搜索： a089799-编号：a089799
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A002513号
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| n的“立方分区”数：乘积{k>0}1/（（1-x^（2k））^2*（1-xqu（2k-1））的x次幂展开。
（原名M2354 N0930 N0931）
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1, 1, 3, 4, 9, 12, 23, 31, 54, 73, 118, 159, 246, 329, 489, 651, 940, 1242, 1751, 2298, 3177, 4142, 5630, 7293, 9776, 12584, 16659, 21320, 27922, 35532, 46092, 58342, 75039, 94503, 120615, 151173, 191611, 239060, 301086, 374026, 468342, 579408, 721638, 889287
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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对于n次实数多项式方程，a（n）是根为实数且不相等、实数且相等（在各种组合中）或简单或多重复数共轭的可能性数。例如，a（3）=4，因为我们可以有：三个等根、两个等根，三个不同的实根和两个复根（请参阅Monthly Problem参考）-Emeric Deutsch公司2005年3月22日
n的分区数，偶数部分有两种。例如，a（4）=9，因为我们有4，4'，3+1，2+2，2+2'，2'+2'，2+1+1，2'+1+1，1+1+1-Emeric Deutsch公司2005年3月22日
“立方分区”的名称见熊；陈和林；Chern和Dastidar-米歇尔·马库斯，2016年1月28日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括两个条目中的该序列，N0930和N0931）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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扎基尔·艾哈迈德（Zakir Ahmed）、纳扬迪普·德卡·巴鲁阿（Nayandeep Deka Baruah）和马诺西吉·戈什·达斯蒂达尔（Manosij Ghosh Dastidar），双色分割数模5的新同余，《数论杂志》，第157卷，2015年12月，第184-198页。
M.F.Capobianco和C.F.Pinzka，问题2055阿默尔。数学。《月刊》，75（1968），188；76 (1969), 194.
William Y.C.Chen和Bernard L.S.Lin，由模形式导出的三次分区数的同余，arXiv:0910.1263[math.NT]，2016年。
谢恩·切尔（Shane Chern）和马诺西·戈什·达斯蒂达尔（Manosij Ghosh Dastidar），立方分区的同余和递归，arXiv:1601.06480[math.NT]，2016年。
马斯顿·康德、托马斯·皮桑斯基和阿尔贾娜·伊特尼克，点传递图及其弧型，arXiv预印本arXiv:1505.02029[math.CO]，2015。
卢卡斯·茅斯，立方分区的精确公式，arXiv:2305.03396[math.NT]，2023。
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公式
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q^（1/8）/（eta（q）*eta（q^2））的q次幂展开。
周期2序列的欧拉变换[1，2，…]。
G.f.：产品{k>0}1/（（1-x^（2*k））^2*（1-xqu（2*1）））。
（结束）
给定g.f.A（x），则B（q）=A（q）^8/q满足0=f（B（q，B（q^2），B（q ^4）），其中f（u，v，w）=16*v^4+v^3*w+256*u*v^3+16*u*v ^2*w-u^2*w ^2-迈克尔·索莫斯2005年4月3日
a（n）~exp（Pi*sqrt（n））/（8*n^（5/4））*（1-（Pi/16+15/（8*Pi））/sqrt（n））-瓦茨拉夫·科特索维奇，2015年6月22日，2017年1月17日延期
G.f.：产品_｛k>0｝1/（（1-x^k）*（1-x^（2*k））。
a（3n+2）=0（mod 3）。
a（25n+22）=0（mod 5）（见熊）。
a（49n+15）=a（49n+29）=a。
a（297n+62）=a（297+161）=0（mod 11）（见Chern&Dastidar）。
（结束）
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（128 t））=2^（-7/2）（t/i）^-1 f（t），其中q=exp（2 Pi it）-迈克尔·索莫斯2017年10月17日
通用公式：exp（总和{k>=1}x^k*（1+2*x^k）/（k*（1-x^（2*k）））-伊利亚·古特科夫斯基2018年8月13日
g.f.A（x）满足log（A（x））=x+5*x^2/2+4*x^3/3+13*x^4/4+…=和{n>=1}A215947型（n） *x^n/n。
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例子
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G.f.=1+x+3*x^2+4*x^3+9*x^4+12*x^5+23*x^6+31*x^7+54*x^8+73*x^9+。。。
G.f.=1/q+q^7+3*q^15+4*q^23+9*q^31+12*q^39+23*q^47+31*q^55+54*q^63+。。。
