搜索： a291450-id:a291450
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A291447型
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| 按行读取的三角形，有理多项式P（n，x）的系数的分子（以升幂表示），使得Integral_{x=0..1}P'（n，x）=BernoulliMedian（n）。 |
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0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, -1, 4, 0, 0, 0, 1, -3, 48, -12, 36, 0, 0, 0, 1, -7, 268, -176, 1968, -216, 64, 0, 0, 0, 1, -15, 240, -1580, 37140, -9900, 10400, -5760, 14400, 0, 0, 0, 1, -31, 4924, -11680, 488640, -238680, 496320, -639360, 5486400, -216000, 518400
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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T（n，k）=分子（[x^k]积分（Sum_{j=0..n}（-1）^（n-j）*Stirling2（n，j）*j*x^j）^m）对于m=2，n>=0和k=0..m*n+1。
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例子
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三角形开始：
[0, 1]
[0, 0, 0, 1]
[0, 0, 0, 1, -1, 4]
[0, 0, 0, 1, -3, 48, -12, 36]
[0, 0, 0, 1, -7, 268, -176, 1968, -216, 64]
[0, 0, 0, 1, -15, 240, -1580, 37140, -9900, 10400, -5760, 14400]
前几个多项式是：
P_0（x）=x。
P_1（x）=（1/3）*x^3。
P_2（x）=（4/5）*x^5-x^4+（1/3）*x*3。
P_3（x）=（36/7）*x^7-12*x^6+（48/5）*x^5-3*x^4+（1/3）*x*3。
P_4（x）=64*x^9-216*x^8+（1968/7）*x^7-176*x^6+（268/5）*x^5-7*x^4+（1/3）*x^3。
在x=1时计算，这给出了伯努利中值的分解：
BM（0）＝1＝1。
BM（1）=1/3=1/3。
BM（2）=2/15=4/5-1+1/3。
BM（3）=8/105=36/7-12+48/5-3+1/3。
BM（4）=8/105=64-216+1968/7-176+268/5-7+1/3。
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MAPLE公司
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seq（BG_row（2，n，“num”，“val”），n=0..12）#A212196型
seq（BG_row（2，n，“den”，“val”），n=0..12）#A181131号
seq（打印（BG_row（2，n，“num”，“poly”）），n=0..7）#A291447型（以下）
seq（打印（BG_row（2，n，“den”，“poly”）），n=0..9）#A291448型
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数学
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T[n_]：=积分[Sum[（-1）^（n-j+1）StirlingS2[n，j]j！x^j，{j，0，n}]^2，x]；
Trow[n_]：=系数列表[T[n]，x]//分子；
表[Trow[r]，{r，0，6}]//展平
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签名,标签,压裂
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作者
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经核准的
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A291448型
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| 按行读取的三角形，有理多项式P（n，x）的系数（以升幂表示）的分母，使得Integral_{x=0..1}P'（n，x）=BernoulliMedian（n）。 |
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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T（n，k）=分母（[x^k]积分（和{j=0..n}（-1）^（n-j）*Stirling2（n，j）*j*x^j）^m）对于m=2，n>=0和k=0..m*n+1。
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例子
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三角形开始：
[1, 1]
[1, 1, 1, 3]
[1, 1, 1, 3, 1, 5]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1]
[1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 11]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 13]
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MAPLE公司
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数学
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T[n_]：=积分[Sum[（-1）^（n-j+1）StirlingS2[n，j]j！x^j，{j，0，n}]^2，x]；
Trow[n_]：=系数列表[T[n]，x]//分母；
表[Trow[r]，｛r，0，7｝]//压扁
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,压裂
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作者
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经核准的
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A290694型
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| 按行读取的三角形，有理多项式P（n，x）系数的分子（以升幂表示），使得Integral_{x=0..1}P'（n，x）=Bernoulli（n，1）。 |
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0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 2, 0, 0, 1, -2, 3, 0, 0, -1, 14, -9, 24, 0, 0, 1, -10, 75, -48, 20, 0, 0, -1, 62, -135, 312, -300, 720, 0, 0, 1, -42, 903, -1680, 2800, -2160, 630, 0, 0, -1, 254, -1449, 40824, -21000, 27360, -17640, 4480
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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考虑一类积分I_m（n）=Integral_{x=0..1}P'（n，x）^m与P'（n，x）=Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*Stirling2（n，k）*k*x^k（参见1978年2月对于系数）。
设C_k（n）=[x^k]P_n（x），k>0，n偶数。推测：k是Clausen（n）的素因子<=>k=分母（C_k（n））<=>k不除以Stirling2（n，k-1）*（k-1）！。（请注意，通过中的注释A019538年搅拌2（n，k-1）*（k-1）！是具有k个开集的n个集上的链拓扑数。）
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=分子（斯特林2（n，k-1）*（k-1）/k） 如果k>0，则为0；对于n>=0和0<=k<=n+1。
