A220002-OEIS公司

A220002型

加泰罗尼亚数偶数次幂渐近展开系数的分子。

1, 5, 21, 715, -162877, 19840275, -7176079695, 1829885835675, -5009184735027165, 2216222559226679575, -2463196751104762933637, 1679951011110471133453965, -5519118103058048675551057049, 5373485053345792589762994345215, -12239617587594386225052760043303511

(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0, 2

设N=4*N+3和A=sum_{k>=0}A（k）/(A123854号（k） *N^（2*k）），然后

C（n）~8*4^n*A/（n*sqrt（n*Pi）），C（nA000108美元.

这里考虑的加泰罗尼亚数的渐近展开是基于正弦基数平方根的泰勒展开。这个渐近级数只涉及N的偶数次方，这使得它比基于斯特灵对涉及所有次方的中心二项式的近似的渐近级数更有效（例如：D.E.Knuth，7.2.1.6公式（16））。Kessler和Schiff对级数进行了讨论，但在J.L.Fields给出的商Gamma（x+a）/Gamma（x+b）的渐近展开式中，级数是一个特例，Y.L.Luke（p.34-35）对此进行了讨论（Kessler与Schiff显然忽略了这一点）。

参考文献

Donald E.Knuth，《计算机编程艺术》，第4卷，第4卷：生成所有树组合生成的历史，2006年。

卢克，《特殊函数及其逼近》，第1卷。学术出版社，1969年。

链接

彼得·卢什尼，n=0..99时的n，a（n）表

J.L.Fields，关于伽马函数比值渐近展开的注记，程序。爱丁堡数学。Soc.15（1）（1966），43-45。

D.Kessler和J.Schiff，阶乘、二项式系数和加泰罗尼亚数的渐近性2006年4月。

公式

设[x^n]T（f（x））表示f（x）的泰勒展开式中x^n的系数，则r（n）=（-1）^n*prod_{i=1..2n}（2i+1）*[x^（2*n）]T（sqrt（sin（x）/x））是渐近展开式的有理系数（在n=4*n+3中），a（n）=分子（r（n））=r（n）*2^（3*n-bs（n）），其中bs（n）是n的二进制和(A000120号).

另外，a（n）=分子（[x^（2*n）]T（exp（S）），其中S=sum_{k>=1}（（4-E（2*k））/（4*k）*x^A122045型.

同时a（n）=sf（4*n+1）*2^（3*n-bs（n））*F{2*n}（-1/4），其中sf（n）是摆动阶乘A056040型，bs（n）n与F_{n}（x）J.L.Fields广义Bernoulli多项式的二元和A220412型.

就顺序而言，这意味着

r（n）=（-1）^n*A103639号（n）*A008991号（n）/A008992号（n），

a（n）=（-1）^n*220371年（n）*A008991号（n）/A008992元（n） ●●●●。

注意a（n）=r（n）*A123854号（n）和A123854号（n） =2^A004134号（n） =8^n/2^A000120号（n） ●●●●。

公式来自约翰内斯·W·梅耶尔:

a（n）=d（n+1）*A098597号（2*n+1）*(A008991号（n）/A008992号（n） d（1）=1

d（n+1）=-4*（2*n+1）*A161151号（n） *d（n），

d（n+1）=（-1）^n*2^（-1）*（2*（n+1*A060818型（n）*A048896号（n） ●●●●。

例子

当N=4*N+3时，A的前几个项是A=1+5/（4*N^2）+21/（32*N^4）+715/（128*N^6）-162877/（2048*N^8）+19840275/（8192*N^10）。当n=0..39时，A C（n）=圆形（8*4^n*A/（n*sqrt（n*Pi））（如果以足够的数字精度计算）。

MAPLE公司

A220002型：=proc（n）局部s；s：=n->`如果`（n>0，s（iquo（n，2））+n，0）；

（-1）^n*mul（4*i+2，i=1..2*n）*2^s（iquo（n，2））*coeff（taylor（sqrt（sin（x）/x），x，2*n+2），x和2*n，end:seq(A220002型（n），n=0..14）；

#第二个程序说明了伽马商的J.L.Fields展开。

2000年2月：=proc（n）本地recF，binSum，swing；

binSum:=n->加（i，i=转换（n，基数，2））；

摆动：=n->n/伊科（n，2）^2;

recF:=proc（n，x）选项记住`如果`（n=0，1，-2*x*add（二项式（n-1，2*k+1）*bernoulli（2*k+2）/（2*k+2）*recF（n-2*k-2，x），k=0..n/2-1））end:recF（2*n，-1/4）*2^（3*n-binSum（n））*swing（4*n+1）end:

数学

最大值=14；系数列表[序列[Sqrt[Sinc[x]]，{x，0，2*max+1}]，x^2][[1；；max+1]]*表[（-1）^n*乘积[（2*k+1），{k，1，2*n}]，{n，0，max}]//分子(*Jean-François Alcover公司2013年6月26日*）

黄体脂酮素

（鼠尾草）

长度=15；T=泰勒（sqrt（sin（x）/x），x，0，2*长度+2）

定义A005187号（n）：return（返回）A005187号如果n>0，则为（n//2）+n，否则为0

定义A220002型（n）：

P=mul（4*i+2代表i in（1..2*n））<<A005187号（n//2）

返回（-1）^n*P*T.系数（x，2*n）

[2000年2月（n）对于范围（长度）中的n

（Sage）#第二个程序说明了与欧拉数的联系。

定义A220002型_列表（n）：

S=λn：（1..n）中k的总和（（4-欧拉数（2*k））/（4*k*x^（2*k））

T=泰勒（exp（S（2*n+1）），x，无穷大，2*n-1）。系数（）

在t][:：-1]中返回[t[0].number（）表示t

A220002型_列表（15）

交叉参考

对数版本为A220422型。出现在A193365号和A220466型.

囊性纤维变性。A220412型.

上下文中的序列：A143503型 A144779号 A193324号*A156860号 A225846型 A247937型

相邻序列：1999年2月9日 A220000美元 A220001型*2000年2月3日 A220004型 A220005型

关键词

签名

作者

彼得·卢什尼2012年12月27日

状态

经核准的