整数序列杂志，第3卷（2000年），第00.1.5条

由寡形置换群实现的序列

彼得·卡梅隆
数学科学学院
伦敦大学玛利皇后学院
伦敦E1 4NS
英国。
电子邮件地址：p.j.cameron@qmw.ac.uk

摘要：本文的目的是尽可能确定中的序列整数序列百科全书计算轨道数作用于无限置换群的n个-集合或n个-置换域元素的元组。报纸还介绍了此类序列的属性以及它们与组合枚举问题的关系。

目录

1. 介绍
2. 寡形置换群
3. 周期指数
4. 旧组中的新组
5. 组和枚举
6. 逆欧拉变换
7. 示例
8. 致谢
9. 工具书类
10. 表格（在单独的文件中）

1.简介

(x个₁, ...,x个_n个)克=(x个₁克, ...,x个_n个克).

本文还包括一些一般的寡形理论置换群及其与组合计数的关系。更多详细信息请参阅参考资料[3]和[5].

这里有许多熟悉的序列（斐波那契数列，分区、图、树、二项式系数、幂等）。它是作者的论点是，序列作为U序列或L序列的出现对寡形群的研究给了它额外的兴趣。此外，如果一个组的U序列很有趣，那么L序列，以及反之亦然-所以表中的空格是值得调查！

这些表还提供了数据，可以根据这些数据推测寡形置换群的U序列和L序列的行为。

请注意，此处报告的示例和结构密切相关物种（参见[1]); 然而，物种更普遍，以及寡形群U序列的一些已知限制（请参见第2.4节)不适用于计数序列对于物种。适当时将给出交叉参考。

2.寡形置换群

• （f）_n个(G公司)，轨道数G公司在集合上n个-元素子集X（X）;
• F类_n个(G公司)，轨道数G公司关于有序集n个-不同元组的元素X（X）;
• F类_n个^*(G公司)，数量的轨道G公司关于所有有序集n个-元组的元素X（X）.

在下面，所有置换群都作用于可数套。这不失一般性：一个基于Downward的论点洛文海姆-斯科勒姆一阶逻辑定理表明，给定任何寡态置换组G公司，有一个作用于可数集的寡形群实现了相同的数字（f）_n个,F类_n个,和F类_n个^*（请参见[3]).

2.1.逻辑连接

我们这么说T型是可数范畴的如果有直到同构的唯一可数模型。

安n个-类型结束T型是一个中的公式集n个自由变量x个₁, ...,x个_n个哪个是最大关于一致性T型. Then个-类型S公司是实现在模型中M（M）属于T型如果存在元素一₁, ...,一_n个在里面M（M）这样，公式S公司当一秒被替换为x个s.（注意，所有模型中元素给定元组上的公式T型是一种类型。）

现在，恩格尔、瑞尔·纳泽夫斯基和斯维诺纽斯的定理断言以下内容。

定理。让T型是一个一致的完整理论一阶语言。然后T型是可数的绝对的当且仅当它只有有限多n个-的类型每个正整数n个。如果这些条件成立，以及M（M）是的可数模型T型，然后每种类型S公司实现于M（M），以及元组集实现S公司是的自同构群的轨道M（M）.

相反，让M（M）是a上的可数结构一阶语言，并假设自同构组M（M）是寡形的（作为上的置换群M（M）). 然后是一阶理论M（M）是可数的绝对的。

我们看到了，如果M（M）是可数的可数模型范畴理论T型，然后是n个-类型属于T型等于F类_n个^*(G公司),哪里G公司是的自同构群M（M）.

2.2.U序列和L序列

F类_n个^*=总和_k个S公司(n、 k个)F类_k个.

用伯恩斯坦和斯隆的术语[2],星号序列是斯特林变换的未标记：F类^*=斯特林(F类).（另请参阅转换在线百科全书。）

我们拭目以待后来斯特林变换L序列也是L序列。所以这个班可实现序列的带星号的序列。

我们还将看到一个相关的观察结果后来是吗，为了许多组G公司，存在一个组G公司^*谁的U序列是的L序列G公司.