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MAPLE公司
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N： =50:#将a（0）转换为a（N）
P： =mul（（1-x^（2*k））^（-2）*
S： =系列（P、x、N+1）：
seq（系数（S，x，j），j=0..N）#罗伯特·伊斯雷尔2016年1月26日
#第二个Maple项目：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，加（a（n-j）*add(
`如果`（d:：奇数，d，2*d），d=numtheory[除数]（j）），j=1..n）/n）
结束时间：
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数学
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最大值=50；f[x_]：=乘积[1/（（1-x^（2k））^2*（1-x*2k-1）），{k，1，天花板[max/2]}]；系数列表[系列[f[x]，｛x，0，max｝]，x](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2011年11月4日*）
a[n_]：=级数系数[1/QPochhammer[q]/QPochammer[q^2]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2013年7月17日*）
表[Sum[PartitionsP[k]*分区P[n-2k]，{k，0，n/2}]，{n，0，50}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年6月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（1/eta（x+a）/eta（x^2+a），n））}/*迈克尔·索莫斯，2005年11月10日*/
b=二进制递归序列（0，1，2）
a=欧拉变换（b）
打印（[a（n）代表范围（44）中的n]）#彼得·卢什尼，2022年11月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A369682型
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| 满足和{n>=0}（-1）^n*x^n*Product_{k=0..n}（x^k+A（x））=theta_2（x^（1/2））/x^。 |
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+10个
三
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1, 4, 12, 38, 112, 332, 972, 2818, 8098, 23096, 65418, 184194, 516080, 1440334, 4008442, 11135682, 30912896, 85835538, 238601354, 664447912, 1854592214, 5189848462, 14561237108, 40954656118, 115428662380, 325847049200, 920772219740, 2602948470362, 7356994944096, 20779322594048
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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链接
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公式
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G.f.A（x）=Sum_{n>=0｝A（n）*x^n满足以下公式。
（1） 求和{n>=0}（-1）^n*x^n*产品{k=0..n}（x^k+A（x））=求和{n=-oo..+oo}x^（n*（n+1）/2）。
（2） 求和{n>=0}（-1）^n*x^（n*（n-1）/2）/Product_{k=1..n}（1+x^k*A（x））=x*Sum_{n=-oo..+oo}x^。
（3） θ_2（x^（1/2））/x^。
（4） x*theta_2（x^（1/2））/x^。
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例子
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通用公式：A（x）=1+4*x+12*x^2+38*x^3+112*x^4+332*x^5+972*x^6+2818*x^7+8098*x*^8+23096*x^9+65418*x^10+184194*x^11+516080*x^12+。。。
根据定义，A=A（x）满足乘积之和
θ_2（x^（1/2））/x^。。。
此外，A=A（x）满足另一个乘积之和
x*theta_2（x^（1/2））/x^ 1+x^2*A）*。。。
此外，A=A（x）满足以下公式给出的连分数
θ_2（x^（1/2））/x^
其中θ_2（x^（1/2））/x^2*x^（n*（n+1）/2）+。。。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a=[1]，M=sqrtint（2*n）+1）；对于（i=1，n，a=concat（a，0）；
A[#A]=polceoff（总和（n=-M，M，x^（n*（n+1）/2））-总和（n=0.，#A，（-1）^n*x^n*prod（k=0，n，x^k+Ser（A）），#A-1））；H=A；答[n+1]}
对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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