|
| |
|
| A001586号 |
| 广义欧拉数，或称斯普林格数。
（原名M2908 N1169）
|
|
49
|
|
|
|
1, 1, 3, 11, 57, 361, 2763, 24611, 250737, 2873041, 36581523, 512343611, 7828053417, 129570724921, 2309644635483, 44110959165011, 898621108880097, 19450718635716001, 445777636063460643, 10784052561125704811, 274613643571568682777, 7342627959965776406281
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
Springer数最初由Glaisher考虑（见参考文献）。它们是锯齿形数字的B类模拟A000111号对于有符号置换组。
综合解释
已知Springer数的几种组合解释：
1） a（n）给出了n维立方体对称性的Coxeter群B_n的主Springer锥中的Weyl腔数。一个例子可以在[Arnold-蛇的微积分…]中找到。
2） 阿诺德从蛇的角度找到了斯普林格数的另一种组合解释。蛇是交替排列到符号排列组的推广。有符号置换是一个整数序列（x_1，x_2，…，x_n），例如{|x_1|，|x_2|，…，|x_n|}={1,2，…，n}。它们组成一个群，即2^n*n阶超八面体群=A000165号（n） ，与n维立方体的对称群同构。B_n型蛇是一个有符号置换（x_1，x_2，…，x_n），使得0<x_1>x_2。。。例如，（3，-4，-2，-5,1，-6）是B_6类型的蛇。a（n）给出了B_n[Arnold]型蛇的数量。下面的示例部分给出了n=2和n=3的情况。
3） Springer数也出现在函数临界点的研究中；他们计算临界值为2*n的奇函数的拓扑类型[Arnold，定理35]。
4） 设F_n是满足以下条件的平面根森林集：
…每个根正好有一个子节点，而其他每个内部节点正好有两个（有序）子节点，
……有n个节点用从1到n的整数标记，但有些叶子可以是非标记的（这些叶子称为空叶子），标签从每个根一直增加到叶子。那么a（n）等于F_n的基数。[Verges，定理4.5]中给出了一个例子和证明。
春季数字的其他表现
1） 霍夫曼给出了斯普林格数、蛇和正割函数和正切函数的连续导数之间的联系。
2） 对于整数N，四分之一高斯和Q（N）由…定义。。。Q（N）：=总和{r=0..floor（N/4）}经验（2*Pi*I*r^2/N）。在N=1（mod4）和N=3（mod 4）的情况下，Evans等人给出了Q（N）作为N->inf的涉及Springer数的渐近级数，见1.32和1.33。
（结束）
a（n）是[2n]的反向互补上下排列的数目。例如，向上向下排列241635是反向补码，因为它的补码是536142，这与它的反向相同，并且a（2）=3表示1324、2413、3412-大卫·卡伦2012年11月29日
以荷兰数学家托尼·阿尔伯特·斯普林格（1926-2011）的名字命名为“斯普林格数”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月13日
|
|
|
参考文献
|
V.I.Arnold，Springer数和变形空间。J.代数几何。，第1卷，第2期（1992年），第197-214页。
J.W.L.Glaisher，“关于cos x/cos 2x和sin x/cos 2 x展开式中的系数”，夸脱。《纯粹与应用数学杂志》。，第45卷（1914年），第187-222页。
J.W.L.Glaisher，《关于伯努利函数》，Q.J.Pure Appl。数学。，第29卷（1898年），第1-168页。
Ulrike Sattler，具有良好闭包性质的形式幂级数的可判定类，Diplomarbeit im Fach Informatik，爱尔兰根-纽伦堡大学，1994年7月27日。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Tonny Albert Springer，关于组合问题的评论，Nieuw Arch。威斯克。，第19卷，第3期（1971年），第30-36页。
|
|
|
链接
|
玛丽莲娜·巴纳贝（Marilena Barnabei）、弗拉维奥·博内蒂（Flavio Bonetti）、尼科洛·卡斯特罗诺沃（NiccolóCastronoovo）和马特奥·西林巴尼（Matteo Silinbani），上升运行在排列和有值Dyck路径中《当代数学》，第16卷，第2期（2019年），第445-463页。
William Y.C.Chen、Neil J.Y.Fan和Jeffrey Y.T.Jia，带标签的选票路径和斯普林格数，arXiv:1009.2233[math.CO]，2010年9月12日。[来自乔纳森·沃斯邮报2010年9月13日]
Chak-On Chow和Shi-Mei Ma，通过交替运行计算有符号排列《离散数学》，第323卷（2014年5月28日），第49-57页。
罗纳德·埃文斯（Ronald Evans）、马文·米尼（Marvin Minei）和班纳特·叶（Bennet Yee），不完全高阶高斯和，J.数学。分析。申请。，第281卷，第2期（2003年），第454-476页。见1.32和1.33。
克里斯托弗·哈努萨（Christopher R.H.Hanusa）、亚历杭德罗·莫拉莱斯（Alejandro H.Morales）和叶玛莎（Martha Yip），列凸矩阵、G-循环阶和流多面体，arXiv:2107.07326[math.CO]，2021。
马蒂厄·约苏阿特·维格斯，蛇的计数和循环交替排列，arXiv:1011.0929[math.CO]，2010年。
马蒂厄·约苏阿特·维格斯、J.-C.诺维利和J.-Y.蒂本，蛇的代数组合学，arXiv预印本arXiv:1110.5272[math.CO]，2011。
Daniel Shanks，广义欧拉和类数，数学。公司。，第21卷，第100号（1967年），第689-694页；第22卷，第103号（1968年），第699页。[带注释的扫描副本]
Daniel Shanks，广义欧拉数和类数.数学。公司。，第21卷，第100期（1967年），第689-694页。
