“1965年,蒂博·拉多(Tibor Rado)和沈林(Shen Lin)一起证明了a(3)是21。(……)接下来,在1983年,阿兰·布雷迪证明了a(4)是107。(…)然后在1989年,Heiner Marxen和Jürgen Buntrock发现a(5)至少是47176870。(……)至于a(6),Marxen和Buntrock在1997年创造了另一项记录,证明其至少为8690333381690951。”
函数Sigma(n)=Sigma(A028444号)表示具有n个内部状态(加上停止状态)、2个符号和双向无限磁带的图灵机可以在初始空白磁带(全部为0)上写入然后停止的最大磁带标记数(1)。函数a(n)(当前序列)表示这样的机器可以进行的最大步数S(n)=S(n,2)(因此移位,因为方向NONE被排除在外)(不一定是产生最大1数的同一图灵机,甚至不需要产生许多带标记)。
考虑到5态2符号暂停图灵机可以计算类Collatz同余函数(参见参考文献),可能很难找到下一项。
序列的增长速度比n的任何可计算函数都快,因此是无可争辩的。
更准确的定义如下:
Busy Beaver问题:a(n)是图灵机在{LEFT,RIGHT},5-tuple(q,s,q+,s+,d+)中的n状态,2符号,d+可以在一个初始空白磁带上执行的最大步骤数,然后停止。
进一步评论:
H_(n,k)中的H是具有n个状态和k个符号的暂停*图灵机;
*(在空白磁带上(所有0)作为输入)
n个不同状态集合q_n中的状态q,q+(加上暂停状态);
符号s,s+在k个不同符号的集合s_k中(0作为空白符号);
{LEFT,RIGHT}中的移位方向d+(此处不包括NONE);
sigma(H)是H留在磁带上的非空白符号数;
s(H)是H所采取的步骤数(在我们的情况下是移位数);
Sigma(n,k)=max{Sigma(H):H是一个有n个状态和k个符号的暂停图灵机}
S(n,k)=max{S(H):H是一个有n个状态和k个符号的暂停图灵机}
a(n)是S(n)=S(n,2),因为假设是2符号BB-类图灵机。
对于所有n,S(n,k)>=西格玛(n,k),k>=2。(结束)
a(6)>10^^15,一座10’s高的塔楼,15[Pavel Kropitz]-参见Shawn Ligocki的博客-N.J.A.斯隆2022年6月22日
推测a(5)=47176870(Scott Aaronson链接“繁忙的海狸边境”的推测10)-宋佳宁2024年2月21日
2024年7月2日,宇宙(Tristan Stérin)代表Busy Beaver Challenge团体宣布:“我们已经证明‘BB(5)=47176870’”-彼得·卢什尼2024年7月2日