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欧拉直线


欧拉线

该行上的正心 小时,三角形质心 G公司,圆心 O(运行),判定元件Longchamps点 L(左),九点中心 N个还有其他一些重要的三角形中心。

Euler线是垂直的判定元件Longchamps线垂直轴

金伯利中心X _ i躺在绳子上包括i=2(三角形质心 G公司), 3 (圆心 O(运行)), 4 (正心 小时),第5页(九点中心 N个), 20 (判定元件Longchamps点 L(左)),21 (希夫勒点), 22 (埃克塞特指向), 23 (远点), 24, 25, 26, 27,28, 29, 30, (欧拉无穷点), 140, 186,199, 235, 237, 297, 376, 377, 378, 379, 381, 382, 383, 384, 401, 402, 403, 404, 405,406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422,423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 432, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 439,440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 448, 449, 450, 451, 452, 453, 454, 455, 456,457, 458, 459, 460, 461, 462, 463, 464, 465, 466, 467, 468, 469, 470, 471, 472, 473,474, 475, 546, 547, 548, 549, 550, 631, 632, 851, 852, 853, 854, 855, 856, 857, 858,859, 860, 861, 862, 863, 864, 865, 866, 867, 868, 964, 1003, 1004, 1005, 1006, 1008,1009, 1010, 1011, 1012, 1013, 1080, 1113, 1114, 1312, 1313, 1314, 1315, 1316, 1325,1344, 1345, 1346, 1347, 1368, 1370, 1375, 1513, 1529, 1532, 1536, 1551, 1556, 1557,1559, 1563, 1564, 1567, 1583, 1584, 1585, 1586, 1589, 1590, 1591, 1592, 1593, 1594,1595、1596、1597、1598、1599、1600、1628、1650、1651、1656、1657、1658、1816、1817,1883年、1884年、1885年、1889年、1894年、1904年、1906年、1907年、1981年、1982年、1984年、1985年、1995年、2041年,2042、2043、2044、2045、2046、2047、2048、2049、2050、2060、2070、2071、2072、2073,2074, 2075, 2409, 2450, 2454, 2455, 2475, 2476, 2478, 2479, 2480, 2552, 2553, 2554,2555、2566、2567、2570、2571、2675、2676、2915和2937。

Euler线由所有点组成三线坐标 α:β:γ满足要求的

 |α-β-γ;cosA-cosB-cosC;cosBcosC cosCcosA cosAcosB|=0,
(1)

它简化为

 alphacosA(cos^2B-cos^2 C)+betacosB(cos|2C-cos^2A)+gammacosC(cos*2A-cos^2 B)=0。
(2)

这也可以写成

 α蛋白(2A)酶(B-C)+β蛋白(2B)酶(C-A)+γ蛋白(2C)酶(A-B)=0。
(3)

欧拉线的另一个很好的三线性方程如下所示

 a(b^2-c^2)S_Ax+b(c^2-a^2)T_By+c(a^2-b^2)S-Cz=0,
(4)

哪里S_x(_x)是一个康威三角形表示法。它是中心线 L_(647)

欧拉线满足其自身的显著特性补充,因此也是它自己的反补体

EulerLine谐波范围

这个圆心 O(运行),九点中心 N个,三角形质心 G公司,正心 小时形成a谐波范围具有

GO(开始)=1/2小时
(5)
OG公司=1/3羟基
(6)
在=1/2小时
(7)
天然气=1/6HO
(8)

(Honsberger 1995年,第7页;Oldknow 1996年)。在这里,哦圆心-正心距离,由

哦=(平方码(a^6-b^2a^4-c^2a*4-b^4a^2-c^4a*2+3b^2c^2a ^2+b^6+c^6-b|2c^4-b^4 c^2)/(4三角)
(9)
=平方码(9R^2-(a^2+b^2+c^2))
(10)
=平方码(9R^2-2S_omega),
(11)

哪里对外半径Ω(_O)康威三角形表示法

欧拉线相交这个草皮生产线在中德隆尚点、和Gergonne线在中埃文斯指向

这个等角共轭Euler线的杰拉贝克双曲线(凯西1893年,范德根1965年)。

这个等角共轭Euler线的圆双曲线经过金伯利中心X _ i对于i=2, 69, 95, 253, 264, 287, 305, 306,307、328、1441、1494、1799、1972、2373和2419。这个外双曲线也是直线的等角共轭(X_6号机组,X_(25))(P.Moses,pers.comm.,2005年2月4日)。

就这点而言P(P)位于三线坐标的欧拉线上

 aS_A+(kS_BS_C)/A:BS_B+(kT_CS_A)/B:CS_C+(kS-aS_B)/C,
(12)

与顶点的平方距离之和参考三角形等于

AP ^2+BP ^2+CP ^2=3R^2+((k-4)kOH^2)/((2+k)^2)
(13)
=3R^2+((k-4)OP^2)/k,
(14)

哪里对外半径,O(运行)圆心,小时正心参考三角形(P.Moses,律师。通信,2005年2月23日)。

下表总结了一些命名三角形(P.Moses,pers.comm.)的Euler线,其中L_(i,j)指穿过金伯利中心的线路我j个

The angle between the垂直轴Gergonne线等于Euler线和草皮线(F.Jackson,pers.comm.,2005年11月2日)。


另请参见

中心线,圆心,Euler-Gergonne-Soddy三角形,埃文斯点,Gergonne线,杰拉贝克·Hyperbola,判定元件Longchamps点,九点中心,矫形中心,草皮生产线,切向三角形,三角形质心

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J.凯西。关于点、线、圆和圆锥截面的解析几何的论述,包含其最新扩展的说明和大量示例,第2版。英语。预计起飞时间。都柏林:Hodges,Figgis,&Co.,1893年。科克塞特,H.S。M。和Greitzer,S.L。“中间三角形和欧拉线”§1.7在里面几何图形再次访问。华盛顿特区:数学。美国协会。,1967年,第18-20页。多里耶,H.“欧拉直线”§27 in100初等数学的大问题:它们的历史和解决方法。新建约克:多佛,第141-1421965页。C.V.杜雷尔。现代几何学:直线和圆。伦敦:麦克米伦出版社,第28页,1928年。洪斯伯格,R。第集在十九世纪和二十世纪的欧几里得几何中。华盛顿特区:数学。美国协会。,第7页,1995年。Kimberling,C.“三角中心和中央三角形。"恭喜。数字。 129, 1-295, 1998.奥美,C.秒。短途旅行在几何学中。纽约:多佛,第117-119页,1990年。老知道,A.“Euler-Gergonne-Soddy三角形。”阿默尔。数学。每月 103,319-329, 1996.Vandeghen,A.“关于等角和Cevian的一些评论转变。三角形显著点的对齐。"阿默尔。数学。每月 72,1091-1094, 1965.威尔斯,D。这个《企鹅好奇有趣几何词典》。伦敦:企鹅,第69页,1991年。

参考Wolfram | Alpha

欧拉直线

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Euler Line”来源数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/EulerLine.html网址

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