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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A192872号 注释中给出的多项式p(n,x)减少(x^2->x+1)的常数项。 32
1, 0, 3, 4, 13, 30, 81, 208, 547, 1428, 3741, 9790, 25633, 67104, 175683, 459940, 1204141, 3152478, 8253297, 21607408, 56568931, 148099380, 387729213, 1015088254, 2657535553, 6957518400 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.3
评论
多项式p(n,x)由p(0,x)=1,p(1,x)=x,和p(n、x)=x*p(n-1,x,)+(x^2)*p(n-1,x)+1定义。由此产生的序列代表了一个我们将在这里描述的一般类。假设u、v、a、b、c、d、e、f是用于定义这些多项式的数字:
...
q(x)=x^2
s(x)=u*x+v
p(0,x)=a,p(1,x)=b*x+c
p(n,x)=d*x*p(n-1,x)+e*(x^2)*p(n2,x)+f。
...
我们将假定u不是0,{d,e}也不是{0}。重复取代q(x)->s(x)对p(n,x)的还原,定义和描述见A192232号A192744号形式为h(n)+k(n)*x。数字序列h和k在形式上是5阶线性递归序列。下面的第二个Mathematica程序显示了初始项和递归系数,它们太长,无法包含在这里,这意味着这些属性:
(1) 数字a、b、c、f影响初始项,但不影响递推系数,递推系数仅取决于u、v、d、e。
(2) 如果v=0或e=0,重复的顺序是<=3。
(3) 如果v=0和e=0,则递归次数为2,系数为1+d*u和d*u。
(请参见A192904号对于其他p(n,x)的类似结果。)
...
示例:
u v a b c d e f seq h…..seq k
1 1 1 2 0 1 1 0 -A121646号..A059929号
1 1 1 3 0 1 1 0A128533号...A081714号
1 1 2 1 0 1 1 0A081714号...A001906号
1 1 1 1 1 1 1 0A000045号...A001906号
1 1 2 1 1 1 1 0A129905号...A192879号
1 1 1 2 1 1 1 0A061646号...A079472号
1 1 1 1 0 1 1 1A192872号...A192873号
1 1 1 1 1 2 1 1A192874号...A192875号
1 1 1 1 1 2 1 1A192876号...A192877号
1 1 1 1 1 1 2 1A192880号...A192882号
1 1 1 1 1 1 1 1A166536号...A064831号
其中几个序列的项是斐波那契数的乘积(A000045号),或斐波那契数和卢卡斯数(A000032号).
链接
常系数线性递归的索引项,签名(3,0,-3,1)。
配方奶粉
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-3)+a(n-4)。
G.f.:(2*x-1)*(x^2-x+1)/((x-1)*(1+x)*(x^2-3*x+1))-R.J.马塔尔2011年10月26日
示例
所有多项式p(n,x)中的系数都是斐波那契数(A000045号). 前六项及其削减:
p(0,x)=1->1
p(1,x)=x->x
p(2,x)=1+2*x^2->3+2*x
p(3,x)=1+x+3*x^3->4+7*x
p(4,x)=1+x+2*x^2+5*x^4->13+18*x
p(5,x)=1+x+2*x^2+3*x^3+8*x^5->30+49*x
数学
(*第一个程序*)
q=x^2;s=x+1;z=26;
p[0],x_]:=1;p[1,x_]:=x;
p[n,x_]:=p[n-1,x]*x+p[n-2,x]x^2+1;
表[展开[p[n,x]],{n,0,7}]
reduce[{p1_,q_,s_,x_}]:=固定点[(s多项式商@#1+多项式余数@#1&)[{#1,q,x}]&,p1]
t=表[reduce[{p[n,x],q,s,x}],{n,0,z}];
u1=表[系数[部分[t,n],x,0],{n,1,z}](*A192872号*)
u2=表[系数[部分[t,n],x,1],{n,1,z}](*A192873号*)
(*第一个节目结束*)
(* ******************************************** *)
(*第二个程序:更通用*)
(*u=1;v=1;a=1;b=1;c=0;d=1;e=1;f=1;用户的九个自由度;显示的值生成A192872号. *)
q=x^2;s=u*x+v;z=11;
(*将对p(n,x)应用约简(x^2->u*x+v)*)
p[0,x_]:=a;p[1,x_]:=b*x+c;
(*多项式序列p(n,x)的初始值*)
p[n,x_]:=d*x*p[n-1,x]+e*(x^2)*p[n-2,x]+f;
(*p(n,x)的递归*)
表[展开[p[n,x]],{n,0,7}]
减少[{p1_,q_,s_,x_}]:=固定点[(s多项式商@@#1+多项式余数@@#1&)[{#1,q,x}]&,p1]
t=表[reduce[{p[n,x],q,s,x}],{n,0,z}];
u1=表[系数[部分[t,n],x,0],{n,1,z}];
u2=表[系数[部分[t,n],x,1],{n,1,z}];
简化[FindLinearRecurrence[u1]](*表示0-序列*)
简化[FindLinearRecurrence[u2](*表示1序列*)
u1=表[系数[部分[t,n],x,0],{n,1,4}]
(*0序列的初始值*)
u2=表[系数[部分[t,n],x,1],{n,1,4}]
(*1序列的初始值*)
线性递归[{3,0,-3,1},{1,0,3,4},26](*雷·钱德勒2015年8月2日*)
黄体脂酮素
(PARI)我的(x='x+O('x^30));向量((2*x-1)*(x^2-x+1)/((x-1)x(1+x)*(x ^2-3*x+1))\\G.C.格鲁贝尔2019年1月6日
(岩浆)m:=30;R<x>:=PowerSeriesRing(整数(),m);系数(R!((2*x-1)*(x^2-x+1)/((x-1)*(1+x)*(x^2-3*x+1)))//G.C.格鲁贝尔2019年1月6日
(鼠尾草)((2*x-1)*(x^2-x+1)/((x-1)*(1+x)*(x^2-3*x+1)).系列(x,30).系数(x,稀疏=假)#G.C.格鲁贝尔2019年1月6日
(GAP)a:=[1,0,3,4];;对于[5..30]中的n,做a[n]:=3*a[n-1]-3*a[n-3]+a[n-4];od;a#G.C.格鲁贝尔2019年1月6日
交叉参考
囊性纤维变性。1992年2月,A192744号,A192873号,A192908号(相邻术语的总和)。
关键词
非n,容易的
作者
克拉克·金伯利2011年7月11日
状态
经核准的

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年5月27日00:30。包含372847个序列。(在oeis4上运行。)