搜索： a094664-编号：a094665
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A005411
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| 量子电动力学中电子或光子传播子的2n阶非消失费曼图的数目。
（原名M3610）
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25
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1, 1, 4, 25, 208, 2146, 26368, 375733, 6092032, 110769550, 2232792064, 49426061818, 1192151302144, 31123028996164, 874428204384256, 26308967412122125, 843984969276915712, 28757604639850111894, 1037239628039528906752, 39481325230750749160462
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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（x+4x^2+25x^3+208x^4+…）=（x+2x^2+7x^3+38x^4+…）*1/（1+x+2x*2+7x^3+38x^4+..）；哪里A094664号= (1, 1, 2, 7, 38, 286, ...). -加里·亚当森2011年11月16日。
Martin和Kearney的文章有S（2，-4,1）=[1,1,4,25，…]，其中u_1=u_2=1，u_3=4，u_4=25，等等。这几乎与这个序列相同-迈克尔·索莫斯2014年2月27日
0维量子电动力学泛函积分的计算成为常见的勒贝格积分，它们在n阶g=0附近的泰勒展开给出了费曼图的个数。
这些图有两种边：a（无向）、f（有向）和只有一种顶点：aff。
电子传播子：所有具有两个f型外缘的图。
光子传播子：所有有两个a型外边的图。
g^n的指数n给出了顶点数。
包含具有奇数个顶点的f型循环的图被设置为0（消失图）。
序列S（g）=和a（n）g^（2n）的系数给出了电子（或光子）传播子的非消失费曼图的数目。
对于测度（E^（-（a^2/2））/sqrt[1-g^2a^2]da，假设g^2<0，S（g）为<1/（1-g^2a ^2）>，因此S（g。
（结束）
乘积在x_p/y_p的所有峰p上的半长n的所有Dyck路径之和，其中x_p和y_p是峰p的坐标a（3）=3/3+2/2*5/1+1/1*4/2+2/2*1*4/2+1/1*3/1*5/1=25-阿洛伊斯·海因茨2015年5月21日
自由积Z_2*Z_2*Z中自由指数2n子群的数目。
带2n飞镖的定向植根铺面数量（以Arques&Koch、Spehner、Lienhardt命名）。
（结束）
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参考文献
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C.Itzykson和J.-B.Zuber，《量子场论》，McGraw-Hill，1980年，第466-467页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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雷米·波蒂内利（Rémi Bottinelli）、劳拉·乔巴努（Laura Ciobanu）和亚历山大·科尔巴科夫（Alexander Kolpakov），三维映射和子组增长，手写数学。(2021).
L.Ciobanu和A.Kolpakov，三维映射和子组增长，arXiv:1712.01418[math.GR]，2017年。
R.J.Martin和M.J.Kearney，一个精确可解的自进化递推，arXiv:1103.4936[math.CO]，2011年。
R.J.Martin和M.J.Kearney，一个精确可解的自进化递推、枇杷。数学。，80 (2010), 291-318. 见第294页。
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配方奶粉
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给定o.g.f.A（x），函数f（x）：=A（x^2）满足微分方程f（x。
推测o.g.f.A（x）作为连分数：
1+x/（1-4*x-3^2*x^2/（1-8*x-5^2*x2/（1-12*x-7^2*x-2/（1-16*x-…））））。
渐近：a（n）~1/Pi*2^（n+1）*n*（1-1/（2*n）-3/（8*n^2））。（结束）
给定u（1）=1，当n>1时，u（n）=（2*n-4）*u（n-1）+Sum_{k=1..n-1}u（k）*u-迈克尔·索莫斯2011年7月24日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x*（2*k+1）/（1-x*（2%k+3）/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月19日
G.f.：1/x^2-1/x-Q（0）/x^2，其中Q（k）=1-x*（2*k+1）/（1-x*（2%k+1）/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月20日
G.f.：1/x^2-1/x-G（0）/（2*x^2），其中G（k）=1+1/（1-2*x*（2*k+1）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月29日
G.f.:W（0）/x-1/x，其中W（k）=1-x*（2*k+1）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年8月26日
G.f.:G（0）/x-1/x，其中G（k）=1-x*（2*k+1）/（x-1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2014年1月21日
G.f.：1/（2*x）-BesselK（1，-1/（4*x））/（2*x*BesselK（0，-1/。这是1980年出版的《量子场论》一书中的一个结果的微小改进-罗伯特·科克雷2014年9月5日
