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评论
条目1到79与对应的子序列匹配A043095型,但随后81、91-98、100、102等仅在两个序列中的一个序列中-R.J.马塔尔2008年10月13日
a(n)=n以9为基数,其中不允许零,但允许九。使用的九个不同的数字是1、2、3…、。。。,9而不是0,1,2。。。,8.要从允许零的“规范”基9序列中获得此序列,只需将任何0替换为9,然后从左侧的一组数字中减去1即可。例如,9^3=729(10)(以10为基数)=1000(9)(以9为基数)=889-罗宾·加西亚2014年1月15日
反转:给定一个项m,指数n,使得a(n)=m可以通过以下公式计算A052382号_逆(m)=m-sum{1<=j<=k}floor(m/10^j)*9^(j-1),其中k:=floor(log_10(m))[有关Smalltalk中的实现,请参阅Prog部分]。
示例1:A052382号_逆(137)=137-(楼层(137/10)+楼层(137/100)*9)=137-(13*1+1*9)=137-22=115。
示例2:A052382号_反向(4321)=4321-(楼层(4321/10)+楼层(4321/100)*9+楼层(4321/1000)*81)=4321-(432*1+43*9+4*81)=4321-(432+387+324)=3178。(结束)
这些数字从a(1)=1到无穷大的倒数之和,称为Kempner级数,收敛到一个极限:23.103447……其十进制展开式为A082839号. -伯纳德·肖特2019年2月23日
整数n>0使用以9为基数的双射数字编码,请参阅下面的维基百科链接-阿洛伊斯·海因茨,2020年2月16日
参考文献
保罗·哈尔莫斯(Paul Halmos),“年轻人和老年人的数学问题”,多尔恰尼数学博览会,1991年,第258页。
配方奶粉
a(n+1)=f(a(n)),其中f(x)=1+如果x模10<9,则x其他10*f([x/10])-莱因哈德·祖姆凯勒2009年11月15日
a(n)=总和{j=0..m-1}(1+b(j)mod 9)*10^j,其中m=楼层(log_9(8*n+1)),b(j。
另外:a(n)=和{j=0..m-1}(1+A010878号(b(j))*10^j。
a(9*n+k)=10*a(n)+k,k=1..9。
特殊值:
a(k*(9^n-1)/8)=k*(10^n-1”)/9,k=1..9。
a((17*9^n-9)/8)=2*10^n-1。
a((9^n-1)/8-1)=10^(n-1)-1,n>1。
不平等:
a(n)<=(1/9)*((8*n+1)^(1/log_10(9))-1),等式适用于n=(9^k-1)/8,k>0。
a(n)>(1/10)*(8*n+1)^(1/log_10(9))-1),n>0。
下限和上限:
lim-inf a(n)/10^log9(8*n)=1/10,对于n->无穷大。
lim-inf a(n)/n^(1/log_10(9))=8^(1/1log_10,9))/10,对于n->无穷大。
lim-supa(n)/10^log9(8*n)=1/9,对于n->无穷大。
lim-supa(n)/n^(1/log_10(9))=8^(1/1log_10,9)/9,对于n->无穷大。
通用公式:G(x)=(x^(1/8)*(1-x))^(-1)和{j>=0}10^j*z(j)^。
另外:g(x)=(1/(1-x))和{j>=0}(1-10(x^9^j)^9+9。这里,f_j服从递归f_0(x)=1/(1-x^9),f_(j+1)(x)=10x*f_j(x^9。
另外:g(x)=(1/(1-x))*((总和{k=0..8}h_(9,k)(x))-9*h_(9,9)(x。
数字以p为基数且仅使用数字1、2、3…的类似序列的通用公式。。。d、 其中1<d<p:
a(n)=总和{j=0..m-1}(1+b(j)mod d)*p^j,其中m=楼层(log_d((d-1)*n+1)),b(j。
特殊值:
a(k*(d^n-1)/(d-1))=k*(10^n-1。
a(d*((2d-1)*d^(n-1)-1)/(d-1))=((d+9)*10^n-d)/9=10^n+d*(10^n-1)/9。
