整数序列杂志,第3卷(2000年),第00.1.5条

由寡形置换群实现的序列

彼得·卡梅隆
数学科学学院
伦敦大学玛利皇后学院
伦敦E1 4NS
英国。
电子邮件地址:p.j.cameron@qmw.ac.uk

摘要:本文的目的是尽可能确定中的序列整数序列百科全书计算轨道数作用于无限置换群的n个-集合或n个-置换域元素的元组。报纸还介绍了此类序列的属性以及它们与组合枚举问题的关系。

目录

  1. 介绍
  2. 寡形置换群
  3. 周期指数
  4. 旧组中的新组
  5. 组和枚举
  6. 逆欧拉变换
  7. 示例
  8. 致谢
  9. 工具书类
  10. 表格(在单独的文件中)

1.简介

无限集上的置换群是寡形的如果有序轨道数n个-元组对于所有正整数n个这里是一个排列设置X(X)在片场表演X(X)n个所有的n个-元组的元素X(X)按规定
(x个1, ...,x个n个)=(x个1, ...,x个n个).
许多重要的序列整数可以实现为对上的寡形群n个-元组或n个-套。这个本文的目的是记录作者已知的所有示例发生在整数序列百科全书.自今以来示例列表不太可能为了完成,计划不时更新时间。请将建议添加的内容通过电子邮件发送到上述地址给作者。

本文还包括一些一般的寡形理论置换群及其与组合计数的关系。更多详细信息请参阅参考资料[3][5].

这里有许多熟悉的序列(斐波那契数列,分区、图、树、二项式系数、幂等)。它是作者的论点是,序列作为U序列或L序列的出现对寡形群的研究给了它额外的兴趣。此外,如果一个组的U序列很有趣,那么L序列,以及反之亦然-所以表中的空格是值得调查!

这些表还提供了数据,可以根据这些数据推测寡形置换群的U序列和L序列的行为。

请注意,此处报告的示例和结构密切相关物种(参见[1]); 然而,物种更普遍,以及寡形群U序列的一些已知限制(请参见第2.4节)不适用于计数序列对于物种。适当时将给出交叉参考。

2.寡形置换群

寡形置换群的概念定义于导言。根据定义,如果G公司是一个集合上的寡态置换群X(X),然后每个以下数字对于每个正数都是有限的整数n个:按照惯例,我们(f)0(G公司) =F类0(G公司)=F类0*(G公司) = 1. 我们忽略了(G公司)如果所讨论的群体是明确的。

在下面,所有置换群都作用于可数套。这不失一般性:一个基于Downward的论点洛文海姆-斯科勒姆一阶逻辑定理表明,给定任何寡态置换G公司,有一个作用于可数集的寡形群实现了相同的数字(f)n个,F类n个,F类n个*(请参见[3]).

2.1.逻辑连接

这些序列中的第三个与一阶逻辑中可数范畴的概念。T型是一个一致的完整理论一阶语言。

我们这么说T型可数范畴的如果有直到同构的唯一可数模型。

n个-类型结束T型是一个中的公式集n个自由变量x个1, ...,x个n个哪个是最大关于一致性T型. Then个-类型S公司实现在模型中M(M)属于T型如果存在元素1, ...,n个在里面M(M)这样,公式S公司被替换为x个s.(注意,所有模型中元素给定元组上的公式T型是一种类型。)

现在,恩格尔、瑞尔·纳泽夫斯基和斯维诺纽斯的定理断言以下内容。

定理。T型是一个一致的完整理论一阶语言。然后T型是可数的绝对的当且仅当它只有有限多n个-的类型每个正整数n个。如果这些条件成立,以及M(M)是的可数模型T型,然后每种类型S公司实现于M(M),以及元组集实现S公司是的自同构群的轨道M(M).

相反,让M(M)是a上的可数结构一阶语言,并假设自同构M(M)是寡形的(作为上的置换群M(M)). 然后是一阶理论M(M)是可数的绝对的。

鉴于这个定理,我们使用了“可数范畴”这一术语也适用于自同构群为寡形的。

我们看到了,如果M(M)是可数的可数模型范畴理论T型,然后是n个-类型属于T型等于F类n个*(G公司),哪里G公司是的自同构群M(M).

