话题
搜索

完整的

下载Mathematica笔记本下载沃尔夫拉姆笔记本

“积分”一词可以指数学中的许多不同概念。最常见的意思是微积分对应于求无穷小片段的总和以求连续区域。“integrate”的其他用法包括始终采用整数的值值（例如。，积分嵌入,完整的图表)，整数构成基本示例的数学对象（例如。，积分域)和方程的特定值（例如。，积分曲线),

在微积分，积分是可以解释为地区或概括地区.积分，连同衍生产品,是的基本目标微积分.其他词语积分包括反导数和本原。计算积分的过程被称为集成（一个更古老的术语集成是正交),积分的近似计算称为数字的集成.

这个黎曼积分是最简单的积分定义，也是物理学和初等学中唯一常见的积分定义微积分.事实上，根据杰弗里斯和杰弗里斯（1988年，第29页）的说法，“看起来这些方法[即黎曼积分的推广]是而黎曼（积分的定义）在物理学中并不罕见来偿还额外的困难。"

这个黎曼积分函数的f（x）结束x个从一到b条已写入

int_a^bf（x）dx。
(1)

注意，如果f（x）=1,积分写得很简单

内部a^bdx
(2)

与…相反整数^b1dx.

积分的每一个定义都是基于一个特定的测量例如黎曼积分基于约旦测量、和勒贝格完整的基于勒贝格测度此外，根据上下文，可以使用任何其他整数符号。例如勒贝格积分可积的功能（f）在一组上X（X）哪个是可测量的关于测量 亩经常写

整数_Xf（x）dmu。
（3）

如果集合X（X）in（）是一个间隔X=【a，b】,“subscript-superscript”表示法(2)通常是采用。黎曼积分的另一个推广是斯蒂尔切斯完整的，其中被积函数（f）在闭合区间上定义I=【a，b】可以针对实值有界函数进行积分α（x）定义于我，其结果具有形式

intf（x）dalpha（x），
(4)

或同等

intfdalpha。
(5)

在研究微分几何，贯穿其中这个被积函数 f（x）dx被认为是更一般的有差别的k个-形式 ω=f（x）dx并且可以是集成的在一个集合上X（X）使用任一等效符号

int_Xomega=int_Xfdmu，
(6)

哪里亩是上述勒贝格测度。值得注意的是，等式（）左侧的符号类似到上面表达式（）中的值。

有两类（黎曼）积分：定积分例如(5)，有上限和下限，和不定积分，例如

积分f（x）dx，
(7)

写得没有限制。第一个微积分基本定理允许定积分根据以下内容计算不定积分,因为如果F（x）是不定积分对于f（x），然后

int_a^bf（x）dx=F（b）-F（a）。
(8)

更重要的是，第一个微积分基本定理可以在以下方面更一般地重写有差别的形式（如上文（）所述）表示完整的微分形式的欧米茄超过边界 部分欧米茄其中一些可定向的歧管 欧米茄等于外部导数 圆顶形属于欧米茄在…的内部欧米茄即。，

int_（partialOmega）ω=int_Omegadomega。
(9)

以这种形式书写，第一基本的微积分定理被称为斯托克斯定理.

由于常数的导数为零，不定积分的定义仅限于任意积分常数 C类即。，

intf（x）dx=F（x）+C。
(10)

Wolfram Research维护一个网站http://integrations.wolfram.com/可以找到不定积分许多常见（和不太常见）函数。

微分积分可以得到一些有用且强大的恒等式。例如，如果f（x）是连续的，那么

d/（dx）int_a^xf（x^'）dx^'=f（x），
(11)

哪个是第一个基本定理微积分其他衍生积分恒等式包括

d/（dx）int_x^bf（x^'）dx^'=-f（x），
(12)

这个莱布尼兹积分法则

d/（dx）int_a^bf（x，t）dt=int_a^bpartial/（partialx）f（x、t）dt
(13)

（卡普兰1992年，第275页），其概述

d/（dx）int_（u（x））^
(14)