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例子
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三角形开始：
[0, 1]
[0, 0, 1]
[0, 0, -1, 2]
[0, 0, 1, -2, 3]
[0, 0, -1, 14, -9, 24]
[0, 0, 1, -10, 75, -48, 20]
[0, 0, -1, 62, -135, 312, -300, 720]
前几个多项式是：
P_0（x）=x。
P_1（x）=（1/2）*x^2。
P_2（x）=-（1/2）*x^2+（2/3）*x*3。
P_3（x）=（1/2）*x^2-2*x^3+（3/2）*x*4。
P_4（x）=-（1/2）*x^2+（14/3）*x|3-9*x^4+（24/5）*x*5。
P_5（x）=（1/2）*x^2-10*x^3+（75/2）*x^4-48*x^5+20*x^6。
P_6（x）=-（1/2）*x^2+（62/3）*x^3-135*x^4+312*x^5-300*x^6+（720/7）*x^7。
在x=1时进行计算，得出伯努利数的加性分解：
B（0）=1=1。
B（1）=1/2=1/2。
B（2）=1/6=-1/2+2/3。
B（3）=0=1/2-2+3/2。
B（4）=-1/30=-1/2+14/3-9+24/5。
B（5）=0=1/2-10+75/2-48+20。
B（6）=1/42=-1/2+62/3-135+312-300+720/7。
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MAPLE公司
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BG_row：=过程（m，n，frac，val）局部F，g，v；
F:=（n，x）->添加（（-1）^（n-k）*搅拌2（n，k）*k*x^k，k=0..n）：
g:=x->int（F（n，x）^m，x）：
`如果`（val=“val”，sub（x=1，g（x）），[seq（系数（g（x，x，j），j=0..m*n+1）]）：
`如果`（frac=“num”，numer（%），denom（%））结束：
序列（BG_row（1，n，“num”，“val”），n=0..16）#A164555号
seq（BG_row（1，n，“den”，“val”），n=0..16）#A027642号
seq（打印（BG_row（1，n，“num”，“poly”）），n=0..12）#A290694型（以下）
seq（打印（BG_row（1，n，“den”，“poly”）），n=0..12）#A290695型
#或者：
T_row:=n->number（多项式工具：-系数列表（添加（（-1）^（n-j+1）*Stirling2（n，j-1）*（j-1）*x^j/j，j=1..n+1），x））：对于从0到6的n，执行T_row（n）od；
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数学
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T[n_，k_]：=如果[k>0，分子[StirlingS2[n，k-1]*（k-1）！/k] ，0]；表[T[n，k]，{n，0，8}，{k，0，n+1}]//展平
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交叉参考
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关键词
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签名,标签,压裂
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作者
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经核准的
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A290695型
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| 按行读取的三角形，有理多项式P（n，x）系数的分母（以升幂表示），使得Integral_{x=0..1}P'（n，x）=Bernoulli（n，1）。 |
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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T（n，k）=分母（[x^k]积分（和{j=0..n}（-1）^（n-j）*Stirling2（n，j）*j！*x^j）^m），对于m=1和k=0..n+1。
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例子
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三角形开始：
[1, 1]
[1, 1, 2]
[1, 1, 2, 3]
[1, 1, 2, 1, 2]
[1, 1, 2, 3, 1, 5]
[1, 1, 2, 1, 2, 1, 1]
[1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 7]
[1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1]
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MAPLE公司
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T_row:=n->denom（多项式工具：-系数列表（添加（（-1）^（n-j+1）*Stirling2（n，j-1）*（j-1）*x^j/j，j=1..n+1），x））：对于从0到7的n，执行T_row（n）od；
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数学
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T[n]：=分母[系数表[总和[（-1）^（n-j+1）箍筋S2[n，j-1]（j-1）！x^j/j，{j，1，n+1}]，x]]；
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,压裂
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作者
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经核准的
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A291449型
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| P（n，x）=Sum_{k=0..1}（-1）^（n-k）*Stirling2（n，k）*k*x ^k。 |
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1, 1, 13, 1, 43, -61, 728877, 81739, -1779449713, -2112052153, 730622680308569, 113221320488699, -3660430816956396309, -3021604582205161, 21842539561810574341396283, 66747470298418575790593659, -124586733960451680357554181608419, -28471605423890788373026535240299
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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MAPLE公司
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seq（BG_row（3，n，“num”，“val”），n=0..17）；
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数学
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P[n_，x_]：=总和[（-1）^（n-k）*StirlingS2[n，k]*k*x^k，{k，0，n}]；
a[n_]：=积分[P[n，x]^3，{x，0，1}]//分子；
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交叉参考
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关键词
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签名,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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