2.2.U序列和L序列

尽管有前面的章节,本文仍将集中于序列((f)n个(G公司))和(F类n个(G公司)),因为将会出现的原因。正整数序列将被称为U序列或一个L序列如果它被实现为轨道计数序列((f)n个(G公司))或(F类n个(G公司))对于某些寡形群G公司.(字母U和L代表“未标记”和“已标记”。原因下面将对此进行解释。)本项目的主要目标是注释整数序列百科全书具有关于其条目是U序列或L序列。忽视的第一个原因(F类n个*)它的值可以由(F类n个按以下公式计算,其中S公司(n、 k个)是斯特林数第二类(n个-设置为k个零件):
F类n个*=总和k个S公司(n、 k个)F类k个.

用伯恩斯坦和斯隆的术语[2],星号序列是斯特林变换未标记:F类*=斯特林(F类).(另请参阅转换在线百科全书。)

我们拭目以待后来斯特林变换L序列也是L序列。所以这个班可实现序列的带星号的序列。

我们还将看到一个相关的观察结果后来是吗,为了许多组G公司,存在一个组G公司*谁的U序列是的L序列G公司.

2.3.两个重要示例

我们以以下两个重要示例结束本节寡形群:

2.4.一些限制

已知U序列和L序列的一些限制。最关心的问题序列的增长速度。我们还远远没有必要和充分条件!

对U序列的研究多于对L序列的研究。以下结果在很大程度上要归功于杜加尔·麦克弗森[8]其他论文,并在已引用的参考文献中进一步讨论。

Macpherson也有一些关于更快增长率的结果,与模型的理论性质,如稳定性和严格顺序性质。

L序列也不减少(尽管这很容易看到);事实上,L序列的连续项只有在以下条件下才是相等的两者都是1。弗朗西丝卡·梅洛拉[10]最近有所加强Macpherson的指数增长结果表明一个原始但不高度同质的群体的增长速度至少与c(c)n个n个!, 对于一些常量c(c)>1.

3.周期指标

3.1.生成函数

我们代表U序列((f)n个)通过其普通生成函数(简称o.g.f.)
(f)(x个) =总和 (f)n个x个n个,
和L序列(F类n个)通过其指数生成函数(简称f.)
F类(x个) =总和 F类n个x个n个/n个!.
如有必要,我们将这些幂级数写成(f)G公司(x个)和F类G公司(x个).

3.2.周期指标

这两个幂级数都是幂级数在无限多变量修正循环指数,我们现在分三个阶段进行定义。

如果是上的排列n个周期指数属于定义为单项式

z(z)() =1c(c)1...n个c(c)n个
以不确定为单位1, ...,n个,哪里c(c)是的数字-循环循环分解.

现在让我们G公司是大小集上的置换群n个.这个周期指数 Z轴(G公司)第页,共页G公司已获得简单地将其元素的循环指数相加并除以组的顺序G公司.

最后,让我们G公司是起作用的寡态置换群关于(通常是无限的)集合X(X). The修正循环指数 Z轴(G公司)如下所示:选择轨道的一组代表G公司关于有限子集属于X(X).对于每个这样的有限集,考虑组中由其集态稳定器诱导的置换G公司,并计算此有限置换的循环指数组。然后添加所有这些周期指数。(这个无限和是允许的,因为任何给定的单项式只产生于固定有限基数n个,而且只有有限的许多轨道代表n个-设置要考虑的原因G公司是寡形的。)按照惯例,我们采用这个术语对应于空集为1。因此Z轴(G公司)是不定项中的形式幂级数1,2, ... .

对于我们的目的来说,重要的是以下事实:

4.旧群体中的新群体

4.1.直接产品

G公司H(H)是集合上的置换群X(X)Y(Y)分别是。这个直接产品 G乘以H对不相交的工会采取行动X接头Y如下:有序对(g、 小时)作用于X(X)作为和上的Y(Y)作为小时。我们有以下几点:
Z轴(G乘以H)=Z轴(G公司)Z轴(H(H)).
此操作对应于物种产品物种(参见[1]).

