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雅可比椭圆函数

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雅可比椭圆函数是椭圆函数表示了三个基本功能cn（u，k）,dn（u，k）、和sn（u，k），其中k个被称为椭圆模量.它们来自于椭圆形第一类积分,

u=F（φ，k）=int_0^φ（dt）/（平方（1-k^2sin^2t）），
（1）

哪里0<k ^2<1,k=模块是椭圆模量、和φ=am（u，k）=am（u）是雅各比振幅，给予

φ=F^（-1）（u，k）=am（u，k）。
（2）

由此可知

辛菲=sin（am（u，k））
(3)
=sn（u，k）
(4)
科斯菲=cos（am（u，k））
(5)
=cn（u，k）
(6)
平方米（1-k^2sin^2phi）=平方米（1-k^2sin^2（上午（u，k））
(7)
=dn（u，k）。
(8)

这些函数是满足下列条件的三角函数的双周期推广

sn（u，0）=新几内亚
(9)
cn（u，0）=cosu公司
(10)
dn（u，0）=1
(11)

依据雅可比θ函数,

sn（u，k）=（θ3）/（θ2）（θ1（utheta3^（-2）））
(12)
cn（u，k）=（θ_4）/（θ_2）（θ_（utheta_3^（-2）））
(13)
dn（u，k）=（θ_4）/（θ_3）（θ_（utheta_3^（-2）））
(14)

（Whittaker和Watson，1990年，第492页），其中θi=θi（0）（惠塔克和沃森1990年，第464页）和椭圆模量由提供

k=（θ_2^2（q））/（θ_3^2（q））。
(15)

雅可比椭圆函数的比值由分子具有第一个分母椭圆函数。乘法椭圆函数的逆函数是通过颠倒两者的顺序来表示的信件。这些组合总共提供了12个函数：cd、cn、cs、dc、dn、ds、，nc、nd、ns、sc、sd和sn。这些函数在沃尔夫拉姆语言作为雅各比森[z（z）,米]类似地，逆雅可比函数实现为逆JacobiSN[v（v）,米]等等。

这个雅可比振幅 φ定义为sn（u，k）通过

y=sinphi=sn（u，k）。
（16）

这个k个为了简洁，参数通常被抑制，例如，sn（u，k）可以写为snu公司.

雅可比椭圆函数在K（K）和K^'（K）作为

sn（u+2mK+2niK^'，k）=（-1）^msn（u，k）
(17)
cn（u+2mK+2niK^'，k）=（-1）^（m+n）cn（u，k）
(18)
dn（u+2mK+2niK^'，k）=（-1）^ndn（u，k），
(19)

哪里K（K）是完全椭圆积分第一类,K^'（K）=K（K^'）、和k^'=平方（1-k^2）（Whittaker和Watson，1990年，第503页）。

这个美国有线电视新闻网,dnx公司,和snx公司函数也可以定义为微分方程的解

（d^2y）/（dx^2）=（2-k^2）y-2y^3
(20)
（d^2y）/（dx^2）=-（1-2k^2）y-2k^2y^3
(21)
（d^2y）/（dx^2）=-（1+k^2）y+2k^2y^3，
(22)

分别是。

标准Jacobi椭圆函数满足恒等式

sn^2u+cn^2u=1
(23)
k^2sn^2u+dn^2u=1
(24)
k^2cn^2u+k^（'2）=dn^2u
(25)
cn^2u+k^（'2）sn^2u=dn^2单位。
（26）

特殊值包括

cn（0，k）=cn（0）=1
(27)
cn（K（K），K）=cn（K（K））=0
(28)
dn（0，k）=dn（0）=1
(29)
dn（K（K），K）=dn（K（K））=K^'=平方（1-K^2），
(30)
sn（0，k）=sn（0）=0
(31)
sn（K（K），K）=sn（K（K））=1，
(32)

哪里K=K（K）是一个完全椭圆积分第一类和k^'=平方（1-k^2）是互补的椭圆形模数（Whittaker和Watson，1990年，第498-499页），以及

cn（u，1）=塞丘
(33)
dn（u，1）=塞丘
(34)
sn（u，1）=檀湖。
(35)

