%I#76 2021年9月8日08:56:43

%S 1,1,1,1,4,11,2,1,26,15,1,57,69,5,1120252,56,1247804364,14,1，

%电话：50223491800210,11013645575151770,42,12036169622794011055，

%电话：792,140834308695458570358217132,18178106587305812257257

%N行读取的三角形：T（N，k）是半长N的Dyck路径数，有k个长的上升（即，长度至少为2的上升）。行的长度为1,1,2,2,3,3。

%C还有具有n条边、k个分支节点的有序树的数量（即，伸出度至少为2的顶点）。

%还有长度为n的具有k个从奇数电平开始的下降步长（1，-1）的Łukasiewicz路径的数目。长度n的Łukasiewicz路径是第一象限中从（0,0）到（n，0）的路径，对任何正整数k使用上升步长（1，k）、水平步长（1,0）和下降步长（1-1）（参见R.P.Stanley，《枚举组合数学》，第2卷，剑桥大学出版社，1999年，第223页，练习6.19w；这些整数是步长的斜率）。例如：T（4,2）=2，因为我们有U（D）U（D”）和U（3）（D）D（D），其中U=（1,1），D=（1，-1），U（3。第n行有1+楼层（n/2）项。行总和是加泰罗尼亚数字（A000108）。T（2n，n）=A000108（n）。T（2n+1，n）=A001791（n+1）=二项式（2n+2，n）_Emeric Deutsch，2005年1月6日

%C以及具有k UUD-I.Tasoulas（jtas（AT）unipi.gr）的半长n的Dyck路径数，2006年2月19日

%C T（n，k）=其分解为2步子路径包含k个UU的Dyck n路径数。例如，T（4,2）=2计数UU|UU|DD|DD，UU|DD|UU| DD（竖线表示路径分解）_David Callan，2006年6月7日

%C T（n，k）=包含k条右边的n-1条边上的二叉树数，其子顶点没有右子顶点。在Knuth的“自然”对应下，二元（n-1）树中的这样一个顶点~有序n树中的超次>=2的顶点_David Callan，2006年9月25日

%C T（n，k）=包含k条左边的n-1条边上的二叉树的数目，其子顶点没有左子顶点。在“自然”对应下，二元（n-1）树中的这样一个顶点~没有左邻接边的叶边，并且不与Dyck n-path中的有序n树~a UUD中的根相关联_David Callan，2006年9月25日

%C T（n，k）=长度n避免321（经典）的排列数，k下降_安德鲁·巴克斯特，2011年5月17日。

%D R.P.Stanley，枚举组合数学，第1卷，1986年；参见练习3.71（f）。

%H Alois P.Heinz，行n=0..200，扁平</a>

%H M.Barnabei等人，<a href=“http://arxiv.org/abs/0910.0963“>123-无效排列的下降统计</a>，arXiv:0910.0963[math.CO]，2009。

%H A.M.Baxter，<A href=“https://pdfs.semanticschoolr.org/2c5d/79e361d3aecb25c380402144177ad7cd9dc8.pdfindex.html“>置换统计算法，罗格斯大学博士论文，2011年5月。见第88页。

%H Michael Bukata、Ryan Kulwicki、Nicholas Lewandowski、Lara Pudwell、Jacob Roth、Teresa Wheeland，<a href=“https://arxiv.org/abs/1812.07112“>模式避免排列的统计分布</a>，arXiv:1812.07112[math.CO]，2018。

%H Colin Defant，<a href=“https://arxiv.org/abs/1809.03123“>Stack-Sorting Preimages of Permutation Classes</a>，arXiv:1809.03123[math.CO]，2018年。

%H Katie R.Gedeon，<a href=“https://arxiv.org/abs/1610.05349“>thagomizer拟阵的Kazhdan Lusztig多项式</a>，arXiv:11610.05349[math.CO]，2016。