因此,L序列的指数生成函数G乘以H通过将其乘以G公司H(H); 与之类似的是U序列。序列上的操作包括卷积和多项式相乘对于U序列和EXPCONV公司用于L序列。

特别是,形成直接产品的操作S公司用其替换U序列PSUM公司转换,其项是原始序列的部分和;将L序列替换为二进制转换。

直接产品还有另一个作用。这个产品作用已打开X乘以Y,其中配对(g、 小时)地图(x、 年)至(xg,yh). 计数这种作用下的轨道要困难得多,而且不均匀解决了S乘以S.(n个第个U序列中的项A049311号,具有n个1,没有零行或零列,行和列排列;等价地,具有n个边和没有具有指定二分块的孤立顶点。)

4.2.花圈产品

再次让G公司H(H)是集合上的置换群X(X)Y(Y)分别是。这个花环产品 G、Wr、H定义如下,作为置换群X乘以Y:它包含一个基团 B类,中的函数集Y(Y)G公司,其中函数(f)地图(x、 年)至(x英尺(),);和a顶级群体 T型,与同构的组H(H),其中元素小时地图(x、 年)至(x、 yh公司). 这个花环产品G公司H(H)是(半直接)的产品B类T型.

花环产品的操作对应于物种替代(或分区组成)物种:参见[1].

的L序列G、Wr、H可以从中计算出属于G公司H(H)通过替换:

F类G、Wr、H(x个) =F类H(H)(F类G公司(x个)-1).

然而,没有关于L序列的公式G、Wr、H就以下方面而言G公司H(H)。有这样一个修正循环指数的公式如下:

Z轴(G、Wr、H;1,2, ...) =Z轴(H(H);Z轴1-1,Z轴2-1, ...),
哪里Z轴是从以下位置获得的Z轴(G公司)通过替换ij公司对于j个,对于所有人j个.

由此可知,U序列的示例fG、Wr、H可以从以下位置获得Z轴(H(H))由替换(f)G公司(x个)-1个用于为所有人(其中(f)G公司是U序列的o.g.fG公司).

特别地,我们看到对于每个寡形置换H(H),有一个运算符(也表示为H(H))在序列上,具有映射U序列的属性G公司到的G、Wr、H对于任何寡形群G公司.寡形群的所有U序列的集合在所有这些操作符下关闭。操作员S公司,A类,C类是操作员吗欧盟许可证,使转化、和CIK公司.分别是。请参见[4]了解更多详细信息。

这些产品具有各种形式的身份:例如,

现在我们可以解释为什么这个序列(F类n个*(G公司))是一个L序列-实际上,它是组的L序列S Wr G系列.让S公司G公司在片场上表演X(X)Y(Y)因此S Wr G系列作用于X乘以Y。然后有一个来自的函数n个-不同元素的元组X乘以Y变得武断n个-的元组Y(Y),将每个有序对映射到其第二个元素。显然,这种映射保留了轨道。此外,自从X(X)是无限的,任何n个-的元素元组Y(Y)位于映射的图像中。所以

F类n个*(G公司)=F类n个(S Wr G系列).

事实上,这个例子表明G Wr S公司这个斯特林的转换G公司.替换规则给出了众所周知的公式

F类S Wr G系列(x个) =F类G公司(e)x个-1).

的U和L序列S Wr S系列A000041号(分区)和A000110号(钟号)。

如果S公司k个表示有限对称群k个,然后S公司k个Wr S公司S Wr S系列k个有相同的U序列,因为最大部分大小的分区数k个等于最多包含的分区数k个部分。然而,它们的L序列不同。对于k个=2,它们是A000085号(自反转排列)和A000079号(两人的力量分别右移了一个位置)。另一个有趣的例子是S公司2 Wr A(写入A),其U序列是A000045号(斐波那契数列)。

值得注意的还有另外两种特殊情况。E类表示作用于具有两个元素的集合上的平凡群。然后

花环产品还有另一个作用,即所谓的产品作用关于函数集Y(Y)X(X)。这不是寡形的,除非顶层组是有限的。

4.3.稳定器

置换群的另一个操作包括点的稳定器。G公司在上具有传递性X(X),然后让H(H)表示由以下元素组成的子组G公司固定点x个属于X(X),作用于不同于的点x个然后是修改后的循环指数属于H(H)通过将其微分为G公司关于1.如果G公司不可传递,那么这个导数等于修正循环的和一组轨道代表的指数。

求导数的操作对应于物种衍生物物种(参见[1]).

因此(或者很容易直接证明),如果G公司传递,则获得点稳定器的L序列从的G公司通过将序列向左移动一个位置(删除首字母1)。我是接线员左图.

稳定器的U序列不是由G公司.

