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二阶常微分方程

安常微分方程表单的

y^（''）+P（x）y^'+Q（x）y=0。
（1）

这样的方程对于有限x=x_0在下列条件下：（a）如果P（x）或Q（x）发散为x->x_0，但是（x-x_0）P（x）和（x-x_0）^2Q（x）保持有限为x->x_0，然后x_0个称为正则或非必要的奇点。（b）如果P（x）发散速度比（x-x0）^（-1）以便（x-x_0）P（x）->输入作为x->x_0，或Q（x）发散速度比（x-x0）^（-2）以便（x-x_0）^2Q（x）->输入作为x->x_0，然后x_0个被称为不规则或本质奇点。

方程的奇异性(1)通过代换研究无穷大x=z^（-1），所以dx=-z^（-2）dz，给予

（dy）/（dx）=-z^2（dy）／（dz）
(2)
（d^2y）/（dx^2）=-z^2d/（dz）（-z^2（dy）/（dx））
(3)
=-z^2（-2z（dy）/（dz）-z^2
(4)
=2z^3（dy）/（dz）+z^4（d^2y）/（tz^2）。
(5)

然后(三)成为

z^4（d^2y）/（dz^2）+[2z^3-z^2P（z^（-1））]（dy）/（dz）+Q（z^1））y=0。
(6)

案例（a）：如果

α（z）=（2z-P（z^（-1）））/（z^2）
(7)
β（z）=（Q（z^（-1））/（z^4）
(8)

在以下条件下保持有限x=+/-数量(z=0)，那么这一点很普通。案例（b）：如果α（z）分歧不比1/z（1/z）或β（z）分歧不比1/z^2，则该点是正则奇异点。案例（c）：否则，该点是一个不规则奇点。

Morse和Feshbach（1953年，第667-674页）给出了按奇点类型分类的二阶常微分方程的标准形式和解。

对于特殊类的线性二阶常微分方程，变量系数可以转换为常量系数.给出一个二阶线性常微分方程系数

（d^2年）/（dx^2）+p（x）（dy）/（d x）+q（x）y=0。
(9)

定义函数z=y（x）,

（dy）/（dx）=（dz）/
(10)
（d^2y）/（dx^2）=
(11)
（dz）/（dx））^2（d^2y）/
(12)
（d^2年）/（dz^2）+[（d^2z）/（dx^2）+p（x）（dz）/
（13）
=（d^2y）/（dz^2）+A（dy）/（tz）+By=0。
(14)

这将具有常量系数如果A类和B类不是的函数x个.但我们可以自由设置B类变得武断积极的常数对于q（x）>=0通过定义z（z）作为

z=B^（-1/2）整数[q（x）]^（1/2）dx。
(15)

然后

（dz）/（dx）=B^（-1/2）[q（x）]^（1/2）
(16)
（d^2z）/（dx^2）=1/2B^（-1/2）[q（x）]^（-1-2）q^'（x），
(17)

和

A类=（1/2B^（-1/2）[q（x）]^（-1-2）q^'（x）+B^
(18)
=（q^'（x）+2p（x）q（x））/（2[q（x）]^（3/2））B^（1/2）。
(19)

方程式(◇) 因此变成

（d^2y）/（dz^2）+（q^'（x）+2p（x）q（x））/（2[q（x，
(20)

它有常数系数前提是

A=（q^'（x）+2p（x）q（x））/（2[q（x）]^（3/2））B^（1/2）=[常数]。
(21)

消除常数，这会得到

A^'=（q^'（x）+2p（x）q（x））/（[q（x）]^（3/2））=[常数]。
(22)

对于一个常微分方程，其中A ^’是一个常数，通过求解二阶带常数的线性常微分方程系数

（d^2y）/（dz^2）+A（dy）/（tz）+By=0
(23)

对于z（z），其中z（z）定义如上。

一般形式的二阶线性齐次微分方程

y^（''）+P（x）y^'+Q（x）y=0
(24)