就积分而言，

u个=int_0^（sn（u，k））（1-t^2）^（-1/2）（1-k^2t^2
(36)
=int_（ns（u，k））^infty（t^2-1）^（-1/2）（t^2-l^2）^（-1/2）dt
(37)
=int_（cn（u，k））^1（1-t^2）^（-1/2）（k^（'2）+k^2t^2
(38)
=int_1^（nc（u，k））（t^2-1）^（-1/2）（k^（'2）t^2+k^2）^
(39)
=int_（dn（u，k））^1（1-t^2）^（-1/2）（t^2-k^（'2））^
(40)
=int_1^（nd（u，k））（t^2-1）^（-1/2）（1-k^（'2）t^2）^
(41)
=int_0^（sc（u，k））（1+t^2）^（-1/2）（1+k^（'2）t^2
(42)
=int_（cs（u，k））^infty（t^2+1）^（-1/2）（t^2+k^（'2））^
(43)
=int_0^（sd（u，k））（1-k^（'2）t^2）^（-1/2）（1+k^2t^2
(44)
=int_（ds（u，k））^infty（t^2-k^（'2））^（-1/2）（t^2+k^2）^
(45)
=int_1^（cd（u，k））（1-t^2）^（-1/2）（1-k^2t^2
(46)
=int _（dc（u，k））^1（t^2-1）^（-1/2）（t^2-k^2）^
(47)

（Whittaker和Watson，1990年，第494页）。

雅可比椭圆函数加法公式包括（例如，其中，sn（u，k）写为snu公司为了简洁起见），

sn（u+v）=（snucnvdnv+snvcnudnu）/（1-k^2sn^2usn^2v）
(48)
cn（u+v）=（cnucnv-snusnvdnudnv）/（1-k^2sn^2usn^2v）
(49)
dn（u+v）=（dnudnv-k^2snusnvcnucnv）/（1-k^2sn^2usn^2v）。
(50)

扩展到整数周期，

sn（u+K）=（cnu）/（dnu）
(51)
cn（u+K）=-（k^'snu）/（dnu）
（52）
dn（u+K）=（k^'）/（dnu）
(53)
sn（u+2K）=-snu公司
(54)
cn（u+2K）=-中国核工业大学
(55)
dn（u+2K）=脱氧核糖核酸
(56)

对于复杂的论据，

sn（u+iv）=（sn（u，k）dn（v，k^'））/（1-dn^2
(57)
cn（u+iv）=（cn（u，k）cn（v，k^'））/（1-dn^2（u，k）sn^2（v，k^'）
(58)
dn（u+iv）=（dn（u，k）cn（v，k^'）dn（v，k^'））/（1-dn^2（u，k）sn^2（v，k^'））-（ik^2（u，k）cn（u，k）sn（v，k^'））/（1-dn^2（u，k）sn^2（v，k^'））。
(59)

衍生品雅可比椭圆函数包括

（dsnu）/（du）=克努德努
(60)
（dcnu）/（du）=-斯努德努
(61)
（ddnu）/（du）=-k^2核素
（62）

（Hille 1969，第66页；Zwillinger 1997，第136页）。

涉及Jacobi椭圆函数的双周期公式包括

锡（2u）=（2snucnunu）/（1-k^2sn^4u）
(63)
cn（2个）=（1-2sn^2u+k^2sn^4u）/（1-k^2nsn^4u）
(64)
dn（2u）=（1-2k^2sn^2u+k^2nsn^4u）/（1-k^2ssn^4u）。
(65)

涉及雅可比椭圆函数的半周期公式包括

锡（1/2K）=1/（平方米（1+k^'））
(66)
cn（1/2K）=平方米（（k^'）/（1+k^'））
(67)
dn（1/2K）=平方米（k^'）。
(68)

平方公式包括

锡^2u=（1-cn（2u））/（1+dn（2u））
(69)
中国^2u=（dn（2u）+cn（2u））/（1+dn（2 u））
(70)
dn^2u=（dn（2u）+cn（2u））/（1+cn（2 u））。
（71）

