种; 和gd（z）是古德曼语.一假设是真实和积极的，并且k是模量。

派生(◇), 让u=坐标系，所以du=-sinzdz和

inttanzdz公司=int（sinz）/（cosz）dz
(56)
=-int（du）/u
(57)
=-lnu+C
(58)
=-ln（cosz）+C
(59)
=ln（cosz）^（-1）+C
(60)
=ln（秒）+C。
(61)

导出(◇), 让u=cscz-cotz，所以du=（csc^2z-csczcotz）dz和

国际csczdz=intcscz（cscz-cotz）/（cscx-cotz）dz
(62)
=int（csc^2z-cotzcscz）/（cscz-cotz）dz
(63)
=int（du）/u
(64)
=lnu+C
(65)
=ln（cscz-cotz）+C。
（66）

导出(◇), 让

u=秒+tanz，
(67)

所以

du=（secztanz+sec^2z）dz
(68)

和

intseczdz公司=intsecz（秒+坦兹）/（秒+坦兹）dz
(69)
=int（秒^2z+secztanz）/（秒+tanz）dz
(70)
=int（du）/u=lnu+C
(71)
=ln（秒+坦兹）+C。
(72)

导出(◇), 让u=正弦，所以du=coszdz和

intcotzdz公司=int（cosz）/（sinz）dz
(73)
=int（du）/u
（74）
=lnu+C
(75)
=ln（sinz）+C。
(76)

另请参见

微积分,积分常数,等高线积分,明确完整的,基本定理微积分,完整的,黎曼完整的 探索数学世界课堂上的这个主题

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Boros，G.和Moll，V。不可抗拒的积分：积分评价中的符号学、分析和实验。英国剑桥：剑桥大学出版社，2004年。哈维尔，J。伽马射线：探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，2003年。马尔基索托，欧洲航空公司。和Zakeri，G.-A.“有限条件下的整合邀请”大学数学。J。 25, 295-308, 1994.J.F.里特。集成有限术语：刘维尔的初等方法理论。纽约：哥伦比亚大学出版社，1948年。Shanks，D。解决了的《数论中未解决的问题》，第四版。纽约：切尔西，1993年。

引用的关于Wolfram | Alpha

不定积分

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“不定积分。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/IndefiniteIntegral.html

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