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搜索: a291450-编号:a291450
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A291447型 按行读取的三角形,有理多项式P(n,x)的系数的分子(以升幂表示),使得Integral_{x=0..1}P'(n,x)=BernoulliMedian(n)。 +10
7
0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, -1, 4, 0, 0, 0, 1, -3, 48, -12, 36, 0, 0, 0, 1, -7, 268, -176, 1968, -216, 64, 0, 0, 0, 1, -15, 240, -1580, 37140, -9900, 10400, -5760, 14400, 0, 0, 0, 1, -31, 4924, -11680, 488640, -238680, 496320, -639360, 5486400, -216000, 518400 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,12
评论
伯努利中值为A212196型/A181131号。请参阅A290694型进一步评论。
链接
彼得·卢什尼,图A291447
配方奶粉
T(n,k)=分子([x^k]积分(和{j=0..n}(-1)^(n-j)*Stirling2(n,j)*j*x^j)^m)对于m=2,n>=0和k=0..m*n+1。
例子
三角形开始:
[0, 1]
[0, 0, 0, 1]
[0, 0, 0, 1, -1, 4]
[0, 0, 0, 1, -3, 48, -12, 36]
[0, 0, 0, 1, -7, 268, -176, 1968, -216, 64]
[0, 0, 0, 1, -15, 240, -1580, 37140, -9900, 10400, -5760, 14400]
前几个多项式是:
P_0(x)=x。
P_1(x)=(1/3)*x^3。
P_2(x)=(4/5)*x^5-x^4+(1/3)*x*3。
P_3(x)=(36/7)*x^7-12*x^6+(48/5)*x^5-3*x^4+(1/3)*x*3。
P_4(x)=64*x^9-216*x^8+(1968/7)*x^7-176*x^6+(268/5)*x^5-7*x^4+(1/3)*x^3。
在x=1时计算,这给出了伯努利中值的分解:
BM(0)=1=1。
BM(1)=1/3=1/3。
BM(2)=2/15=4/5-1+1/3。
BM(3)=8/105=36/7-12+48/5-3+1/3。
BM(4)=8/105=64-216+1968/7-176+268/5-7+1/3。
MAPLE公司
#BG_row函数定义于A290694型.
序列(BG_row(2,n,“num”,“val”),n=0..12)#A212196型
seq(BG_row(2,n,“den”,“val”),n=0..12)#A181131号
seq(打印(BG_row(2,n,“num”,“poly”)),n=0..7)#A291447型(本序列)
seq(打印(BG_row(2,n,“den”,“poly”)),n=0..9)#A291448型
数学
T[n_]:=积分[Sum[(-1)^(n-j+1)StirlingS2[n,j]j!x^j,{j,0,n}]^2,x];
Trow[n_]:=系数列表[T[n],x]//分子;
表[Trow[r],{r,0,6}]//展平
交叉参考
关键词
签名,标签,压裂
作者
彼得·卢施尼2017年8月24日
状态
经核准的
A291448型 按行读取的三角形,有理多项式P(n,x)的系数(以升幂表示)的分母,使得Integral_{x=0..1}P'(n,x)=BernoulliMedian(n)。 +10
7
1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1, 1 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,6
评论
请参见A291447型A290694型征求意见。
链接
配方奶粉
T(n,k)=分母([x^k]积分(和{j=0..n}(-1)^(n-j)*Stirling2(n,j)*j*x^j)^m)对于m=2,n>=0和k=0..m*n+1。
例子
三角形开始:
[1, 1]
[1, 1, 1, 3]
[1, 1, 1, 3, 1, 5]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1]
[1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 11]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 13]
MAPLE公司
#请参见A291447型.