2.3.两个重要示例

• S公司，无限集上的对称群。很明显（f）_n个(S公司)=F类_n个(S公司):这个全1序列是数字A000012号在百科全书中。因此
  

  （f）_n个^*(S公司)=总和_k个 S公司(n、 k个) =B类(n个),
  

  这个潜水钟编号（分区总数一个n个-设置），顺序A000110号.如前所述，这将表明贝尔数形成一个L序列。
• A类，所有保序置换的组有理数。自从n个-套件可以携带到任何其他的，但只有在相同的顺序，我们有（f）_n个(A类)=1,F类_n个(A类)=n个!. 后者表明阶乘数（序列A000142号)形成L序列。也，F类_n个^*(A类)是数字属于n个-元素预售，或具有等效性的集合等价类是全序的关系（序列A000670号).这是一个L序列。（此序列称为“优先安排”，以及“（标记）选票”[1].)

2.4.一些限制

对U序列的研究多于对L序列的研究。以下结果在很大程度上要归功于杜加尔·麦克弗森[8]和其他论文，并在已引用的参考文献中进一步讨论。

• U序列是非递减的。（有一些已知的限制连续项相等的序列。）
• 比多项式增长更快的U序列必须至少增长以分数指数速率（类似于配分函数）。
• 原始置换群的U序列非平凡等价关系）是全部1序列（数字A000012号)或者至少呈指数级增长。

L序列也不减少（尽管这很容易看到）；事实上，L序列的连续项只有在以下条件下才是相等的两者都是1。弗朗西丝卡·梅洛拉[10]最近有所加强Macpherson的指数增长结果表明一个原始但不高度同质的群体的增长速度至少与c（c）^n个n个!, 对于一些常量c（c）>1.

3.周期指标

3.1.生成函数

（f）(x个) =总和 （f）_n个x个^n个,

F类(x个) =总和 F类_n个x个^n个/n个!.

3.2.周期指标

如果克是上的排列n个点周期指数属于克定义为单项式

z（z）(克) =秒₁^c（c）₁...秒_n个^{c（c）_n个}

现在让我们G公司是大小集上的置换群n个.这个周期指数 Z轴(G公司)第页，共页G公司已获得简单地将其元素的循环指数相加并除以组的顺序G公司.

最后，让我们G公司是起作用的寡态置换群关于（通常是无限的）集合X（X）. The修正循环指数 Z轴(G公司)如下所示：选择轨道的一组代表G公司关于有限子集属于X（X）.对于每个这样的有限集，考虑组中由其集态稳定器诱导的置换G公司，并计算此有限置换的循环指数组。然后添加所有这些周期指数。（这个无限和是允许的，因为任何给定的单项式只产生于固定有限基数n个，而且只有有限的许多轨道代表n个-设置要考虑的原因G公司是寡形的。）按照惯例，我们采用这个术语对应于空集为1。因此Z轴(G公司)是不定项中的形式幂级数秒₁,秒₂, ... .

对于我们的目的来说，重要的是以下事实：

• U序列的o.g.fG公司是从以下位置获得的Z轴(G公司)通过替换
  • 秒₁:=x个,
  • 秒_我：=0我> 1.
• L序列的示例fG公司是从以下位置获得的Z轴(G公司)通过替换
  • 秒_我:=x个^我为所有人我.

4.旧群体中的新群体

4.1.直接产品

Z轴(G乘以H)=Z轴(G公司)Z轴(H（H）).

因此，L序列的指数生成函数G乘以H通过将其乘以G公司和H（H）; 与之类似的是U序列。序列上的操作包括卷积和多项式相乘对于U序列和EXPCONV公司用于L序列。

特别是，形成直接产品的操作S公司用其替换U序列PSUM公司转换，其项是原始序列的部分和；和将L序列替换为二进制转换。

直接产品还有另一个作用。这个产品作用已打开X乘以Y，其中配对(g、 小时)地图(x、 年)至(xg，yh). 计数这种作用下的轨道要困难得多，而且不均匀解决了S乘以S.（n个^第个U序列中的项是A049311号,具有n个1，没有零行或零列，行和列排列；等价地，具有n个边和没有具有指定二分块的孤立顶点。）

4.2.花圈产品

花环产品的操作对应于物种替代（或分区组成)物种：参见[1].