Hermite（1863）、Schett（1977）和Dumont（1981）考虑了Jacobi椭圆函数的Taylor级数，

cn（u，k）=1-1/2u^2+1/（24）（1+4k^2）u^4-1/（720）（1+44k^2+16k^4）u^6+。。。
(72)
dn（u，k）=1-1/2k^2u^2+1/（24）（4k^2+k^4）u^4-1/（720）（16k^2+44k^4+k^6）u^6+。。。
(73)
sn（u，k）=u-1/6（1+k^2）u^3+1/（120）（1+14k^2+k^4）u^5+。。。
(74)

（Abramowitz和Stegun，1972年，等式16.22）。

另请参见

椭圆函数,雅可比振幅,雅可比微分方程,雅可比的虚变换,第二类雅可比函数,Jacobi Theta函数,魏尔斯特拉斯椭圆函数

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。《雅可比椭圆函数和Theta函数》第16章手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第567-5811972页。R.E.贝尔曼。A类Theta函数简介。纽约：霍尔特、莱茵哈特和温斯顿，1961Briot，C.和Bouquet，C。省略号功能，第2版。巴黎：高铁维拉斯，1875年。伯德，P.F。和弗里德曼，医学博士。手册工程师和科学家椭圆积分，第2版，修订版。柏林：斯普林格·弗拉格，1971年。Dumont，D.“Une进近组合des雅各比省略号功能。”高级数学。 41, 1-39, 1981.赫米特，C.“Remarque sur le dédevelopment decosamx公司."科学研究院 57,613-618, 1863. 重印于J.数学。pures应用程序。 9, 289-295, 1864.也在中重印查尔斯·埃尔米特作品集，第2卷。巴黎：Gauthier-Villars，第264-270页，1908年。希勒，E。讲座关于常微分方程。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1969年。莫尔斯，下午。和Feshbach，H。方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第433页，1953年。按下，W.H。；弗兰纳里，B.P。；Teukolsky，S.A。；和韦特林。《椭圆积分和雅可比椭圆函数》第6.11节数字的FORTRAN:科学计算的艺术，第二版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第254-263页，1992年。Schett，A.“复发雅可比椭圆函数泰勒级数展开系数的公式。"数学。计算。 32, 1003-1005, 1977.斯潘尼尔、J.和奥尔德姆，英国。《雅可比椭圆函数》第63章安功能地图集。华盛顿特区：《半球》，第635-6521987页。特尔克，F.“Jacobische elliptische Funktitionen und zugehörige对数Ableitungen，”“Jacobischen elliptischen Funktionen和elliptische Normalentegrale的Umkehrfunktionen埃斯特·加通。Elliptische Amplitudenfunctionen sowie Legendresche公司F类-und（单位）E类-功能。Elliptische正规积分zweiter Gattung。雅各布谢·泽塔-und Heumansche Lambda-Funktionen”和“正规积分滴流Gattung”。Legendresche传奇圆周率-功能。正规积分的Zurückführung des allgemeinen elliptischen积分erster、zweiter和dritter Gattung。“Chs.5-7英寸Praktische公司Funktitonenlehre，滴带：Jacobische elliptische Funktitionen，Legendresche elliptische正规积分和spezielle Weierstraßsche Zeta和Sigma Funktitonen。柏林：Springer-Verlag，第1-144页，1967年。Tölke，F。Praktische公司Funktitionlenlehre，vierter乐队：Elliptische Integralgruppen und Jacobische ElliptescheKomplexen的Funktitonen。柏林：Springer-Verlag，1967年。特洛特，M.“数学指南附加材料：Jacobi椭圆的ODE关于模量的函数sn。"http://www.mathematicaguidebooks.org/addressions.shtml#S_3_04.惠塔克，E.T.公司。和G.N.Watson。A类现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1990年。D.茨威林格。手册微分方程，第3版。马萨诸塞州波士顿：学术出版社，1997年。

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雅可比椭圆函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“雅可比椭圆函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/JacobiEllipticFunctions.html

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