总结:L序列的f.s集合在乘法、替换和(如果第一项为1)分化(或左移)。U序列的o.g.f.s集在乘法和序列运算符下是闭合的与任何寡形群(尤其是欧盟许可证使转化操作员)。

4.4.其他结构

这绝不会耗尽可能的结构,尽管其他情况下,不知道如何计算L序列和U序列。

如果G公司是寡形的X(X),然后是置换群由G公司在它的任何轨道上n个-套,n个-元组等n个,是寡形的。对于一个特定的示例,让G公司=S公司,无限对称群在2集上的作用。任何一套,共套n个2集可视为图的边,其顶点集是n个成对(以便图中没有孤立的顶点)。两个n个-设置位于相同的轨道当且仅当图是同构的。So序列A000664号,用计数图n个边缘和否孤立顶点是U序列。

5.分组和枚举

我们现在讨论最灵活的构造方法寡形群,即弗雷塞定理。

5.1.均质结构

群将是某些结构的自同构群我们可能会认为关系结构,那个是,地面上各种运算关系的集合设置X(X)图和偏序等结构可以用一个单一的二元关系来描述,但一般来说不限制关系的算术性,也允许无数的关系。诱导子结构子集上的关系结构Y(Y)其域的通过将所有关系限制为Y(Y).

A结构M(M)在域上X(X)同种类的如果它具有以下属性:有限之间的任何同构诱导子结构M(M)可以扩展为的自同构M(M).

这个年龄关系结构的M(M)是班级吗所有可嵌入的有限关系结构M(M)作为诱导子结构(即同构至诱导子结构M(M)).

现在的关键观察结果如下:

M(M)是同质关系结构,并且G公司它的自同构群。然后是U序列和L序列属于G公司枚举未标记和已标记的结构分别在M(M).
那就是,(f)n个(G公司)是的数字未标记的n个-可嵌入的单元结构M(M):我们将结构计数到同构。而且F类n个(G公司)是的数字标记n个-可嵌入的单元结构M(M):那个是,域{1,2,…,上的结构。。。,n个}哪些是可嵌入M(M).

本应用程序解释了术语“U序列”和“L序列”。

5.2.弗雷塞定理

现在重要的是要知道:哪些枚举问题出现在这种方式?也就是说,我们如何认识同质化时代关系结构?这个问题的答案是弗雷塞定理:
定理。A类K(K)有限关系结构的时代可数齐次关系结构当且仅当它满足以下四个条件:如果这些条件成立,那么可数齐次结构他的年龄是K(K)直到同构为止是唯一的。
这个班级K(K)合并属性如果以下内容适用:
无论何时A类,B类1,B类2结构是否位于K(K)(f)是一个嵌入A类进入之内B类对于=1,2,则存在一个结构C类在里面K(K)和预埋件属于B类在里面C类对于=1,2,这样1(f)1=2(f)2.
实际上,这意味着具有共同子结构的两个结构可以沿着共同的底座粘合在一起。

在大多数情况下,前三个条件是自动的。的确,在寡形群的情况下,我们将拥有更强的条件是n个-中的元素结构M(M)(直到同构)对于每个n个.

一类满足假设的有限结构弗雷塞定理被称为弗雷塞因此,枚举未标记和标记的序列任何弗雷塞类中的结构都是U序列和L序列分别是。相反,它可以比任何U或L序列显示统计某些Fraíssé类中的结构。

小组S公司产生于有限集的Fraíssé类没有结构,以及A类从有限线性序类套。

对于一个稍微不太简单的例子,有限图的类是弗雷塞类;相应的均匀结构就是所谓的可数随机图(请参见[6]相应的U序列和L序列为A000088号A006125号分别是。还有更多的例子。

如果传递组G公司与关联弗雷塞类K(K),然后进入点稳定器G公司与“root”类关联K(K)-结构”(即,K(K)-具有可分辨点的结构,按非可分辨点的数量)。

5.3.再次循环索引

如果G公司是关联的齐次结构的自同构群在弗雷塞上课K(K),然后是修改后的循环指数属于G公司与相关K(K)如下:这种枚举方法与Joyal的方法有关[7];另请参见[1].

5.4.强合并

在合并属性中,我们允许在粘合时这两个结构在一起,重叠部分比预期的要大。我们说那个班级K(K)强合并属性如果可以合并,这样就不会有额外的分数粘在一起。从形式上讲陈述对于合并财产,我们要求:
如果1(b条1) =2(b条2),对于某些元素b条1,b条2属于B类1,B类2分别存在一个元素在里面A类这样的话(f)1() =b条1(f)2() =b条2.