渐近：a（n）~2*（2/Pi）^（1/2）*（2/e）^ n*n^（n+1/2），参见Links中的Ciobanu和Kolpakov-萨沙·科尔巴科夫2017年12月11日
作为Stieltjes类型的连续分数：a（x）=1/（1-x/（1-3*x/（1-3*x/（1-5*x/（1-5*x/（1-7*x/（1-7*x/（1-…）））））））），然后将Stokes的结果应用于Riccati微分方程2*x^2*a'（x）=-1+a（x）-x*a^2（x）。
连分数的偶数部分给出A（x）=1/（1-x-3*x^2/（1-6*x-15*x^3/（1-10*x-35*x^2/（1-14*x-63*x^ 2/（1-18*x-…-（4*n^2-1）*x^2-（1-（4*n+2）*x-）））），雅可比型连分数（J分数）。（结束）
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例子
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G.f.=1+x+4*x^2+25*x^3+208*x^4+2146*x^5+26368*x^6+375733*x^7+。。。[删除的g.f.由恢复N.J.A.斯隆2016年1月30日]
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MAPLE公司
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b： =proc（x，y，t）选项记忆`如果`（y>x或y<0，0，
`如果`（x=0，1，b（x-1，y-1，false）*`如果`（t，x/y，1）+
b（x-1，y+1，真））
结束时间：
a： =n->b（2*n，0，false）：
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数学
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a[n_]：=模[{m=n+1，u}，如果[n<2，Boole[n>=0]，u=范围[m]；做[u[k]]=（2k-4）u[[k-1]]+和[u[[j]u[[k-j]]，{j，k-1}]，{k，2，m}]；u[[m]]]；(*迈克尔·索莫斯2014年2月27日*）
a[n_]：=级数系数[（1-BesselK[1，-（1/（4g^2））]/BeselK[0，-；(*罗伯特·科克雷2014年9月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<1，n==0，n++；a=向量（n）；a[1]=1；对于（k=2，n，a[k]=（2*k-4）*a[k-1]+和（j=1，k-1，a[j]*a[kj]）；a[n]）}/*迈克尔·索莫斯2011年7月24日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A145879号
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| 行读取的三角形：T（n，k）是{1,2，…，n}的排列数，其中k个条目正好是321个模式的中点（n>=2时为0<=k<=n-2；n=1时为k=0）。 |
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+10
5
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1, 2, 5, 1, 14, 8, 2, 42, 46, 26, 6, 132, 232, 220, 112, 24, 429, 1093, 1527, 1275, 596, 120, 1430, 4944, 9436, 11384, 8638, 3768, 720, 4862, 21778, 54004, 87556, 95126, 66938, 27576, 5040, 16796, 94184, 292704, 608064, 880828, 882648, 584008, 229248
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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在{1,2，…，n}的置换p中，条目p（i）是321模式的中点（即长度为3的递减子序列的中点）当且仅当L（i）R（i）>0，其中L（R）是p的左（右）反演向量（表）。对于每个i=1,2，。。。，（Maple程序利用了这些事实。）
第n行有n-1个条目（n>=2）。
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链接
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谢尔盖·基塔耶夫和杰弗里·雷梅尔，简单的标记网格图案，arXiv预印本arXiv:1201.1323[math.CO]，2012。
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配方奶粉
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T（n，n-2）=（n-2）！对于n>=2，因为我们有置换nq1，其中q是{2,3，…，n-1}的任何置换。
以下公式是推测的，并假设了不同的偏移量：
行多项式的递归性：R（n，t）=n*t*R（n-1，t）+（1-t）*Sum_{k=1..n}R（k-1，t。
O.g.f.作为连分数：a（x，t）=1/（1-x/（1-x/（1-（1+t）*x/（1-。。。。
o.g.f.A（x，t）满足Riccati方程x^2*t*dA/dx=-1+（1-x*t）*A-x*（1-t）*A^2。
推论：T（n，k）=[z^k]R_1（n-1，0）其中R_1-米哈伊尔·库尔科夫2023年12月26日
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例子
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T（4,1）=8，因为我们有143'2，413'2，43'12，42'13，243'1，32'14，32'41，342'1（321个图案的中点被标记）。
三角形开始：
1
2
5 1
14 8 2
42 46 26 6
132 232 220 112 24
429 1093 1527 1275 596 120
1430 4944 9436 11384 8638 3768 720
...
