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Cauchy-Riemann方程

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让

f（x，y）=u（x，y）+iv（x，γ），
(1)

哪里

z=x+iy，
(2)

所以

dz=dx+idy。
(3)

的总导数如果关于z（z）就是那个时候

（df）/（dz）=（部分）/（部分）
(4)
=1/2（（partial）/（partialx）-i（partialf）/（partialy））。
(5)

依据u个和v（v）,(5)成为

（df）/（dz）=1/2[（（partialu）/（partialx）+i（partial）/
（6）
=1/2[（（partialu）/（partialx）+i（partial）/（partialx））+（-i（partiala）/（pertialy）+（partialv）/。
(7)

沿着真实，或x个-轴,partialf/partialy=0，所以

（df）/（dz）=1/2（（partialu）/。
(8)

沿着想象的，或年-轴,partialf/partialx=0，所以

（df）/（dz）=1/2（-i（部分）/（部分）+（部分）。
(9)

如果如果是复可微，然后是值对于给定的第纳尔，无论其方向如何。因此(8)必须等于(9)，这需要

（partialx）=（partial）/（partialy）
(10)

和

（partial）/（partialx）=-（partialu）/（partialy）。
(11)

这些被称为Cauchy-Riemann方程。

它们导致了这些条件

（部分^2 u）/（部分^2）=-（部分^2u）/（部分^2）
(12)
（部分^2v）/（部分^2）=-（部分^2v）/（部分^2）。
(13)

Cauchy-Riemann方程可以简洁地写成

（df）/（dz^_）=1/2[（partialf）/（partialx）+i（partial）/（partialy）]
(14)
=1/2[（（partialu）/（partialx）+i（partial）/（partialx））+i
(15)
=1/2[（（partialu）/（partialx）-（partial）/（partialy））+i
(16)
=0,
(17)

哪里z（z）^_是复共轭.

如果z=re^（itheta）,然后Cauchy-Riemann方程变成

（偏u）/（偏r）=1/r（部分）/（部分）
(18)
1/r（partialu）/（partialtheta）=-（部分）/（部分）
(19)

（Abramowitz和Stegun，1972年，第17页）。

如果u个和v（v）满足Cauchy-Riemann方程，它们也满足拉普拉斯的方程式在两个维度上，因为

（部分^2u）/（部分^2）+（部分^2-u）/
(20)
（部分^2v）/（部分^2）+（部分^2Av）/。
（21）

通过选择任意f（z），可以找到自动满足柯西-黎曼方程和拉普拉斯方程.这个事实被用来保形映射寻找涉及标量势（如流体）的物理问题的解决方案流动和静电。

另请参见

分析函数,反分析功能,柯西积分定理,复数导数,保角的映射,整个函数,单基因功能,多基因功能

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工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，1972年第17页。Arfken，G.《Cauchy-Riemann条件》§6.2英寸数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第360-365页，1985Knopp，K.“Cauchy-Riemann微分方程”§7英寸理论功能第一部分和第二部分，两卷合订为一，第一部分。纽约：多佛，第28-311996页。S.G.将军。“科希·里曼方程式。“§1.3.2手册复杂变量。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，第13页，1999年。莱文森，N.和Redheffer，R.M。复杂变量。加利福尼亚州旧金山：Holden-Day，1970年。D.茨威林格。手册微分方程，第3版。马萨诸塞州波士顿：学术出版社，第137页，1997

参考Wolfram | Alpha

Cauchy-Riemann方程

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Cauchy-Riemann方程。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Cauchy-RiemannEquations.html

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