数学
T[n_]:=积分[Sum[(-1)^(n-j+1)StirlingS2[n,j]j!x^j,{j,0,n}]^2,x];
Trow[n_]:=系数列表[T[n],x]//分母;
表[Trow[r],{r,0,7}]//展平
交叉参考
关键词
非n,标签,压裂
作者
彼得·卢施尼2017年8月24日
状态
经核准的
A290694型 按行读取的三角形,有理多项式P(n,x)系数的分子(以升幂表示),使得Integral_{x=0..1}P'(n,x)=Bernoulli(n,1)。 +10
6
0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 2, 0, 0, 1, -2, 3, 0, 0, -1, 14, -9, 24, 0, 0, 1, -10, 75, -48, 20, 0, 0, -1, 62, -135, 312, -300, 720, 0, 0, 1, -42, 903, -1680, 2800, -2160, 630, 0, 0, -1, 254, -1449, 40824, -21000, 27360, -17640, 4480 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,9
评论
考虑一类积分I_m(n)=Integral_{x=0..1}P'(n,x)^m与P'(n,x)=Sum_{k=0..n}(-1)^(n-k)*Stirling2(n,k)*k*x^k(参见A278075型对于系数)。
I_1(n)是伯努利数A164555号/A027642号,I_2(n)是伯努利中值A212196型/A181131号,I_3(n)是数字A291449型/A291450型.
多项式P_n(x)^m的系数适用于m=1A290694型/A290695型对于m=2A291447型/A291448型.
仅欧米茄(克劳森(n))=A001221号(A160014型(n,1))=A067513号(n) 如果n是偶数,则系数是有理数。对于奇数n>1,有两个有理系数。
设C_k(n)=[x^k]P_n(x),k>0,n偶数。推测:k是Clausen(n)的素因子<=>k=分母(C_k(n))<=>k不除以Stirling2(n,k-1)*(k-1)!。(请注意,通过中的注释A019538年Stirling2(n,k-1)*(k-1)!是具有k个开集的n个集上的链拓扑数。)
链接
彼得·卢什尼,图A290694。
配方奶粉
T(n,k)=分子(斯特林2(n,k-1)*(k-1)/k) 如果k>0,则为0;对于n>=0和0<=k<=n+1。
例子
三角形开始:
[0, 1]
[0,0,1]
[0, 0, -1, 2]
[0, 0, 1, -2, 3]
[0, 0, -1, 14, -9, 24]
[0, 0, 1, -10, 75, -48, 20]
[0, 0, -1, 62, -135, 312, -300, 720]
前几个多项式是:
P_0(x)=x。
P_1(x)=(1/2)*x^2。
P_2(x)=-(1/2)*x^2+(2/3)*x*3。
P_3(x)=(1/2)*x^2-2*x^3+(3/2)*x*4。
P_4(x)=-(1/2)*x^2+(14/3)*x^3-9*x^4+(24/5)*x^5。
P_5(x)=(1/2)*x^2-10*x^3+(75/2)*x^4-48*x^5+20*x^6。
P_6(x)=-(1/2)*x^2+(62/3)*x*3-135*x^4+312*x^5-300*x^6+(720/7)*x^7。
在x=1时进行计算,得出伯努利数的加性分解:
B(0)=1=1。
B(1)=1/2=1/2。
B(2)=1/6=-1/2+2/3。
B(3)=0=1/2-2+3/2。
B(4)=-1/30=-1/2+14/3-9+24/5。
B(5)=0=1/2-10+75/2-48+20。
B(6)=1/42=-1/2+62/3-135+312-300+720/7。
MAPLE公司
BG_row:=过程(m,n,frac,val)局部F,g,v;
F:=(n,x)->添加((-1)^(n-k)*搅拌2(n,k)*k*x^k,k=0..n):
g:=x->int(F(n,x)^m,x):
`如果`(val=“val”,sub(x=1,g(x)),[seq(系数(g(x,x,j),j=0..m*n+1)]):
`如果`(frac=“num”,number(%),denom(%))结束:
序列(BG_row(1,n,“num”,“val”),n=0..16)#A164555号
seq(BG_row(1,n,“den”,“val”),n=0..16)#A027642号
seq(打印(BG_row(1,n,“num”,“poly”)),n=0..12)#A290694型(本序列)
seq(打印(BG_row(1,n,“den”,“poly”)),n=0..12)#A290695型
#或者:
T_row:=n->number(多项式工具:-系数列表(添加((-1)^(n-j+1)*Stirling2(n,j-1)*(j-1)*x^j/j,j=1..n+1),x)):对于从0到6的n,执行T_row(n)od;
数学
T[n_,k_]:=如果[k>0,分子[StirlingS2[n,k-1]*(k-1)!/k] ,0];表[T[n,k],{n,0,8},{k,0,n+1}]//展平
交叉参考
囊性纤维变性。A160014型,A278075型.