顺便说一句，三角形（1，1，1
1
1, 0
2, 0, 0
5, 1, 0, 0
14, 8, 2, 0, 0,
42, 46, 26, 6, 0, 0
132, 232, 220, 112, 24, 0, 0
429, 1093, 1527, 1275, 596, 120, 0, 0
...
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MAPLE公司
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n： =7:使用（组合）：P:=置换（n）：f:=proc（k）局部c，L，R，i:c:=0:L:=proc（j c：=c+1 else end if end do：c结束进程：a：=[seq（f（k）），k=1..阶乘（n））]：对于从0到n-2的h，做c[h]：=0：对于m到阶乘（n），如果a[m]=h，则做c[h：=c[h]+1 else end if end do end做do：seq（c[h]，h=0..n-2）；#生成三角形的第m行，其中m>=2是程序开始时分配给n的值
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数学
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lg=10；S1=阵列[1&，lg]；S2=表格[{n，n}，{n，0，lg/2/天花板}]//平铺；
DELTA[r_，s_，m_]：=模[{p，q，t，x，y}，q[k_]：=x*r[[k+1]]+y*s[[k+1]]；p[0，_]=1；p[_，-1]=0；p[n_/；n>=1，k_/；k>=0]：=p[n，k]=p[n，k-1]+q[k]*p[n-1，k+1]//展开；t[n_，k_]：=系数[p[n，0]，x^（n-k）*y^k]；t[0,0]=p[0,0]；表[t[n，k]，{n，0，m}，{k，0，n}]]；
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A094344号
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| 三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取；由[0，1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，…]DELTA[1，0，2，1，3，2，4，3，5，4，6，5，…]给出，其中DELTA是在A084938号. |
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+10
2
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 4, 1, 0, 6, 18, 13, 1, 0, 24, 96, 119, 46, 1, 0, 120, 600, 1059, 777, 199, 1, 0, 720, 4320, 9890, 10760, 5536, 1072, 1, 0, 5040, 35280, 99158, 142990, 111316, 44228, 6985, 1, 0, 40320, 322560, 1073692, 1926312, 2009578, 1217352, 395865, 53218, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,8
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链接
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配方奶粉
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例子
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三角形开始：
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0, 2, 4, 1;
0, 6, 18, 13, 1;
0, 24, 96, 119, 46, 1;
...
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A178108号
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| 正交多项式P（n，x）=x*P（n-1，x）-（2*floor（（n+2）/2）-3）*P（n-2，x），P（0，x）=1，P（1，x。 |
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+10
1
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1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 5, 0, 1, 0, 7, 0, 8, 0, 1, 7, 0, 31, 0, 13, 0, 1, 0, 38, 0, 70, 0, 18, 0, 1, 38, 0, 248, 0, 160, 0, 25, 0, 1, 0, 286, 0, 728, 0, 285, 0, 32, 0, 1, 286, 0, 2470, 0, 2153, 0, 509, 0, 41, 0, 1, 0, 2756, 0, 8929, 0, 4698, 0, 796, 0, 50, 0, 1, 2756, 0, 29543, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,8
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评论
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链接
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例子
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三角形开始
1,
0, 1,
1, 0, 1,
0, 2, 0, 1,
2, 0, 5, 0, 1,
0, 7, 0, 8, 0, 1,
7, 0, 31, 0, 13, 0, 1,
0, 38, 0, 70, 0, 18, 0, 1,
38, 0, 248, 0, 160, 0, 25, 0, 1,
0, 286, 0, 728, 0, 285, 0, 32, 0, 1,
286, 0, 2470, 0, 2153, 0, 509, 0, 41, 0, 1
生产矩阵为
0, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0, 1,
0, 0, 3, 0, 1,
0, 0, 0, 3, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 5, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 7, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7, 0, 1
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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