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| A352687型 |
| 按行读取的三角形，一个与Narayana相关的三角形，其行是加泰罗尼亚数字的两倍的细化（对于n>=2）。 |
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三
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 4, 4, 1, 0, 1, 7, 12, 7, 1, 0, 1, 11, 30, 30, 11, 1, 0, 1, 16, 65, 100, 65, 16, 1, 0, 1, 22, 126, 280, 280, 126, 22, 1, 0, 1, 29, 224, 686, 980, 686, 224, 29, 1, 0, 1, 37, 372, 1512, 2940, 2940, 1512, 372, 37, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,9
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评论
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这是纳拉亚纳三角形序列中的第二个三角形。第一个是A090181号其第n行是加泰罗尼亚语（n）的细化，而这里T的第n行则是2*加泰罗尼亚语（n-1）的细化。我们可以证明T（n，k）<=A090181号（n，k）表示所有n，k。这个序列中的第三个三角形是A353279型，其中也给出了一般情况下的递归。
这里，我们给出了行多项式的一个递推公式，它对应于Sulanke组合证明的经典Narayana多项式的递推公式（参见链接）。
多项式只有实数零，形成Sturm序列。这是根据Chen等人的论文中给出的路线重复得出的。
一些有趣的序列是多项式序列在一个固定点上的求值（参见交叉引用），例如雅各布斯塔尔数的反转A001045号本质上是-（-2）^n*P（n，-1/2）。
多项式也可以表示为广义Narayana多项式之间的差异，请参阅公式部分。
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链接
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罗伯特·苏兰克，Narayana分布，J.Statist。计划。推理，2002，101:311-326，公式2。
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公式
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显式公式（加法形式）：
T（n，n）=1，T（n>0，0）=0，否则T（n、k）=二项式（n，k）*二项式。
具有相同边界条件的乘法公式：
T（n，k）=二项式（n，k）^2*（k*（2*k^2+（n+1）*（n-2*k））。
二元生成函数：
T（n，k）=[x^n][y^k]（1-x+（1+y）*（1-x*（y-1）-sqrt（（x*y+x-1）^2-4*x^2*y））/2）。
基于多项式的递归：
T（n，k）=[x^k]（（（2*n-3）*（x+1）*P（n-1，x）-（n-3。
基于行的递归（请参阅第二个Python程序）：
T（n，k）=（（（B（k）+B（k-1））*（2*n-3）-（A（k）-2*A（k-1）+A（k-2））*（n-3））/n），其中A（k）=T（n-2，k）和B（k）=T（n-1，k），对于n>=3。
超几何表示：
对于n>=2，T（n，k）=[x^k]x*（x+1）*超几何（[1-n，2-n]，[2]，x）。
行总和：
和{k=0..n}T（n，k）=（2/n）*二项式（2*（n-1），n-1）=A068875号（n-1）对于n>=2。
Narayana多项式的推广如下所示
N{N，k}（x）=和{j=0..N-2*k}。
N{N，0}（x）是经典的Narayana多项式A001263号而N{N，1}（x）是A145596号基于（3，2）。我们的多项式是n>=1的差分P（n，x）=n{n，0}（x）-n{n，1}（x）。
设RS（T，n）表示T的第n行的行和，则RS（T、n）-RS(A090181号，n）=-4*二项式（2*n-3，n-3）/（n+1）=A115143号（n+1），对于n>=3。
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例子
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三角形开始：
[0] 1;
[1] 0, 1;
[2] 0, 1, 1;
[3] 0, 1, 2, 1;
[4] 0, 1, 4, 4, 1;
[5] 0, 1, 7, 12, 7, 1;
[6] 0, 1, 11, 30, 30, 11, 1;
[7] 0, 1, 16, 65, 100, 65, 16, 1;
[8] 0, 1, 22, 126, 280, 280, 126, 22, 1;
[9] 0, 1, 29, 224, 686, 980, 686, 224, 29, 1;
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MAPLE公司
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T:=（n，k）->如果n=k，则1 elif k=0，否则0
二项式（n，k）^2*（k*（2*k^2+（n+1）*（n-2*k））
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..10）；
#备选方案：
gf:=1-x+（1+y）*（1-x*（y-1）-sqrt（（x*y+x-1）^2-4*x^2*y））/2:
serx：=展开（系列（gf，x，16））：系数：=n->系数（serx，x，n）：
seq（seq（coeff（n），y，k），k=0..n），n=0..10）；
#使用多项式递归：
P:=proc（n，x）选项记住；如果n<3，则[1，x，x+x^2][n+1]else
（（2*n-3）*（x+1）*P（n-1，x）-（n-3）x（x-1）^2*P（n-2，x））/n结束：
Trow：=n->seq（系数（P（n，x），x，k），k=0..n）：seq（Trow（n），n=0..10）；
#用广义Narayana多项式表示：
N:=（N，k，x）->加法（（k+1）/（N-k））*二项式（N-k，j-1）*二项式（N-k，j+k）*x^（j+k），j=0..N-2*k）：seq（打印（如果其他（N=0，1，展开（N（N，0，x）-N（N，1，x）），N=0..7）；
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数学
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H[0，_]：=1；H[1，x_]：=x；
H[n_，x_]：=x*（x+1）*超几何2F1[1-n，2-n，2，x]；
Hrow[n_]：=系数列表[H[n，x]，x]；表[Hrow[n]，{n，0，9}]//表格
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黄体脂酮素
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（Python）
从二项式的数学导入梳
定义T（n，k）：
如果k==n：返回1
如果k==0：返回0
返回（（二项式（n，k）**2*（k*（2*k**2+（n+1）*（n-2*k）））
//（n**2*（n-1）*（n-k+1））
def Trow（n）：返回[T（n，k）for k in range（n+1）]
对于范围（10）中的n：打印（Trow（n））
（Python）#带缓存的递归速度更快：
从functools导入缓存
@高速缓存
定义行（n）（_R）：
如果n<3：返回（[1]，[0,1]，[0，1，1]）[n]
A=T_行（n-2）+[0，0]
B=T_行（n-1）+[1]
对于范围（n-1，1，-1）中的k：
B[k]=（（B[k]+B[k-1]）*（2*n-3）
-（A[k]-2*A[k-1]+A[k-2]）*（n-3））//n）
返回B
对于范围（10）中的n：打印（T_row（n））
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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