a((d^n-1)/(d-1)-1)=d*(10^(n-1)-1,/9,n>1。
不平等:
a(n)<=(10^log_d((d-1)*n+1)-1)/9,等式适用于n=(d^k-1)/(d-1),k>0。
a(n)>(d/10)*(10^log_d((d-1)*n+1)-1)/9,n>0。
下限和上限:
lim-inf a(n)/10^log_d((d-1)*n)=d/90,对于n->无穷大。
lim-supa(n)/10^log_d((d-1)*n)=1/9,对于n->无穷大。
G.f.:G(x)=(1/(1-x))和{j>=0}(1-(d+1)(x^d^j)^d+d(x^d_j)^(d+1。这里,f_j服从递归f_0(x)=1/(1-x^d),f_(j+1)(x)=px*f_j(x^d。
(结束)
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=0.696899720。。。
和{n>=1}1/a(n)^2=1.6269683705819。。。
和{n>=1}1/a(n)=23.1034479=A082839号这个所谓的凯姆普纳级数收敛得很慢。对于总和的计算,使用以下快速收敛的部分和分数是有帮助的:
lim{n->无穷}(和{k=p(n)..p(n+1)-1}1/a(k))/(和{k=p(n-1)..p。
(结束)
MAPLE公司
a: =proc(n)局部d,l,m;m: =n;l: =空;
当m>0时,d:=irem(m,9,'m');
如果d=0,则d:=9;m: =m-1 fi;
l: =d,l
od;解析(cat(l))
结束时间:
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a052382 n=a052382_list!!(n-1)
a052382_list=迭代f 1,其中
f x=1+如果r<9,则x其他10*f x',其中(x',r)=divMod x 10
(岩浆)[1..114]中的n:n不是Intseq(n)中的0//布鲁诺·贝塞利2011年5月28日
(sh)seq 0 1000 | grep-v 0#乔格·阿恩特2011年5月29日
(PARI)a(n)=for(w=0,oo,if(n>=9^w,n-=9^w,return((10^w-1)/9+from digits(digits(n,9))))\\雷米·西格里斯特2017年7月26日
(PARI)
应用({A052382号(n,L=logint(n,9))=来自数字(数字(n-9^L>>3,9)+10^L\9},[1..100])
下一个_A052382号(n,d=数字(n+=1))={表示(i=1,#d,d[i]||return(n-n%(d=10^(#d-i+1))+d\9));n}\\least a(k)>n。用于A038618美元.
\\有关更多程序,请参阅OEIS Wiki页面(请参阅LINKS)-M.F.哈斯勒2020年1月11日
(Smalltalk)
^自零:10
^自零自由反向:10
零自由:基数
“回答基数中的第n个零自由数,其中n是接收器。对于基数>2有效。
用法:n无零:b[b=10用于此序列]
答案:a(n)“
|n m s c双ci d|
n:=自身。
c:=基础-1。
m:=(基数-2)*n+1整数floorLog:c。
d:=n-(((c raisedToInteger:m)-1)//(基数-2))。
bi:=1。
ci:=1。
s:=0。
1至:m
执行:
[:i|
s:=(d//ci\\c+1)*bi+s。
bi:=基础*bi。
ci:=c*ci]。
^秒
zerofree_inverse:基数
“回答索引n,使基数中的第n个零自由数=m,其中m是接收器。对于基数>2有效。
用法:m zerofree_inverse:b[b=10用于此序列]
答案:n“
|百万分之一秒|
m:=自身。
s:=0。
p:=基础。
q:=1。
[p<m]whileTrue:
[秒:=m//p*q+s。
p:=基础*p。
q:=(基数-1)*q]。
^米-秒
(Python)
A052382号=[n代表范围(1,10**5)中的n,如果不是str(n).count('0')]
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