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扁球面测地线

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这个测地线的在上扁球体可以通过分析计算，尽管得到的表达式很多比简单的更难操作球.带有赤道半径一和极半径c（c）可以通过参数指定

x个=阿辛瓦库苏
(1)
年=阿辛夫西努
(2)
z（z）=ccosv、，
（3）

哪里a> c（c）。使用第二个偏导数

（部分^2x）/（部分^2）=-阿辛瓦库苏
(4)
（部分^2）/（部分^2）=-阿辛瓦库苏
(5)
（部分^2y）/（部分^2）=-阿辛夫西努
(6)
（部分^2y）/（部分^2）=-阿辛夫西努
(7)
（部分^2z）/（部分^2）=0
(8)
（部分^2z）/（部分^2）=-ccosv公司
(9)

提供了测地线功能为

P（P）=（（partialx）/
(10)
=a^2英寸^2伏
(11)
问=（partialx）/
(12)
=0
(13)
R（右）=（（部分）/（部分）^2+（部分）
(14)
=a^2+（c^2-a^2）sin^2v=a^2（1-e^2sin^2v），
(15)

哪里

e=平方（（a^2-c^2）/（a^2））
(16)

是椭圆度。

自Q=0和P（P）和R（右）是的显式函数v（v）只有，我们才能使用测地线的方程式

u个=c_1intsqrt（R/（P^2-c_1^2P））dv
(17)
=c_1intsqrt（（a^2（1-e^2sin^2v））/（a^4sin^4v-c_1^2a^2sin）dv
(18)
=intsqrt（（1-e^2sin^2v）/（（a/（c_1））^2sin^2v-1））（dv）/（sinv），
(19)

哪里c1是一个常数，取决于起点和终点。整合给予

u=-（e^2F（φ|（（d^2-1）e^2）/（d^2-e^2，
(20)

哪里

d日=a/（c1）
(21)
科斯菲=（dcosv）/（sqrt（d^2-1）），
(22)

F（φ| m）是一个第一类椭圆积分友善的具有参数 米、和Pi（φ|m，k）是一个椭圆形第三类积分。

大地测量学除子午线的扁球体在两条平行线之间起伏纬度与赤道等距。使用魏尔斯特拉斯西格玛函数和Weierstrass zeta函数,这个测地线的上扁圆的球体可以写为

x+iy=kappa（σ（a+u））/（σ
(23)
x-iy型=kappa（σ（a-u））/（σ
(24)
z^2（z ^2）=λ^2（σ（ω^（“”）+u）σ
(25)

（福赛斯1960年，第108-109页；哈尔芬1886-1891）。

公式测地线的可以放在表格中

dphi=（平方（1-e^2sin^2v）sina）/（平方（sin^2v-sin^2a）sinv）dv，
(26)

哪里一是的最小值v（v）在曲线上。此外曲线上纬度最高和次低的点为

pi-2（平方（1-e^2sin^2a））/（新浪）int_0^kappa（dnu-dn^2u）/（1+cot^2asn^2u）du，
(27)

其中椭圆模量的椭圆形功能是

k=（ecosa）/（平方英尺（1-e^2sin^2a））
(28)

（福赛斯1960年，第446页）。

另请参见

椭球测地线,伟大的圆形,扁球体

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福赛斯，A.R。变分法。纽约：多佛，1960年。R.W.戈斯珀。“球体测地积分。" math-fun@cs.arizona.edu1996年9月9日发布。哈尔芬，G.H.公司。特拉特des functions elliptiques et de leurs applications功能省略，第2卷。巴黎：戈蒂尔·维拉斯，第238-243页，1886-1891年。Tietze，H。著名的数学问题：古代已解决和未解决的数学问题现代。纽约：Graylock出版社，第28-29和40-411965页。

引用的关于Wolfram | Alpha

扁球面测地线

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“扁球面测地线。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/OblateSpheroidGeodesic.html

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