该行上的正心
,三角形质心
,圆心
,判定元件Longchamps点
,九点中心
还有其他一些重要的三角形中心。
Euler线是垂直的到判定元件Longchamps线和垂直轴.
金伯利中心
躺在绳子上包括
(三角形质心
), 3 (圆心
), 4 (正心
), 5 (九点中心
), 20 (判定元件Longchamps点
),21 (希夫勒点), 22 (埃克塞特指向), 23 (远点), 24, 25, 26, 27,28, 29, 30, (欧拉无穷点), 140, 186,199, 235, 237, 297, 376, 377, 378, 379, 381, 382, 383, 384, 401, 402, 403, 404, 405,406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422,423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 432, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 439,440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 448, 449, 450, 451, 452, 453, 454, 455, 456,457, 458, 459, 460, 461, 462, 463, 464, 465, 466, 467, 468, 469, 470, 471, 472, 473,474, 475, 546, 547, 548, 549, 550, 631, 632, 851, 852, 853, 854, 855, 856, 857, 858,859, 860, 861, 862, 863, 864, 865, 866, 867, 868, 964, 1003, 1004, 1005, 1006, 1008,1009, 1010, 1011, 1012, 1013, 1080, 1113, 1114, 1312, 1313, 1314, 1315, 1316, 1325,1344, 1345, 1346, 1347, 1368, 1370, 1375, 1513, 1529, 1532, 1536, 1551, 1556, 1557,1559, 1563, 1564, 1567, 1583, 1584, 1585, 1586, 1589, 1590, 1591, 1592, 1593, 1594,1595, 1596, 1597, 1598, 1599, 1600, 1628, 1650, 1651, 1656, 1657, 1658, 1816, 1817,1883, 1884, 1885, 1889, 1894, 1904, 1906, 1907, 1981, 1982, 1984, 1985, 1995, 2041,2042, 2043, 2044, 2045, 2046, 2047, 2048, 2049, 2050, 2060, 2070, 2071, 2072, 2073,2074, 2075, 2409, 2450, 2454, 2455, 2475, 2476, 2478, 2479, 2480, 2552, 2553, 2554,2555、2566、2567、2570、2571、2675、2676、2915和2937。
Euler线由所有点组成三线坐标
满足要求的
![|α-β-γ;cosA-cosB-cosC;cosBcosC cosCcosA cosAcosB|=0,](/images/equations/EulerLine/NumberedEquation1.svg) |
(1)
|
它简化为
![alphacosA(cos^2B-cos^2 C)+betacosB(cos|2C-cos^2A)+gammacosC(cos*2A-cos^2 B)=0。](/images/equations/EulerLine/NumberedEquation2.svg) |
(2)
|
这也可以写成
![α蛋白(2A)酶(B-C)+β蛋白(2B)酶(C-A)+γ蛋白(2C)酶(A-B)=0。](/images/equations/EulerLine/NumberedEquation3.svg) |
(3)
|
欧拉线的另一个很好的三线性方程如下所示
![a(b^2-c^2)S_Ax+b(c^2-a^2)T_By+c(a^2-b^2)S-Cz=0,](/images/equations/EulerLine/NumberedEquation4.svg) |
(4)
|
哪里
是一个康威三角形表示法。它是中心线
.
欧拉线满足其自身的显著特性补充,因此也是它自己的抗补体.
这个圆心
,九点中心
,三角形质心
,和正心
表格a谐波范围具有
(Honsberger 1995年,第7页;Oldknow 1996年)。在这里,
是圆心-正心距离,由
哪里
是外半径和
是康威三角形表示法.
欧拉线相交这个草皮生产线在中德隆尚点、和Gergonne线在中埃文斯指向.
这个等角共轭Euler线的Jerabek双曲线(凯西1893年,范德根1965).
这个等角共轭Euler线的圆双曲线经过金伯利中心
对于
, 69, 95, 253, 264, 287, 305, 306,307、328、1441、1494、1799、1972、2373和2419。这个外双曲线也是直线的等角共轭(
,
)(P.Moses,pers.comm.,2005年2月4日)。
就这点而言
位于三线坐标的欧拉线上
![aS_A+(kS_BS_C)/A:BS_B+(kT_CS_A)/B:CS_C+(kS-aS_B)/C,](/images/equations/EulerLine/NumberedEquation5.svg) |
(12)
|
与顶点的平方距离之和参考三角形等于
哪里
是外半径,
是圆心,和
是正心的参考三角形(P.Moses,律师。通信,2005年2月23日)。
下表总结了一些命名三角形(P.Moses,pers.comm.)的Euler线,其中
指穿过金伯利中心的线路
和
.
The angle between the垂直轴和Gergonne线等于欧拉线和草皮线(F.Jackson,pers.comm.,2005年11月2日)。