代数数

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这个代数数是具有整数系数的非恒定多项式方程的根（即。${\显示样式\脚本样式\{x\，|\，P（x）\，=\，0，\，P$)

${显示样式P（x）=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{n}x^}n}+a_{n-1}x^n-1}+a_2}x^2}+\cdots+a_2{2}x^_2}+a_1}x^1}+a_{0}x^0}=0，}$

具有${\displaystyle\scriptstylen\，\geq\，1，\，a_{i}\，\in\，\mathbb{Z}，\，a _{n}\，\ geq，1.}$多项式称为原始的什么时候${\显示样式\脚本样式\gcd（a{n}，\$等价地，代数数是具有有理系数的非恒定一元多项式方程的根${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Q}[x]}$.

例如，数字3，${\displaystyle\scriptstyle{\frac{-1-{\sqrt{-23}}}{4}}\，}$和${\displaystyle\scriptstyle{\frac{-1+{\sqrt{-23}}}{4}}\，}$都是代数数，因为它们是方程的根${\显示样式4x^{3}-10x^{2}-18=0}$.

这个最小多项式对于代数数${\displaystyle\scriptstyle\alpha}$是最小的本原多项式度其中有${\displaystyle\scriptstyle\alpha}$作为一个根（多项式是这样的不可约的，即不能分解为具有整数系数的低阶多项式）。例如，${\displaystyle\scriptstyle{\frac{\sqrt{-5}}{2}}$是一个代数数，并且${\显示样式4x^{2}+5=0}$是它的最小多项式。

如果整系数多项式为一元论的即领先系数${\显示样式\脚本样式a{n}\，=\，1}$，则多项式根为代数整数（1次代数整数是“线性整数”，称为有理整数在里面数论（该戒指中的整数领域属于有理数)，通常称为整数 ${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Z}\，}$.)

代数数的最小多项式次数

1. 有理数：一阶代数数]](有理整数：一阶代数整数）
2. 二次方数字：二次代数数(二次整数：二阶代数整数）
3. 立方数字：三次代数数(三次整数：三阶代数整数）

代数数的分次序

请参见：代数数的排序.

算术数字

算术数字是可以用有限个代数运算表示的代数数，其中包括域运算（+、−、×、/）和带[常数]有理指数的指数（即。权力和/或根拔除).

一种代数数，可以表示为一个有限的加、减、乘、除、幂（具有整数指数）和根（具有整数索引，例如平方根、立方根等）序列自然数有时被称为“算术数字。”

例如

${\显示样式{\frac{{\sqrt[{101}]{19}}+127{\sqart[{29}]{257+{\sqrt[{67}]{13+{\scrt{-71}}}}{87-64{\sqert[{997}]{97}}}，}$

是一个算术数（一个“显式”闭式代数数）。

算术数是代数数的一个适当子集。虽然所有4阶以下的代数数都是算术数，但并非所有5阶及以上的代数数均是算术数。例如${\显示样式x^{5}+x+1=0}$不是算术。（的根$显示样式p（x）=x^{5}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$，如果${\显示样式p（x）}$是不可约的[即不能分解为具有整数系数的低阶多项式]，并且如果${\显示样式a}$和${\显示样式b}$是均匀的，并且${\显示样式c}$和${\显示样式d}$是奇数，不是算术。）

一般来说，多项式的根是算术的当且仅当Galois群的扩展字段多项式的${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Q}\，}$是可解决的.

超越数

不是任何整数系数多项式根的数字称为超越数代数数是复数，因此几乎所有的数字都是超越的。示例包括${\显示样式\脚本样式47\pi\，}$.

另请参见

• 订单
• 超越数

外部链接

• Leo Goldmakher（多伦多大学），施工中！（…）复平面代数数域的可视化（…）（图片由斯蒂芬·J·布鲁克斯绘制。）
• 罗伯特·穆纳福，RIES-找到代数方程及其解.