现在假设我们有两个弗雷塞班K(K)L(左)两者都具有很强的合并属性。K和L表示同时具有K(K)-结构和L(左)-结构(独立)。然后K和L也具有强大的合并属性。

注意,标记的数量n个-中的元素结构K和L是中数字的乘积K(K)L(左).因此,如果强合并属性成立,那么L序列可以是逐项相乘。U序列的位置并非如此因为可能存在自同构。

从这个结构中,我们得到了以下内容结果.

G公司是一个与弗雷塞有关的寡形群K(K)具有强大的合并属性。然后有一个寡形群G公司*其U序列是L序列属于G公司.
我们接受G公司*成为与弗雷塞类K和L,其中L(左)是的类线性订单。

这表明许多L序列也是U序列。

对于强融合特性有一个群体理论检验。如果G公司与弗雷塞类有关K(K),然后K(K)当且仅当稳定剂在里面G公司任何有限个点中都没有额外的不动点。

6.逆欧拉变换

这个欧盟许可证转换,以及与S公司,做其他几项工作。其中一个问题分次代数。如果A类是一个分级代数,它是一个齐次生成元族中的多项式代数每个度只有有限多个),然后序列给出均质构件的尺寸A类欧盟许可证序列计数发生器的改造按程度。

每个寡形置换群G公司,我们可以联想到分次代数A类G公司,具有属性其尺寸n个第个同质成分是(f)n个(G公司). (详见[3][5].)在某些情况下,A类G公司可以证明是多项式代数。通常情况下,当G公司Fraíssé类(例如图)具有“好的概念”连通性”,多项式生成器对应于连通结构。

这里是关于多项式问题的一些积极结果的总结。

这个过程可以颠倒过来。如果逆Euler变换欧元区((f)n个(G公司))=(n个)是“熟悉的”序列(一个我们可能会怀疑A类G公司是多项式代数,并尝试证明这是通过将生成器与按(n个).

线性有序大小集n个其元素被染成红色蓝色可以用一个长单词来识别n个超过2个字母字母表。事实上,任何这样的单词都可以作为一个产品进行独特的书写林登单词(那些在词典上比他们所有的单词都小的单词)循环移位)按字典序递减表明欧元区序列的变换2的幂是计算林登单词的顺序。这个序列是A001037号,它还计算了带有两种颜色珠子的项链,这些珠子没有旋转对称性,或GF(2)上的不可约多项式。它是已知的(参见[5])至少一组G公司谁的U序列是代数2的幂序列A类G公司是多项式。

以类似的方式,顺序A000045号(斐波那契数列)计算单词b条没有两个重复s.如果我们将序列右移一个位置,我们可以假设单词不以.这样一个词的林登因素他们自己没有两个重复s、 与项链相对应没有两个连续的红色珠子(不包括只有一个红色的项链珠子),按顺序计数A006206号.

以下是这类的三个相关问题,其中A类G公司未知为多项式代数。

7.示例列表

示例列表将保存在单独的文件并将定期更新。

8.确认

我非常感谢Christian G.Bower的许多有益评论(以及其他示例的数量)。

9.参考文献

  1. F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux, 组合种与树状结构,数学及其应用百科全书,67,剑桥大学出版社,剑桥,1998年。
  2. M.Bernstein和N.J.A.Sloane,一些标准整数序列,线性代数及其应用 226/228(1995), 57-72[后记,pdf格式].
  3. P.J.Cameron, 寡形置换群,伦敦数学学会讲稿152,剑桥大学出版社,剑桥,1990年。
  4. P.J.Cameron,组中的序列运算符,线性代数及其应用 226/228(1995), 109-113.
  5. P.J.Cameron,关于组和序列的故事,设计、代码、密码 8(1996), 109-134.
  6. P.J.Cameron,随机图,第331-351页保罗·厄德斯的数学(编辑R.L.Graham和J.Nesetril),施普林格,柏林,1997年。
  7. A.乔亚尔,在理论上,这是一个组合,高级数学。 42(1981), 1-82.
  8. H.D.Macpherson,无限置换群对集合无序子集的作用,程序。伦敦数学。Soc公司。(3)46(1983), 471-486.
  9. C.L.Mallows和N.J.A.Sloane,两个图、切换类和欧拉图的数量相等,SIAM J.应用。数学。 28(1975), 876-880.
  10. F.梅罗拉,论文,巴勒莫大学,1999年。


收到日期:1999年9月2日;2000年1月4日收到修订版。发表于《整数序列杂志》2000年1月25日。


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