可以转换为标准形式

z^（''）+q（x）z=0
(25)

用代换法消除了一阶项

lny=lnz-1/2intP（x）dx。
(26)

然后

（y^'）/y=（z^'）/z-1/2P（x）
(27)
（yy^（''）-y^[（'2））]/（y^2）=（zz^（'''）-z^（'2））/（z^2）-1/2P^'（x）
(28)
（y^（''））/y-（y^'）/y）^2=（z^（''））/z-（z^1（'2））/（z^2）-1/2P^'（x）
(29)
（y^（''））/y=[（z^'）/z-1/2P（x）]^2+（z^（''））/z-（z^1（'2））/（z^2）-1/2P^'（x）
（30）
=（z^（'2））/（z^2）-（z^'）/zP（x）+1/4P^2，
(31)

所以

（y^（''））/y+P（x）（y^'）/y+Q（x）=-（z^'）/zP（x）+1/4P^2（x）+（z^（'））/z-1/2P^'（x）+P（x
(32)
=（z^（“”）/z-1/2P^（x）-1/4P^2（x）+Q（x）=0。
(33)

因此，

z^（''）+[Q（x）-1/2P^'（x）-1-4P^2（x）]z=z^[''）（x）+Q（x）z=0，
（34）

哪里

q（x）=q（x）-1/2P^'（x）-1-4P^2（x）。
(35)

如果Q（x）=0，则微分方程变为

y^（''）+P（x）y^′=0，
(36)

可以通过乘以

exp[整数^xP（x^'）dx^']
(37)

以获得

0=d/（dx）{exp[int^xP（x^'）dx^']（dy）/（dx）}
(38)
c_1=exp[int^xP（x^'）dx^']（dy）/（dx）
(39)
y=c_1int^x（dx）/（exp[int^xP（x^'）dx^']）+c_2。
（40）

对于一个非齐次二阶常微分方程，其中x个函数中没有出现术语f（x，y，y^'）,

（d^2y）/（dx^2）=f（y，y^'），
(41)

让v=y^'，然后

（dv）/（dx）=f（v，y）=。
(42)

所以一阶常微分方程

v（dv）/（dy）=f（y，v），
(43)

如果是线性的，可以求解v（v）作为线性一阶常微分方程。一旦知道解决方案，

（dy）/（dx）=v（y）
(44)
int（dy）/（v（y））=整数倍。
(45)

另一方面，如果年中缺少f（x，y，y^'）,

（d^2y）/（dx^2）=f（x，y^'），
(46)

让v=y^'，然后v^'=y^（''），方程式简化为

v^'=f（x，v），
(47)

如果是线性的，可以求解v（v）作为线性一阶常微分方程。一旦知道解决方案，

y=积分v（x）dx。
(48)

如果齐次版本的通解已知，则可以求解非齐次常微分方程，在这种情况下变异第个参数，共个参数可以用来找到特定的解决方案。特别是特殊解决方案y^*（x）一个非齐次二阶常微分方程式

y^（''）+p（x）y^'+q（x）y=g（x）
(49)

可以使用找到参数的变化由方程式给出

y^*（x）=-y_1（x）int（y_2（x）g（x））/（W（x），
(50)

哪里y_1（x）和y2（x）是非受迫方程的齐次解

y^（''）+p（x）y^'+q（x）y=0
(51)

和宽（x）是Wronskian公司这些中的两个功能。

另请参见

阿贝尔微分方程恒等式,伴随词,第一订单常微分方程,普通微分方程,二阶常微分方程第二解,未确定系数法,参数的变化 探索数学世界课堂上的这个主题

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Arfken，G.《第二种解决方案》第8.6节数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第467-480页，1985博伊斯，W.E。和DiPrima，R.C。初级微分方程和边值问题，第4版。纽约：威利，1986莫尔斯，P.M。和Feshbach，H。方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第667-674页，1953

参考Wolfram | Alpha

第二订单常微分方程

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《二阶常微分方程》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Second-OrderOrdinaryDifferentialEquation.html

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