的L序列G、Wr、H可以从中计算出属于G公司和H（H）通过替换：

F类_G、Wr、H(x个) =F类_H（H）(F类_G公司(x个)-1).

然而，没有关于L序列的公式G、Wr、H就以下方面而言G公司和H（H）。有这样一个修正循环指数的公式如下：

Z轴(G、Wr、H;秒₁,秒₂, ...) =Z轴(H（H）;Z轴₁-1,Z轴₂-1, ...),

由此可知，U序列的示例fG、Wr、H可以从以下位置获得Z轴(H（H）)由替换（f）_G公司(x个^我)-1个用于秒_我为所有人我（其中（f）_G公司是U序列的o.g.fG公司).

特别地，我们看到对于每个寡形置换组H（H），有一个运算符（也表示为H（H）)在序列上，具有映射U序列的属性G公司到的G、Wr、H对于任何寡形群G公司.寡形群的所有U序列的集合在所有这些操作符下关闭。操作员S公司,A类,和C类是操作员吗欧盟许可证,使转化、和CIK公司.分别是。请参见[4]了解更多详细信息。

这些产品具有各种形式的身份：例如，

• 一个Wr(B、Wr、C) = (A对B)密码C,
• 一个Wr(B乘以C) = (A对B)次数(A、Wr、C).

现在我们可以解释为什么这个序列(F类_n个^*(G公司))是一个L序列-实际上，它是组的L序列S Wr G系列.让S公司和G公司在片场上表演X（X）和Y（Y）因此S Wr G系列作用于X乘以Y。然后有一个来自的函数n个-不同元素的元组X乘以Y变得武断n个-的元组Y（Y），将每个有序对映射到其第二个元素。显然，这种映射保留了轨道。此外，自从X（X）是无限的，任何n个-的元素元组Y（Y）位于映射的图像中。所以

F类_n个^*(G公司)=F类_n个(S Wr G系列).

事实上，这个例子表明G Wr S公司是这个斯特林的转换G公司.替换规则给出了众所周知的公式

F类_{S Wr G系列}(x个) =F类_G公司（e）^x个-1).

的U和L序列S Wr S系列是A000041号（分区）和A000110号（钟号）。

如果S公司_k个表示有限对称群度k个，然后S公司_k个Wr S公司和S Wr S系列_k个有相同的U序列，因为最大部分大小的分区数k个等于最多包含的分区数k个部分。然而，它们的L序列不同。对于k个=2，它们是A000085号（自反转排列）和A000079号（两人的力量分别右移了一个位置）。另一个有趣的例子是S公司₂ Wr A（写入A）,其U序列是A000045号（斐波那契数列）。

值得注意的还有另外两种特殊情况。让E类表示作用于具有两个元素的集合上的平凡群。然后

• G、Wr、E与同构G乘以G，我们已经考虑过了。
• E Wr G公司是组G公司每个轨道重复。对于G=S，我们得到U序列A002620型（四分之一平方）和L序列A000898号.对于G=A，U序列是A000129号（Pell数），L序列通过乘以这个n个^第个条款依据n个! （因为所有订单的n个-设置在不同的轨道上）：这是操作LISTOLISTMULT公司.

花环产品还有另一个作用，即所谓的产品作用关于函数集Y（Y）到X（X）。这不是寡形的，除非顶层组是有限的。

4.3.稳定器

求导数的操作对应于物种衍生物物种（参见[1]).

因此（或者很容易直接证明），如果G公司是传递，则获得点稳定器的L序列从的G公司通过将序列向左移动一个位置（删除首字母1）。我是接线员左图.

稳定器的U序列不是由G公司.

总结：L序列的f.s集合在乘法、替换和（如果第一项为1）分化（或左移）。U序列的o.g.f.s集在乘法和序列运算符下是闭合的与任何寡形群（尤其是欧盟许可证和使转化操作员）。

4.4.其他结构

如果G公司是寡形的X（X），然后是置换群由G公司在它的任何轨道上n个-套，n个-元组等n个，是寡形的。对于一个特定的示例，让G公司=S公司,无限对称群在2集上的作用。任何一套，共套n个2集可视为图的边，其顶点集是n个成对（以便图中没有孤立的顶点）。两个n个-设置位于相同的轨道当且仅当图是同构的。So序列A000664号,用计数图n个边缘和否孤立顶点是U序列。

5.分组和枚举

5.1.均质结构

A结构M（M）在域上X（X）是同种类的如果它具有以下属性：有限之间的任何同构诱导子结构M（M）可以扩展为的自同构M（M）.

