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搜索： a291447-编号：a291447
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219148英镑 按行读取的三角形，有理多项式P（n，x）的系数（以升幂表示）的分母，使得Integral_{x=0..1}P'（n，x）=BernoulliMedian（n）。 +10
7
1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1, 1 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,6
评论
请参见A291447型和A290694型征求意见。
链接
n，a（n）的表，n=0..87。
配方奶粉
T（n，k）=分母（[x^k]积分（和{j=0..n}（-1）^（n-j）*Stirling2（n，j）*j*x^j）^m）对于m=2，n>=0和k=0..m*n+1。
例子
三角形开始：
[1, 1]
[1, 1, 1, 3]
[1, 1, 1, 3, 1, 5]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1]
[1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 11]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 13]
MAPLE公司
#请参见A291447型.
数学
T[n_]：=积分[Sum[（-1）^（n-j+1）StirlingS2[n，j]j！x^j，{j，0，n}]^2，x]；
Trow[n_]：=系数列表[T[n]，x]//分母；
表[Trow[r]，{r，0，7}]//展平
交叉参考
囊性纤维变性。A164555号/A027642号,A212196型/A181131号,A291449型/219150英镑,A290694型/A290695型,A291447型/A291448型.
关键词
非n,标签,压裂
作者
彼得·卢施尼2017年8月24日
状态
经核准的
A290694型 按行读取的三角形，有理多项式P（n，x）系数的分子（以升幂表示），使得Integral_{x=0..1}P'（n，x）=Bernoulli（n，1）。 +10
6
0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 2, 0, 0, 1, -2, 3, 0, 0, -1, 14, -9, 24, 0, 0, 1, -10, 75, -48, 20, 0, 0, -1, 62, -135, 312, -300, 720, 0, 0, 1, -42, 903, -1680, 2800, -2160, 630, 0, 0, -1, 254, -1449, 40824, -21000, 27360, -17640, 4480 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,9
评论
考虑一类积分I_m（n）=Integral_{x=0..1}P'（n，x）^m与P'（n，x）=Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*Stirling2（n，k）*k*x^k（参见A278075型对于系数）。
I_1（n）是伯努利数A164555号/A027642号，I_2（n）是伯努利中值A212196型/A181131号，I_3（n）是数字A291449型/A291450型.
多项式P_n（x）^m的系数适用于m=11990年2月/A290695型对于m=2A291447型/A291448型.
仅欧米茄（克劳森（n））=A001221号(A160014型（n，1））=A067513号（n） 如果n是偶数，则系数是有理数。对于奇数n>1，有两个有理系数。
设C_k（n）=[x^k]P_n（x），k>0，n偶数。推测：k是Clausen（n）的素因子<=>k=分母（C_k（n））<=>k不除以Stirling2（n，k-1）*（k-1）！。（请注意，通过中的注释A019538年Stirling2（n，k-1）*（k-1）！是具有k个开集的n个集上的链拓扑数。）
链接
n=0..53时的n、a（n）表。
彼得·卢什尼，图A290694。
配方奶粉
T（n，k）=分子（斯特林2（n，k-1）*（k-1）/k） 如果k>0，则为0；对于n>=0和0<=k<=n+1。
例子
三角形开始：
[0, 1]
[0，0，1]
[0, 0, -1, 2]
[0, 0, 1, -2, 3]
[0, 0, -1, 14, -9, 24]
[0, 0, 1, -10, 75, -48, 20]
[0, 0, -1, 62, -135, 312, -300, 720]
前几个多项式是：
P_0（x）=x。
P_1（x）=（1/2）*x^2。
P_2（x）=-（1/2）*x^2+（2/3）*x*3。
P_3（x）=（1/2）*x^2-2*x^3+（3/2）*x*4。
P_4（x）=-（1/2）*x^2+（14/3）*x^3-9*x^4+（24/5）*x^5。
P_5（x）=（1/2）*x^2-10*x^3+（75/2）*x^4-48*x^5+20*x^6。
P_6（x）=-（1/2）*x^2+（62/3）*x*3-135*x^4+312*x^5-300*x^6+（720/7）*x^7。
在x=1时进行计算，得出伯努利数的加性分解：
B（0）=1=1。
B（1）=1/2=1/2。