（卡普兰1992年，第258页），以及

d/（dx）int_a^xf（x，t）dt=1/（x-a）int_a ^x[（x-a，
(15)

通过应用可以看出(14)在的左侧(15)并使用部分积分。

其他积分恒等式包括

int_0^xdt_nint_0^（t_n）dt_（n-1）。。。int 0^（t3）dt2（t2）f（t1）dt1=1/（n-1）！）整数0^x（x-t）^（n-1）f（t）dt
(16)
部分/（部分x_k）（x_jJ_k）=增量_（jk）J_k+x_jpartial/（部分x_ k）J_ k=J+rdel·J
(17)
int_VJd^3r（输入_ VJd ^3r）=int_Vpartial/（partialx_k）（x_iJ_k）-int_Vrdel·Jd^3r
(18)
=-int_Vrdel·Jd^3r公司
(19)

和有趣的积分恒等式

int_（-infty）^inftyF（f（x））dx=int_（-infty）^inftyF（x）dx，
(20)

哪里F类是任何函数，并且

f（x）=x-sum_（n=0）^infty（a_n）/（x+b_n）
(21)

只要a_n>=0和b_n（b_n）是真实的（Glasser 1983）。

有理指数积分通常可以通过代换求解u=x^（1/n），其中n个是最小公倍数的分母指数。

另请参见

A-可积,阿贝尔积分,微积分,切比雪夫·高斯正交,切比雪夫求积,达布积分,明确完整的,Denjoy积分,导数,微分几何,有差别的k-表格,双指数积分,二重积分,欧拉完整的,表单集成,基础高斯求积定理,高斯-雅各比机械正交,高斯求积,哈尔积分,赫米特·高斯正交,香港积分,不确定完整的,积分微积分,集成,雅可比-高斯求积,拉盖尔-高斯正交,勒贝格积分,斯蒂杰完整的,Legendre-Gauss正交,莱布尼茨积分法则,洛巴托正交,多重积分,嵌套功能,牛顿-库特斯公式,数值积分,佩伦完整的,正交,拉道正交,递归单音稳定正交,重复积分,Romberg集成,黎曼完整的,奇异积分,斯蒂尔切斯完整的,斯托克斯定理,三倍的完整的 探索数学世界课堂上的这个主题

本条目的部分内容由克里斯托弗斯托弗

与Wolfram一起探索| Alpha

新型网络搜索引擎

更多需要尝试的事情：

工具书类

Beyer，W.H。“积分。”CRC标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第233-296页，1987Boros，G.和Moll，V。不可抗拒的积分：积分评估中的符号学、分析和实验。英国剑桥：剑桥大学出版社，2004年。M.布朗斯坦。象征的集成I：超越功能。纽约：Springer-Verlag，1996年。杜布克，W.G.公司。“回复：网上免费提供积分。”math-fun@cs.arizona.edu公司1996年9月24日发布。Glasser，M.L。“卓越的财产定积分。"数学。计算。 40，561-5631983年。戈登，注册会计师。这个勒贝格积分、登霍伊积分、佩伦积分和亨斯托克积分。普罗维登斯，RI:Amer。数学。Soc.，1994年。I.S.格雷斯泰恩。和I.M.Ryzhik。桌子积分、级数和乘积，第6版。加州圣地亚哥：学术出版社，2000Jeffreys，H.和Jeffrey，B.S。方法数学物理第三版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第29页，1988年。W.卡普兰。高级微积分，第4版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1992年。皮森斯，R。；de Doncker，E。；Uberhuber，C.W。；和Kahaner，D.K。QUADPACK公司：用于自动集成的子程序包。纽约：Springer-Verlag，1983J.F.里特。集成有限术语：刘维尔的初等方法理论。纽约：哥伦比亚大学出版社，第37页，1948年。Shanks，D。解决了的《数论中未解决的问题》，第四版。纽约：切尔西，第145页，1993Wolfram研究。“集成商。”http://integrations.wolfram.com/.

引用的关于Wolfram | Alpha

完整的

引用如下：

克里斯托弗·斯托弗和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“积分”来源数学世界--一只狼Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Integral.html

主题分类