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| A185296号 |
| 下降阶乘（x）_（n）和（2*x）_。 |
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0
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1, 0, 2, 0, 2, 4, 0, 0, 12, 8, 0, 0, 12, 48, 16, 0, 0, 0, 120, 160, 32, 0, 0, 0, 120, 720, 480, 64, 0, 0, 0, 0, 1680, 3360, 1344, 128, 0, 0, 0, 0, 1680, 13440, 13440, 3584, 256, 0, 0, 0, 0, 0, 30240, 80640, 48384, 9216, 512
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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下降阶乘多项式（x）_n:=x*（x-1）**（x-n+1），n=0,1,2，。。。，构成多项式空间的基础。因此，多项式（2*x）_n可以表示为x_0，x_1，……的线性组合，。。。，x_n；展开式中的系数构成表的第n行。下面给出了一些示例。
…H（0，x）=1
…H（1，x）=2*x
…H（2，x）=-2+4*x^2
…H（3，x）=-12*x+8*x^3
…H（4，x）=12-48*x^2+16*x^4。
H（n，x）的无符号系数给出了三角形第n行的非零项。
贝塞尔多项式y（n，x）开始
…y（0，x）=1
…y（1，x）=1+x
…y（2，x）=1+3*x+3*x^2
…y（3，x）=1+6*x+15*x^2+15*x^3。
该三角形第n列中的条目是标度贝塞尔多项式2^n*y（n，x）的系数。
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第158页，练习7。
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链接
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配方奶粉
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定义关系：2*x*（2*x-1）**（2*x-n+1）=和{k=0..n}T（n，k）*x*（x-1）**（x-k+1）
显式公式：T（n，k）=（n！/k！）*二项式（k，n-k）*2^（2*k-n）。[由Comtet定义（见参考）。]
递归关系：T（n，k）=（2*k-n+1）*T（n-1，k）+2*T（n-1，k-1）。
例如：exp（x*（t^2+2*t））=1+（2*x）*t+（2x+4*x^2）*t^2/2！+（12*x^2+8*x^3）*t^3/3！+。。。
第m对角线的O.g.f.（从主对角线m=0开始）：（2*m）/米*x^m/（1-2*x）^（2*m+1）。
三角形是矩阵乘积[2^k*s（n，k）]n，k>=0*（[s（n），k）]n，k>=0）^（-1），
其中s（n，k）表示第一类有符号斯特林数。
列总和为[1,4,28296，…]=[2^n*A001515号（n） ]n>=0。
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例子
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三角形开始
n\k|。。。0.....1.....2.....3.....4.....5.....6
============================================
0..|...1
1..|...0.....2
2..|...0.....2.....4
3..|...0.....0....12.....8
4..|...0.....0....12....48....16
5..|...0.....0.....0...120...160....32
6..|...0.....0.....0...120...720...480....64
..
第3行：
（2*x）_3=（2*x）*（2*x-1）*（2*x-2）=8*x*（x-1）x（x-2）+12*x*。
第4行：
（2*x）_4=+
48××（x-1）×（x-2）+12××（x-1）。
递归关系示例
T（4,4）=5*T（3,4）+2*T（3，3）=5x0+2*8=16；
T（5,4）=4*T（4,4）+2*T（4,3）=4*16+2*48=160；
T（6.4）=3*T（5.4）+2*T（5.3）=3*160+2*120=720；
T（7.4）=2*T（6.4）+2*T（6.3）=2*720+2*120=1680。
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MAPLE公司
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T:=（n，k）->（n！/k！）*二项式（k，n-k）*2^（2*k-n）：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..9）；
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黄体脂酮素
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bell_matrix（λn：如果n<2，则为2，否则为0，12）#彼得·卢什尼，2016年1月19日
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交叉参考
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