这个年龄关系结构的M（M）是班级吗所有可嵌入的有限关系结构M（M）作为诱导子结构（即同构至诱导子结构M（M）).

现在的关键观察结果如下：

让M（M）是同质关系结构，并且G公司它的自同构群。然后是U序列和L序列属于G公司枚举未标记和已标记的结构分别在M（M）.

本应用程序解释了术语“U序列”和“L序列”。

5.2.弗雷塞定理

定理。A类K（K）有限关系结构的时代可数齐次关系结构当且仅当它满足以下四个条件：

• K（K）在同构下是闭合的；
• K（K）在采用诱导子结构时闭合；
• K（K）只有可数的成员达到同构；
• K（K）具有合并属性（见下文）。

如果这些条件成立，那么可数齐次结构他的年龄是K（K）直到同构为止是唯一的。

无论何时A类,B类₁,B类₂结构是否位于K（K）和（f）_我是一个嵌入A类进入之内B类_我对于我=1,2，则存在一个结构C类在里面K（K）和预埋件克_我属于B类_我在里面C类对于我=1,2，这样克₁（f）₁=克₂（f）₂.

在大多数情况下，前三个条件是自动的。的确，在寡形群的情况下，我们将拥有更强的条件是n个-中的元素结构M（M）（直到同构）对于每个n个.

一类满足假设的有限结构弗雷塞定理被称为弗雷塞班因此，枚举未标记和标记的序列任何弗雷塞类中的结构都是U序列和L序列分别是。相反，它可以比任何U或L序列显示统计某些Fraíssé类中的结构。

小组S公司产生于有限集的Fraíssé类没有结构，以及A类从有限线性序类套。

对于一个稍微不太简单的例子，有限图的类是弗雷塞类；相应的均匀结构就是所谓的可数随机图（请参见[6]相应的U序列和L序列为A000088号和A006125号分别是。还有更多的例子。

如果传递组G公司与关联弗雷塞类K（K），然后进入点稳定器G公司与“root”类关联K（K）-结构”（即，K（K）-具有可分辨点的结构，按非可分辨点的数量）。

5.3.再次循环索引

• 取同构类的代表K（K）-结构。
• 对于每个代表，计算其（普通）循环指数自同构群。
• 将这些循环指数相加。

5.4.强合并

如果克₁(b条₁) =克₂(b条₂)，对于某些元素b条₁,b条₂属于B类₁,B类₂分别存在一个元素一在里面A类这样的话（f）₁(一) =b条₁和（f）₂(一) =b条₂.

现在假设我们有两个弗雷塞班K（K）和L（左）两者都具有很强的合并属性。让K和L表示同时具有K（K）-结构和L（左）-结构（独立）。然后K和L也具有强大的合并属性。

注意，标记的数量n个-中的元素结构K和L是中数字的乘积K（K）和L（左）.因此，如果强合并属性成立，那么L序列可以是逐项相乘。U序列的位置并非如此因为可能存在自同构。

从这个结构中，我们得到了以下内容结果.

让G公司是一个与弗雷塞有关的寡形群班K（K）具有强大的合并属性。然后有一个寡形群G公司^*其U序列是L序列属于G公司.

这表明许多L序列也是U序列。

对于强融合特性有一个群体理论检验。如果G公司与弗雷塞类有关K（K），然后K（K）当且仅当稳定剂在里面G公司任何有限个点中都没有额外的不动点。

6.逆欧拉变换

每个寡形置换群G公司，我们可以联想到分次代数A类^G公司，具有属性其尺寸n个^第个同质成分是（f）_n个(G公司). （详见[3]或[5].）在某些情况下，A类^G公司可以证明是多项式代数。通常情况下，当G公司与Fraíssé类（例如图）具有“好的概念”连通性”，多项式生成器对应于连通结构。

这里是关于多项式问题的一些积极结果的总结。

• 对于G=S（或G=A)，代数A类^G公司是一个1次生成器中的多项式代数。
• 置换群的直积对应于张量积代数，因此保留了多项式属性（和数字每个度的生成器的数量被简单地添加）。
• 如果G公司是有限置换群，那么A类^{S Wr G系列}与不变量代数同构G公司因此，如果G=S_k个，它是一个多项式代数，具有1度、2度。。。，k个.
• 对于任何寡形群G公司，代数A类^{G Wr S公司}是多项式代数；发电机数量学位n个等于（f）_n个(G公司).