关键词
签名,标签,压裂
作者
彼得·卢施尼2017年8月24日
状态
经核准的
A290695型 按行读取的三角形,有理多项式P(n,x)系数的分母(以升幂表示),使得Integral_{x=0..1}P'(n,x)=Bernoulli(n,1)。 +10
6
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,5
评论
请参见A290694型征求意见。
链接
配方奶粉
T(n,k)=分母([x^k]积分(和{j=0..n}(-1)^(n-j)*Stirling2(n,j)*j!*x^j)^m),对于m=1和k=0..n+1。
例子
三角形开始:
[1, 1]
[1, 1, 2]
[1, 1, 2, 3]
[1, 1, 2, 1, 2]
[1, 1, 2, 3, 1, 5]
[1, 1, 2, 1, 2, 1, 1]
[1,1,2,3,1,1,1,7]
[1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1]
MAPLE公司
T_row:=n->denom(多项式工具:-系数列表(添加((-1)^(n-j+1)*Stirling2(n,j-1)*(j-1)*x^j/j,j=1..n+1),x)):对于从0到7的n,执行T_row(n)od;
数学
T[n]:=分母[系数表[总和[(-1)^(n-j+1)箍筋S2[n,j-1](j-1)!x^j/j,{j,1,n+1}],x]];
表[T[n],{n,0,7}](*Jean-François Alcover公司,2019年6月15日,来自枫叶*)
交叉参考
关键词
非n,标签,压裂
作者
彼得·卢施尼2017年8月24日
状态
经核准的
A291449型 P(n,x)=Sum_{k=0..1}(-1)^(n-k)*Stirling2(n,k)*k*x ^k。 +10
6
1, 1, 13, 1, 43, -61, 728877, 81739, -1779449713, -2112052153, 730622680308569, 113221320488699, -3660430816956396309, -3021604582205161, 21842539561810574341396283, 66747470298418575790593659, -124586733960451680357554181608419, -28471605423890788373026535240299 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,3
评论
考虑一类积分I(m,n)=Integral_{x=0..1}P(n,x)^m与P(n、x)=Sum_{k=0..n}(-1)^(n-k)*Stirling2(n,k)*k*x^k.I(1,n)是伯努利数A164555号/A027642号,I(2,n)是伯努利中值A212196型/A181131号,I(3,n)是数字A291449型/A291450型多项式P(n,x)^m的系数对于m=1A290694型/A290695型,对于m=2A291447型/A291448型(请参见A290694型更多意见。)
链接
MAPLE公司
#函数BG_row在中定义A290694型.
序列(BG_row(3,n,“num”,“val”),n=0..17);
数学
P[n_,x_]:=总和[(-1)^(n-k)*StirlingS2[n,k]*k*x^k,{k,0,n}];
a[n_]:=积分[P[n,x]^3,{x,0,1}]//分子;
表[a[n],{n,0,17}](*Jean-François Alcover公司2019年6月15日*)
交叉参考
关键词
签名,压裂
作者
彼得·卢施尼2017年8月24日
状态
经核准的
第页1

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