B（2）=1/6=-1/2+2/3。
B（3）=0=1/2-2+3/2。
B（4）=-1/30=-1/2+14/3-9+24/5。
B（5）=0=1/2-10+75/2-48+20。
B（6）=1/42=-1/2+62/3-135+312-300+720/7。
MAPLE公司
BG_row：=过程（m，n，frac，val）局部F，g，v；
F:=（n，x）->添加（（-1）^（n-k）*搅拌2（n，k）*k*x^k，k=0..n）：
g:=x->int（F（n，x）^m，x）：
`如果`（val=“val”，sub（x=1，g（x）），[seq（系数（g（x，x，j），j=0..m*n+1）]）：
`如果`（frac=“num”，number（%），denom（%））结束：
序列（BG_row（1，n，“num”，“val”），n=0..16）#1964年
seq（BG_row（1，n，“den”，“val”），n=0..16）#A027642号
seq（打印（BG_row（1，n，“num”，“poly”）），n=0..12）#A290694型（本序列）
seq（打印（BG_row（1，n，“den”，“poly”）），n=0..12）#A290695型
#或者：
T_row:=n->number（多项式工具：-系数列表（添加（（-1）^（n-j+1）*Stirling2（n，j-1）*（j-1）*x^j/j，j=1..n+1），x））：对于从0到6的n，执行T_row（n）od；
数学
T[n_，k_]：=如果[k>0，分子[StirlingS2[n，k-1]*（k-1）！/k] ，0]；表[T[n，k]，{n，0，8}，{k，0，n+1}]//展平
交叉参考
囊性纤维变性。1964年/A027642号,A212196型/A181131号,A291449型/A291450型,A290694型/A290695型,A291447型/219148英镑.
囊性纤维变性。A160014型,A278075型.
关键词
签名,标签,压裂
作者
彼得·卢施尼2017年8月24日
状态
经核准的
A290695型 按行读取的三角形，有理多项式P（n，x）系数的分母（以升幂表示），使得Integral_{x=0..1}P'（n，x）=Bernoulli（n，1）。 +10
6
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
评论
请参见A290694型征求意见。
链接
n=0..89时的n、a（n）表。
配方奶粉
T（n，k）=分母（[x^k]积分（和{j=0..n}（-1）^（n-j）*Stirling2（n，j）*j！*x^j）^m），对于m=1和k=0..n+1。
例子
三角形开始：
[1, 1]
[1, 1, 2]
[1, 1, 2, 3]
[1, 1, 2, 1, 2]
[1, 1, 2, 3, 1, 5]
[1, 1, 2, 1, 2, 1, 1]
[1,1,2,3,1,1,1,7]
[1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1]
MAPLE公司
T_row:=n->denom（多项式工具：-系数列表（添加（（-1）^（n-j+1）*Stirling2（n，j-1）*（j-1）*x^j/j，j=1..n+1），x））：对于从0到7的n，执行T_row（n）od；
数学
T[n]：=分母[系数表[总和[（-1）^（n-j+1）箍筋S2[n，j-1]（j-1）！x^j/j，{j，1，n+1}]，x]]；
表[T[n]，{n，0，7}](*Jean-François Alcover公司，2019年6月15日，来自枫叶*）
交叉参考
囊性纤维变性。A164555号/A027642号,A212196型/A181131号,A291449型/A291450型,A290694型/A290695型,A291447型/A291448型.
关键词
非n,标签,压裂
作者
彼得·卢施尼2017年8月24日
状态
经核准的
A291449型 P（n，x）=Sum_{k=0..1}（-1）^（n-k）*Stirling2（n，k）*k*x ^k。 +10
6
1, 1, 13, 1, 43, -61, 728877, 81739, -1779449713, -2112052153, 730622680308569, 113221320488699, -3660430816956396309, -3021604582205161, 21842539561810574341396283, 66747470298418575790593659, -124586733960451680357554181608419, -28471605423890788373026535240299 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
评论
考虑一类积分I（m，n）=Integral_{x=0..1}P（n，x）^m与P（n、x）=Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*Stirling2（n，k）*k*x^k.I（1，n）是伯努利数A164555号/A027642号，I（2，n）是伯努利中值A212196型/A181131号，I（3，n）是数字A291449型/A291450型多项式P（n，x）^m的系数对于m=1A290694型/1990年2月，对于m=2A291447型/A291448型（请参见1990年2月更多意见。）
链接
n=0..17时的n、a（n）表。
MAPLE公司
#函数BG_row在中定义A290694型.