%H Y.Park，S.Park，<a href=“http://dx.doi.org/10.4134/JKMS.2013.50.3.529“>《避免排列和Narayana数》，《韩国数学学报》第50期（2013年），第3期，第529-541页。

%H Lara Pudwell，<a href=“http://permutationpatterns.com/slides/Pudwell.pdf“>关于峰值分布（和其他统计数据）</a>，第16届国际置换模式会议，达特茅斯学院，2018年。

%H A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras，<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2007.03.005“>计算Dyck路径中的字符串</a>，《离散数学》，307（2007），2909-2924。

%王朝仁，<a href=“http://people.brandeis.edu/~gessel/homepage/students/wangthesis.pdf“>Goulden-Jackson聚类方法在根据子单词出现次数计算Dyck路径中的应用</a>。

%H<a href=“/index/Lu#Lukasiewicz”>与Łukasiewicz相关序列的索引条目</a>

%F T（n，k）=（1/（n+1））*二项式（n+1，k）*和{j=0..n-2k}二项式。

%F G.F.G（t，z）满足z*（1-z+t*z）*G^2-G+1=0。

%F T（n，k）=n*（1+k）/（（n-2*k）*（1+k）^2） *表层（[k，2*k-n]，[k+2]，-1）_Peter Luschny_，2015年10月16日

%F T（n，k）=A055151（n，k）*超深层（[k，2*k-n]，[k+2]，-1）_Peter Luschny_，2015年10月16日

%e T（4,1）=11，因为在半长4的14条Dyck路径中，没有一条长上升的路径是UDUDUD（无长上升）、UUDDUUD（两条长上升）和UUDUUDDD（两个长上升）。这里U=（1,1）和D=（1，-1）。

%e三角形开始：

%e 1；

%e 1；

%e 1，1；

%e 1、4；

%e 1、11、2；

%e 1、26、15；

%e 1、57、69、5；

%e 112025256；

%e 1247、804、364、14；

%e 1502、2349、1800、210；

%e 1013、6455、7515、1770、42；

%e。。。

%p a:=（n，k）->二项式（n+1，k）*加法（二项式）（k+j-1，k-1）*二项式，（n+1-k，n-2*k-j），j=0..n-2*k）/（n+1）；seq（seq（a（n，k），k=0..楼层（n/2）），n=0..15）；

%p序列（序列（简化（n！*（1+k）/（n-2*k）*（1+k）^2） *上层（[k，2*k-n]，[k+2]，-1），k=0..层（n/2）），n=0..15）；#_Peter Luschny_，2015年10月16日

%p#可选Maple程序：

%p b:=proc（x，y）选项记忆`如果`（y>x或y<0，0，

%p`if`（x=0，1，展开（b（x-1，y）*` if`（y=0，1,2）*z+

%p b（x-1，y+1）+b（x-1，y-1）））

%p端：

%pT:=n->（p->seq（系数（p，z，n-2*i），i=0..n/2））（b（n，0））：

%p序列（T（n），n=0..15）；#_Alois P.Heinz，2018年8月7日

%tT[n_，k_]：=二项式[n+1，k]*和[二项式[k+j-1，k-1]*二项式（n+1-k，n-2*k-j]，{j，0，n-2xk}]/（n+1）；表[T[n，k]，{n，0，15}，{k，0，Floor[n/2]}]//Flatten（*_Jean-François Alcover_，2016年1月31日*）

%o（PARI）

%o tabf（nn）={对于（n=-1，nn，对于（k=0，floor（n/2），如果（二项式（n+1，k）*和（j=0，n-2*k，二项式，k+j-1，k-1）*二项式n-2*k-j））/（n+1），“，”）；）；打印（）；）；

%o标签（16）；\\_Indranil Ghosh，2017年3月5日

%Y参见A000108、A001791、A243752。

%Y T（n，k）是A055151的有理倍数。

%K nonn，标签

%0、6

%德国电子报，2004年2月22日

%E编辑：Andrew Baxter_，2011年5月17日