A125181-OEIS公司

A125181号

行读取三角形：T（n，k）是半长n的Dyck路径数，其上升长度构成整数n的第k个分区；n的分区按“Mathematica”排序。

1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 4, 2, 6, 1, 1, 5, 5, 10, 10, 10, 1, 1, 6, 6, 15, 3, 30, 20, 5, 30, 15, 1, 1, 7, 7, 21, 7, 42, 35, 21, 21, 105, 35, 35, 70, 21, 1, 1, 8, 8, 28, 8, 56, 56, 4, 56, 28, 168, 70, 28, 84, 168, 280, 56, 14, 140, 140, 28, 1, 1, 9, 9, 36, 9, 72, 84, 9, 72, 36, 252, 126, 36

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,5

等价地，T（n，k）是具有n条边的有序树的数量，其节点度构成整数n的第k个分区。

还有块大小是分级Mathematica排序中第n个整数分区的部分的非交叉集分区的数量-古斯·怀斯曼2019年2月15日

有关通过函数的移位倒数、精炼的Narayana数、非交叉分区、树和其他晶格路径与Lagrange反演的关系，请参见A134264号和A091867号. -汤姆·科普兰2014年11月1日

参考文献

R.P.Stanley，《枚举组合数学》第2卷，剑桥大学出版社，剑桥，1999年；定理5.3.10。

链接

阿洛伊斯·海因茨，行n=1..26，扁平

Germain Kreweras，非croisées d’un循环的Sur les分区，离散数学。1 333-350 (1972).

配方奶粉

第n行有A000041号（n）项（等于n个分区的数量）。

行总和产生加泰罗尼亚数字(A000108号).

给定分区p=[a（1）^e（1），…，a（j）^ee（j）=k），其上升长度产生分区p的Dyck路径数为n/[（n-k+1）！e（1）！e（2）！…e（j）！]-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯

例子

示例：T（5,3）=5，因为5的第三个分区是[3,2]，我们有（UU）DD（UUU）DDD、（UUU）DDD（UU）DD、（UU）D（UUU）DDDD、（UUU）D（UU）DDDD和（UUU）DD（UU）DDD；这里U=（1,1），D=（1，-1），上升显示在括号中。

三角形开始：

1 1

1 3 1

1 4 2 6 1

1 5 5 10 10 10 1

1 6 6 15 3 30 20 5 30 15 1

1 7 7 21 7 42 35 21 21 105 35 35 70 21 1

第4行统计以下非交叉集分区：

{{1234}} {{1}{234}} {{12}{34}} {{1}{2}{34}} {{1}{2}{3}{4}}

{{123}{4}} {{14}{23}} {{1}{23}{4}}

{{124}{3}} {{12}{3}{4}}

{{134}{2}} {{1}{24}{3}}

{{13}{2}{4}}

{{14}{2}{3}}

MAPLE公司

with（组合）：对于n从1到9，做p:=分区（n）：对于q从1到numberpart（n），做m:=转换（p[numberport（n）+1-q]，多集）：k:=nops（p[Numberpart（n）+1-q]）：s[n，q]：=n/（n-k+1）/乘积（m[j][2]！，j=1..nops（m））od:od:对于从1到9的n执行seq（s[n，q]，q=1..numpart（n））od；#三角形形式的屈服序列

#第二个Maple项目：

b： =proc（n，i，k）`if`（n=0，[k！]，`if'（i<1，[]，

[seq（映射（x->x*j！，b（n-i*j，i-1，k-j））[]，j=0..n/i）]）

结束时间：

T： =proc（n）局部l，m；

l： =b（n，n，n+1）；m： =nops（l）；

序列（n！/l[m-i]，i=0..m-1）

结束时间：

seq（T（n），n=1..10）#阿洛伊斯·海因茨2013年5月25日

数学

b[n_，i_，k_]：=b[n，i，k]=如果[n==0，{k！}，如果[i<1，{}，展平@表[Map[#*j！&，b[n-i*j，i-1，k-j]]，{j，0，n/i}]]；T[n_]：=模[{l，m}，l=b[n，n，n+1]；m=长度[l]；表[n！/l[[m-i]]，{i，0，m-1}]]；表[T[n]，{n，1，10}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2015年5月26日，之后阿洛伊斯·海因茨*)

表[二项式[总计[y]，长度[y]-1]*（长度[y]-1）/产品[计数[y，i]！，{i，Max@@y}]，{y，联接@@表[IntegerPartitions[n]，{n，1，8}]}](*古斯·怀斯曼2019年2月15日*）

黄体脂酮素

（SageMath）

定义C（p）：

n=总和（p）；l=n-长度（p）+1

定义f（x）：返回阶乘（len（列表（过滤器（λy:y==x，p）））

返回阶乘（n）//（阶乘（l）*prod（f（x）表示集合（p）中的x））

def行（n）：返回列表（分区（n）中p的C（p））

对于范围（1，9）中的n：打印（行（n））#彼得·卢什尼，2022年7月14日

交叉参考

其他订单包括A134264号和A306438型.