搜索： 编号：a091156
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A091156号
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| 按行读取的三角形：T（n，k）是半长n的Dyck路径数，有k个长的上升（即至少2个长度的上升）。行的长度为1,1,2,2,3,3。 |
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+0
5
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1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 11, 2, 1, 26, 15, 1, 57, 69, 5, 1, 120, 252, 56, 1, 247, 804, 364, 14, 1, 502, 2349, 1800, 210, 1, 1013, 6455, 7515, 1770, 42, 1, 2036, 16962, 27940, 11055, 792, 1, 4083, 43086, 95458, 57035, 8217, 132, 1, 8178, 106587, 305812, 257257
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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还有n条边、k个分支节点的有序树的数量（即，伸出度至少为2的顶点）。
还有长度为n的Łukasiewicz路径的数量，该路径具有从奇数级开始的k个下降步骤（1，-1）。长度n的Łukasiewicz路径是第一象限中从（0,0）到（n，0）的路径，对任何正整数k使用上升步长（1，k）、水平步长（1,0）和下降步长（1-1）（参见R.P.Stanley，《枚举组合数学》，第2卷，剑桥大学出版社，1999年，第223页，练习6.19w；这些整数是步长的斜率）。例如：T（4,2）=2，因为我们有U（D）U（D”）和U（3）（D）D（D），其中U=（1,1），D=（1，-1），U（3。第n行有1+层（n/2）项。行总和是加泰罗尼亚数字(A000108号). T（2n，n）=A000108号（n） 。T（2n+1，n）=A001791号（n+1）=二项式（2n+2，n）-Emeric Deutsch公司2005年1月6日
2006年2月19日，具有k UUD-I.Tasoulas（jtas（AT）unipi.gr）的半长n的Dyck路径数
T（n，k）=分解为2步子路径包含k个UU的Dyck n路径数。例如，T（4,2）=2计数UU|UU|DD|DD，UU|DD|UU| DD（竖线表示路径分解）-大卫·卡伦2006年6月7日
T（n，k）=包含k条右边的n-1条边上的二叉树数，其子顶点没有右子顶点。在Knuth的“自然”对应下，二元（n-1）树中的这样一个顶点~有序n树中的一个超度数>=2的顶点-大卫·卡伦2006年9月25日
T（n，k）=包含k条左边的n-1条边上的二叉树数，其子顶点没有左子顶点。在“自然”对应下，二元（n-1）树中的这样一个顶点~没有左邻接边的叶边，并且在Dyck n-path中的有序n树~a UUD中不与根相关-大卫·卡伦2006年9月25日
T（n，k）=长度为n的排列数，避免321个（经典地）带有k个下降-安德鲁·巴克斯特2011年5月17日。
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参考文献
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R.P.Stanley，枚举组合数学，第1卷，1986年；参见练习3.71（f）。
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链接
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A.M.Baxter，排列统计算法，博士论文，罗格斯大学，2011年5月。见第88页。
Michael Bukata、Ryan Kulwicki、Nicholas Lewandowski、Lara Pudwell、Jacob Roth、Teresa Wheeland、，避免模式置换的统计学分布，arXiv:1812.07112[math.CO]，2018年。
A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras，计算Dyck路径中的字符串，离散数学。，307 (2007), 2909-2924.
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配方奶粉
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T（n，k）=（1/（n+1））*二项式（n+1，k）*和{j=0..n-2k}二项式。
G.f.G（t，z）满足z*（1-z+t*z）*G^2-G+1=0。
T（n，k）=n*（1+k）/（n-2*k）*（1+k）^2） *上层（[k，2*k-n]，[k+2]，-1）-彼得·卢什尼2015年10月16日
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例子
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T（4,1）=11，因为在半长4的14条Dyck路径中，没有一条长上升的路径是UDUDUD（无长上升）、UUDDUUD（两条长上升）和UUDUUDDD（两个长上升）。这里U=（1,1）和D=（1，-1）。
三角形开始：
1;
1;
1, 1;
1, 4;
1, 11, 2;
1, 26, 15;
1, 57, 69, 5;
1, 120, 252, 56;
1, 247, 804, 364, 14;
1, 502, 2349, 1800, 210;
1, 1013, 6455, 7515, 1770, 42;
...
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MAPLE公司
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a:=（n，k）->二项式（n+1，k）*add（二项式）（k+j-1，k-1）*binnominal（n+1-k，n-2*k-j），j=0..n-2*k）/（n+1）；seq（seq（a（n，k），k=0..层（n/2）），n=0..15）；
seq（seq（简化（n！*（1+k）/（n-2*k）*（1+k）^2） *超几何（[k，2*k-n]，[k+2]，-1）），k=0..楼层（n/2）），n=0..15）#彼得·卢什尼2015年10月16日
#备选Maple计划：
b： =proc（x，y）选项记忆`如果`（y>x或y<0，0，
`如果`（x=0，1，展开（b（x-1，y）*`如果`（y=0，1，2）*z+
b（x-1，y+1）+b（x-1，y-1）））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，z，n-2*i），i=0..n/2））（b（n，0））：
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数学
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T[n_，k_]：=二项式[n+1，k]*和[Binominal[k+j-1，k-1]*二项式[n+1-k，n-2*k-j]，{j，0，n-2xk}]/（n+1）；表[T[n，k]，{n，0，15}，{k，0，Floor[n/2]}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2016年1月31日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
tabf（nn）={对于（n=-1，nn，对于（k=0，floor（n/2），如果（二项式（n+1，k）*和（j=0，n-2*k，二项式，k+j-1，k-1）*二项式2*k-j））/（n+1），“，”）；）；打印（）；）；
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交叉参考
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非n,标签
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