在数论,的算术导数或数字导数是算术函数为定义自然数,基于他们素因子分解以及与产品规则类比的产品规则导数用于分析的函数。
自然数的算术导数
定义
-
对于任何素数
-
对于任何.
考虑自然数的素因子分解
哪里是不同的素因子属于,ω(n)是不同素因子的个数属于和是正整数,
因此其算术导数由下式给出
1的算术导数
根据莱布尼茨规则
因此
阿尔索
自从空总和为0。
-1的算术导数
根据莱布尼茨规则
因此
-n的算术导数
根据莱布尼茨规则
因此
0的算术导数
与函数导数在分析中,和的算术导数不是算术导数的和,所以如下
因此
是一个错误的“证据”。但结果是正确的:
因此
所以
-
E.J.Barbou是第一个将这个定义形式化的人。他通过证明将其推广到所有整数唯一定义导数整数巴博还将其扩展到有理数维克托·乌夫纳罗夫斯基和博奥伦德将其扩展到代数数在这些扩展中,上述公式仍然适用,但指数允许是任意有理数。
属性
0或单位(1,-1)的算术导数
的算术导数为零当且仅当是零或a单元(即可逆元素)。
整数素数的算术导数
整数素数是单位(1,-1)乘以正素数.
整数素数(单位(1,-1)乘以正素数的算术导数)是单位吗(当且仅当规则)
整数素数的算术二阶导数
因此整数素数的算术二阶导数为零(当且仅当规则)
权力规则(适用于主要权力)
算术导数保留了幂律(对于主要权力):
哪里是质数并且是一个正整数。
算术对数导数
所以我们可以定义算术对数导数属于作为
有理数的算术导数
对于任何非零
-
因此
对于任何(商法则),我们有
- ,
这类似于导数分析中的函数。
属性
算术导数保留了幂律(对于负数主要权力):
哪里是质数并且
序列
的算术导数,给出了序列A003415号
- {0, 0, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 12, 6, 7, 1, 16, 1, 9, 8, 32, 1, 21, 1, 24, 10, 13, 1, 44, 10, 15, 27, 32, 1, 31, 1, 80, 14, 19, 12, 60, 1, 21, 16, 68, 1, 41, 1, 48, 39, 25, 1, 112, 14, 45, 20, 56, 1, 81, 16, 92, 22, 31, 1, 92, 1, 33, 51, ...}
高斯整数的算术导数
Ufnarovski和Ahlander简要地提到了这个想法,但他们没有追求它,因为高斯整数不是整数算术导数的扩展。每个非零高斯整数都有一个唯一的因子分解为单元(1,-1,i,-i)和正幂高斯素数(即高斯素数哪里和).
定义
- 所有正(第一象限)高斯素数的算术导数定义为1
-
-
0或单位(1,-1,i,-i)的算术导数
该定义导致以下结果
- 单位(1,-1,i,-i)乘以高斯整数的算术导数等于该单位乘以该高斯整数的数学导数
-
高斯素数的算术导数
高斯素数是单位(1,-1,i,-i)乘以正高斯素数。
高斯素数的算术导数(单位(1,-1,i,-i)乘以正高斯素数)就是这个单位(当且仅当规则)
-
高斯素数的算术二阶导数
这个算术二阶导数因此,高斯素数为零(当且仅当规则)
-
高斯有理数的算术导数
算术导数的这个定义可以推广到分数,其中和是高斯整数。
概括
关系暗示,但这并不意味着对于一个素数。事实上,任何函数定义在素数上的函数可以唯一地扩展到满足此关系的整数上的函数(Cf。A003415号,评论来自:Franklin T.Adams Watters(FrankTAW(AT)Netscape.net),2006年11月7日):
-
应用
Emmons、Krebs和Shaheen提出了几个涉及算术导数研究的本科项目。[1]
另请参见
参考文献
- E.J.Barbeau,“关于算术导数的评论”,加拿大数学公报,第4卷(1961年),117-122。
- 维克托·乌夫纳罗夫斯基和博奥伦德,“如何区分数字”,整数序列杂志第6卷(2003年),第03.3.4条。
- ↑ Caleb Emmons、Mike Krebs、Anthony Shaheen、,如何区分以n为模的整数,《大学数学杂志》 40第5页,第345-353页(2009年)。
外部链接