这个过程可以颠倒过来。如果逆Euler变换欧元区(（f）_n个(G公司))=(一_n个)是“熟悉的”序列（一个我们可能会怀疑A类^G公司是多项式代数，并尝试证明这是通过将生成器与按(一_n个).

线性有序大小集n个其元素被染成红色蓝色可以用一个长单词来识别n个超过2个字母字母表。事实上，任何这样的单词都可以作为一个产品进行独特的书写林登单词（那些在词典上比他们所有的单词都小的单词）循环移位）按字典序递减表明欧元区序列的变换2的幂是计算林登单词的顺序。这个序列是A001037号,它还计算了带有两种颜色珠子的项链，这些珠子没有旋转对称性，或GF（2）上的不可约多项式。它是已知的（参见[5])至少一组G公司谁的U序列是代数2的幂序列A类^G公司是多项式。

以类似的方式，顺序A000045号（斐波那契数列）计算单词一和b条没有两个重复一s.如果我们将序列右移一个位置，我们可以假设单词不以一.这样一个词的林登因素他们自己没有两个重复一s、 与项链相对应没有两个连续的红色珠子（不包括只有一个红色的项链珠子），按顺序计数A006206号.

以下是这类的三个相关问题，其中A类^G公司未知为多项式代数。

• 有几个组G公司对于其中(（f）_n个(G公司))是序列A000079号（两人的权力有时会右移）。示例包括A写A，以及与关联的组点着色的线性序的Fraíssé类红色和蓝色。这个欧元区A000079的转换是A001037号（项链或GF（2）上的不可约多项式）。对于第二个示例前面提到过，代数是多项式（见上文）；这是未知的第一。
• 这个班级K（K）两个图中的一个是Fraíssé类别；相应的U序列是A002854号.马尔洛和斯隆[9]显示出相同的序列统计偶数（或欧拉）图。这些不构成Fraísse class，但确实有一个“很好的概念连通性”欧元区A002854的转换是A003049号（连通欧拉图）。
• 小组G=S₂ Wr A（写入A）实现序列斐波那契数列。如上所述欧元区转换是“广义斐波那契数列”。是A类^G公司多项式的？

7.示例列表

8.确认

9.参考文献

1. F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux， 组合种与树状结构,数学及其应用百科全书，67,剑桥大学出版社，剑桥，1998年。
2. M.Bernstein和N.J.A.Sloane，一些标准整数序列，线性代数及其应用 226/228(1995), 57-72[后记,pdf格式].
3. P.J.Cameron， 寡形置换群,伦敦数学学会讲稿152,剑桥大学出版社，剑桥，1990年。
4. P.J.Cameron，组中的序列运算符，线性代数及其应用 226/228(1995), 109-113.
5. P.J.Cameron，关于组和序列的故事，设计、代码、密码 8(1996), 109-134.
6. P.J.Cameron，随机图，第331-351页保罗·厄德斯的数学（编辑R.L.Graham和J.Nesetril），施普林格，柏林，1997年。
7. A.乔亚尔，在理论上，这是一个组合，高级数学。 42(1981), 1-82.
8. H.D.Macpherson，无限置换群对集合无序子集的作用，程序。伦敦数学。Soc公司。(3)46(1983), 471-486.
9. C.L.Mallows和N.J.A.Sloane，两个图、切换类和欧拉图的数量相等，SIAM J.应用。数学。 28(1975), 876-880.
10. F.梅罗拉，论文，巴勒莫大学，1999年。

收到日期：1999年9月2日；2000年1月4日收到修订版。发表于《整数序列杂志》2000年1月25日。