序列（BG_row（3，n，“num”，“val”），n=0..17）；
数学
P[n_，x_]：=总和[（-1）^（n-k）*StirlingS2[n，k]*k*x^k，{k，0，n}]；
a[n_]：=积分[P[n，x]^3，{x，0，1}]//分子；
表[a[n]，{n，0，17}](*Jean-François Alcover公司2019年6月15日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A164555号/A027642号,A212196型/A181131号,A291449型/A291450型,A290694型/A290695型,A291447型/A291448型.
关键词
签名,压裂
作者
彼得·卢施尼2017年8月24日
状态
经核准的
A291450型 P（n，x）=Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*Stirling2（n，k）*k*x ^k。 +10
6
1, 4, 140, 28, 20020, 4004, 6466460, 184756, 148728580, 29745716, 133706993420, 2431036244, 449741705140, 31885268, 670910837521540, 134182167504308, 409926521725660940, 4822664961478364, 1278006214791766460, 1921813856829724, 242081282475556183660, 4401477863191930612 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
评论
请参见A291449型和A290694型征求意见。
链接
n=0..21时的n、a（n）表。
MAPLE公司
#函数BG_row在中定义A290694型.
seq（BG_row（3，n，“den”，“val”），n=0..20）；
数学
P[n_，x_]：=总和[（-1）^（n-k）*StirlingS2[n，k]*k*x^k，{k，0，n}]；
a[n]：=积分[P[n，x]^3，{x，0，1}]//分母；
表[a[n]，{n，0，21}](*Jean-François Alcover公司2019年6月15日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A164555号/A027642号,A212196型/A181131号,A291449型/A291450型,A290694型/1990年2月,A291447型/A291448型.
关键词
非n,压裂
作者
彼得·卢施尼2017年8月24日
状态
经核准的
A290696型 按行读取三角形，T（n，k）=[x^k]（和{k=0..n}（-1）^（n-k）*Stirling2（n，k）*k！*x^k）^2，对于0<=k<=2n。 +10
0
1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, -4, 4, 0, 0, 1, -12, 48, -72, 36, 0, 0, 1, -28, 268, -1056, 1968, -1728, 576, 0, 0, 1, -60, 1200, -9480, 37140, -79200, 93600, -57600, 14400, 0, 0, 1, -124, 4924, -70080, 488640, -1909440, 4466880, -6393600, 5486400, -2592000, 518400 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,8
评论
在不平方定义中的和的情况下，可以得到多项式：
积分_{x=0..1}P（n，x）=Bernoulli（n，1）=A164555号（n）/A027642号（n） ●●●●。
链接
n，a（n）的表，n=0..48。
配方奶粉
积分_{x=0..1}P（n，x）=BernoulliMedian（n）=1996年12月2日（n）/A181131号（n） ●●●●。
例子
三角形开始：
[1]
[0, 0, 1]
[0, 0, 1, -4, 4]
[0, 0, 1, -12, 48, -72, 36]
[0, 0, 1, -28, 268, -1056, 1968, -1728, 576]
[0, 0, 1, -60, 1200, -9480, 37140, -79200, 93600, -57600, 14400]
前几个多项式：
P_0（x）=1
P_1（x）=x^2
P_2（x）=x^2-4*x^3+4*x^4
P_3（x）=x^2-12*x^3+48*x^4-72*x^5+36*x^6
P_4（x）=x^2-28*x^3+268*x^4-1056*x^5+1968*x ^6-1728*x|7+576*x^8
MAPLE公司
P:=（n，x）->添加（（-1）^（n-k）*搅拌2（n，k）*k*x^k，k=0..n）^2；
对于从0到6的n，do seq（系数（P（n，x），x，k），k=0..2*n）od；
交叉参考
囊性纤维变性。A278075型,A291447型/A291448型,A212196型/2011年11月31日.
关键词
签名,标签
作者
彼得·卢施尼2017年8月25日
状态
经核准的
第页1

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