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等于它自己的“导数”,它是通过计算位于2之间的1的字符串而形成的。
由于a的导数等于
a'=1,2,2,1,2,2,1,1,2,1,2,1,1,1,2,2,2,2,2,。。。
霍夫施塔特在1977年写给斯隆的信中的公式(4)中所说的也不正确,因为a的二阶导数等于
a''=2,2,1,2,1,1,2,2,1,1,1,2,1,2,2,2,1,2,。。。
所以a不等于它自己的二阶导数。
然而,该序列具有自相似性:如果将每个块212替换为1,将每个块2112替换为2,则可以恢复原始序列。换句话说,(a(n))是sigma给出的同态sigma的唯一不动点:1->212,2->21212。
这可以通过罗瑟尔(Lothaire)书的第2章和我的论文第4节“替换不变的斯图尔密词和二叉树”的思想来证明。
为了符合这些参考,请将字母表更改为{0,1}。这将sigma变为形态0->101,1->10101。
τ的分数部分{tau}大于1/2;由于它小于1/2很方便,我们将其更改为beta=1-tau=(3-sqrt(5))/2。
这将形态0->101,1->10101更改为0->01010,1->010给出的镜像psi。
设psi_1和psi_2是由
psi_1(0)=01,psi_1(1)=1,psi_2(0)=10,psi_2(1)=0。
那么psi=psi_2^2 psi_1。
这已经表明,psi生成了具有某些参数alpha和rho:s(alpha,rho)=([(n+1)*alpha+rho]-[n*alpha+rho])的Sturmian序列。
由于psi是成分psi_2^2psi_1,s(alpha,rho)的参数由分数线性映射的成分T:=T_2^2T_1给出
T_1(x,y)=((1-x)/(2-x),(1-y)/(2x)),
T_2(x,y)=((1-x)/(2-x),(2-x-y)/(2-x))。
由于可以验证T(beta,1/2)=(beta(1/2)),因此可以得出以下结论
α=β,ρ=1/2。
(结束)
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