孙志伟，涉及算术序列的猜想，《数论：香格里拉的算术》（编辑：S.Kanemitsu，H.Z.Li和J.Y.Liu），Proc。第六届中日学期数理论（上海，2011年8月15日至17日），世界科学。，新加坡，2013年，第244-258页；看见涉及组合序列的猜想，arXiv预印本arXiv:1208.2683[math.CO]，2012。
M.S.Tokmachev，数字棱镜中元素和序列的相关性《南乌拉尔州立大学公报》，Ser。数学。力学。《物理学》，第11卷，第1期（2019年），第24-33页。
|
|
|
配方奶粉
|
例如：1/（cos（x）-sin（x））。
a（n）=abs分子（Euler（n，1/4））-N.J.A.斯隆2009年11月7日
设B_n（x）=Sum_{k=0..n*（n-1）/2}B（n，k）*x^k，其中B（n、k）是具有k个弧的n节点无环有向图的个数，cf。A081064号; 则a（n）=|B_n（-2）|-弗拉德塔·约沃维奇2005年1月25日
G.f.A（x）=y满足y'^2=2y^4-y^2，y''y=y^2+2y'^2-迈克尔·索莫斯2004年2月3日
a（n）=（-1）^楼层（n/2）和{k=0..n}2^k C（n，k）Euler（k）-彼得·卢什尼2009年7月8日
(1)... a（n）=（（1+i）/2）^n*B（n，（1-i）/（1+i）），其中i=sqrt（-1）和{B（n、x）}n>=0=[1，1+x，1+6*x+x^2，1+23*x+23+x^3，…]是B型欧拉多项式的序列-参见A060187号.
这就产生了明确的公式
(2)... a（n）=（（1+i）/2）^n*Sum_{k=0..n}（（1-i）/（1+i））^k*Sum_{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（n+1，k-j）*（2*j+1）^n。
结果（2）可以用来寻找Springer数所满足的同余。例如，对于奇素数p
（3）
当p=4*n+1时，…a（p）=1（mod p）
当p=4*n+3时，…a（p）=-1（mod p）。
（结束）
例如：1/Q（0），其中Q（k）=1-x/（（2k+1）-x*（2k+1）/（x+（2k+2）/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月19日
例如：2/U（0），其中U（k）=1+1/（1+x/（2*k+1-x-（2*k+1）/（2-x/（x+（2*k+2）/U（k+1））））；（连分数，5步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年9月24日
例如：1/g（0），其中g（k）=1-x/（4*k+1-x*（4*k+1）/；（连分数，第3类，5步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月2日
G.f.：1/G（0），其中G（k）=1-x*（2*k+1）-2*x^2*（k+1）*（k+1）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月11日
a（n）=|2*4^n*lerchphi（-1，-n，1/4）|-彼得·卢什尼2013年4月27日
a（n）~4*n^（n+1/2）*（4/Pi）^n/（sqrt（Pi）*exp（n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年10月7日
G.f.：T（0）/（1-x），其中T（k）=1-2*x^2*（k+1）^2/（2*x^2*（k+1）^2-（1-x-2*x*k）*（1-3*x-2*x*k）/T（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月15日
a（n）=（-1）^C（n+1,2）*2^（3*n+1）*（Zeta（-n，1/8）-Zeta（-n，5/8）），其中Zeta（a，z）是广义黎曼Zeta函数-彼得·卢什尼2015年3月11日
例如，A（x）满足：A'（x）=A（x）^2/A（-x）-保罗·D·汉纳2017年2月4日
|
|
|
示例
|
示例
a（2）=3:B_2型的三条蛇是
(1,-2), (2,1), (2,-1).
a（3）=11:B_3型的11条蛇是
(1,-2,3), (1,-3,2), (1,-3,-2),
(2,1,3), (2,-1,3), (2,-3,1), (2,-3,-1),
(3,1,2), (3,-1,2), (3,-2,1), (3,-2,-1).
|
|
|
MAPLE公司
|
a:=进程（n）局部k；（-1）^iquo（n，2）*add（2^k*二项式（n，k）*euler（k），k=0..n）end#彼得·卢什尼2009年7月8日
a:=n->（-1）^（n+iquo（n，2））*2^（3*n+1）*（Zeta（0，-n，1/8）-Zeta（0,-n，5/8））：
seq（a（n），n=0..21）#彼得·卢什尼2015年3月11日
|
|
|
数学
|
表[Abs[分子[EulerE[n，1/4]]，{n，0，35}](*哈维·P·戴尔2011年5月18日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polcoeff（1/（cos（x+x*O（x^n）））-sin（x+x*O（x^n），n））}/*迈克尔·索莫斯2004年2月3日*/
（PARI）{a（n）=my（an）；如果（n<2，n>=0，an=向量（n+1，m，1）；对于（m=2，n，an[m+1]=2*an[m]+an[m-1]+和（k=0，m-3，二项式（m-2，k）*/*迈克尔·索莫斯2004年2月3日*/
{a（n）=（（1+I）/2）^n*和（k=0，n，（（1-I）/（1+I））^k*和（j=0，k，（-1）^（k-j）*二项式（n+1，k-j）*（2*j+1）^n）}
（鼠尾草）
@缓存函数
定义p（n，x）：
如果n==0：返回1
如果n%2==0，则w=-1，否则0
如果n%2==0，则v=1，否则-1
返回v*add（p（k，0）*二项式（n，k）*（x^（n-k）+w），对于范围（n）[：：2]中的k）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
