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维尔斯特拉斯函数


Weierstrass函数

这个病理学的功能

 f_a(x)=sum_(k=1)^infty(sin(pik^ax))/(pik^a)

(最初定义为a=2)那就是连续的但是可微分的仅在一组点上测量零点上图显示f_a(x)对于a=2(红色)、3(绿色)和4(蓝色)。

该函数由Weierstrass发布,但根据Kronecker和Weiersstrass的演讲和著作,Riemann似乎早在1861年就声称函数f(x)在实域的稠密集上是不可微的。然而,Ullrich(1997)指出没有足够的证据来决定黎曼是否真的费心为这一索赔提供详细的证据。杜博伊斯·雷蒙德(1875)无证据地陈述每个间隔(f)包含以下点(f)没有有限导数,哈代(1916)证明了它在任何无理数和一些有理数上都没有有限导数点。Gerver(1970)和Smith(1972)随后证明(f)在点集上具有有限导数(即1/2)x=(2A+1)/(2B+1)哪里一个B类是整数。Gerver(1971)随后证明(f)在形式的任何点都不可微2A/(2B+1)(2A+1)/(2B)加上哈迪的结果(f)在任何非理性值上都是不可微的,这完全解决了可微性问题(f).

令人惊讶的是f(x)可以精确计算有理数x=p/q作为

 f(p/q)=π/(4q^2)和(k=1)^(q-1)(sin(k^2ppi)/q)/(sin^2(kpi)/(2q)))。

另请参见

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参考Wolfram | Alpha

维尔斯特拉斯函数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Weierstrass函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html

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